Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-05-14 | 732 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема.
Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функции так, что , то:
1) если сходится, то сходится и ряд
2) если расходится, то расходится также и ряд
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), основанием которой служит отрезок оси Ох от х=1 до х= n.
Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки [1;2],[2;3],... Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем:
или
или
Случай 1. Несобственный интеграл сходится, т.е. . Поскольку , то с учетом неравенства имеем: , т.е. . Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху (числом ), то, по признаку существования предела, имеет предел.
Следовательно, ряд сходится.
Случай 2. Несобственный интеграл расходится. Тогда и интегралы неограниченно возрастают при . Учитывая, что , получаем, что при . Следовательно, данный ряд расходится.
Ряд ,
где p>0 – действительное число, называется обобщенным гармоническим рядом. Для исследования ряда на сходимость применим интегральный признак Коши.
Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке и . При имеем:
При p=1 имеем гармонический ряд , который расходится. Итак, ряд сходится при , расходится при . В частности, ряд сходится.
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Знакочередующиеся ряды
Знакочередующимся рядом называется ряд вида
,
где для всех .
Теорема (достаточный признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда).
Знакочередующийся ряд сходится, если:
|
1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.
2. Общий член ряда стремится к нулю:
При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам
Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа (2m) членов ряда. Имеем
Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно. Следовательно, сумма и возрастает с возрастанием номера 2m.
С другой стороны, можно переписать так:
Легко видеть, что . Таким образом, последовательность возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел , причем .
Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа (2m+1) членов ряда. Очевидно, что . Отсюда следует, что , т.к. в силу второго условия теоремы. Итак, как при четном n, так и при нечетном n. Следовательно, ряд сходится, причем .
Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.
Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.
Теорема.
Пусть дан знакопеременный ряд
Если сходится ряд ,
составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд .
Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов и :
Очевидно, что для всех . Но ряд сходится в силу условия теоремы и свойства 1 числовых рядов. Следовательно, на основании признака сравнения сходится и ряд . Поскольку данный знакопеременный ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов
то, на основании свойства 2 числовых рядов, он сходится.
Обратное утверждение неверно.
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!