Математическая формулировка задачи линейного программирования

 

Нужно определить максимум линейной целевой функции (линейной формы)

 

 

при условиях

 

 

Иногда на x_i также накладывается некоторый набор ограничений в виде равенств, но от них можно избавиться, последовательно выражая одну переменную через другие и подставляя её во всех остальных равенствах и неравенствах (а также в функции f).

Такую задачу называют «основной» или «стандартной» в линейном программировании. Наиболее известным и широко применяемым на практике для решения общей задачи линейного программирования (ЛП) является симплекс метод.

Симплекс метод

 

Симплекс метод - метод линейного программирования, который реализует рациональный перебор базисных допустимых решений, в виде конечного итеративного процесса, необходимо улучшающего значение целевой функции на каждом шаге.

Применение симплекс-метода для задачи линейного программирования предполагает предварительное приведение ее формальной постановки к канонической форме с n неотрицательными переменными: (X₁,..., X_n), где требуется минимизация линейной целевой функции при m линейных ограничениях типа равенств. Среди переменных задачи выбирается начальный базис из m переменных, для определенности (X₁,..., X_m), которые должны иметь неотрицательные значения, когда остальные (n-m) свободные переменные равны 0. Целевая функция и ограничения равенства преобразуются к диагональной форме относительно базисных переменных, переменных, где каждая базисная переменная входит только в одно уравнение с коэффициентом 1.

Данная формальная модель задачи линейного программирования обычно задается в форме, так называемой симплекс-таблицы, удобной для выполнения операций симплекс-метода:

Симплекс-таблица

	1	X1	X2	...	Xm	Xm+1	...	Xn
X0	A0,0	0	0	...	0	A0,m+1	...	A0,n
X1	A1,0	1	0	...	0	A1,m+1	...	A1,n
X2	A2,0	0	1	...	0	A2,m+1	...	A2,n
...	...	...	...	...	...	...	...	...
Xm	Am,0	0	0	...	1	Am,m+1	...	Am,n

 

Верхняя строка симплекс-таблицы представляет целевую функцию задачи. Каждая строка симплекс-таблицы, кроме первой, соответствует определенному ограничению-равенству задачи. Свободные члены ограничений составляют крайний левый столбец таблицы. Слева от таблицы записаны текущие базисные переменные (X₁,..., X_m). Сверху от таблицы приведен набор всех переменных задачи, где X_m+1,..., X_n - свободные переменные задачи.

На начальном шаге алгоритма симплекс-метода должно быть выбрано базисное допустимое решение (X₁,..., X_m) >= 0 при X_j = 0 (j = m+1,..., n), следовательно, все свободные члены ограничений A_i,0 >= 0 (i = 1,..., m). Когда это условие выполнено, симплекс-таблица называется прямо-допустимой, так как в этом случае базисные переменные, равные A_i,0, определяют допустимое решение прямой задачи линейного программирования. Если все коэффициенты целевой функции A_0,j >= 0 (j = 1,..., m), то симплекс-таблица называется двойственно-допустимой, поскольку соответствующее решение является допустимым для двойственной задачи линейного программирования.

Если симплекс-таблица является одновременно прямо и двойственно допустимой, т.е. одновременно все A_i,0 >= 0 и A_0,j >= 0, то решение оптимально.

Действительно, поскольку допустимыми являются лишь неотрицательные значения управляемых параметров, то изменение целевой функции за счет вариации свободных переменных, через которые она выражена, возможно только в сторону увеличения, т.e. будет ухудшаться. Если среди ее коэффициентов имеются A_0,j < 0, то значение целевой функции еще можно уменьшить (т.e. улучшить), увеличивая значение любой свободной переменной X_j с отрицательным коэффициентом A_0,j при побочном уменьшении базисных переменных, чтобы оставались справедливы ограничения задачи. Теоретически можно использовать любую свободную переменную X_j с A_0,j < 0, но на практике обычно действуют в соответствии со стратегией наискорейшего спуска, выбирая минимальный элемент A_0,p < 0 из всех отрицательных A_0,j <&nbsp0:

 

A_0,p = min A_0,j < 0.^j

 

Столбец p симплекс-таблицы, соответствующий выбранному коэффициенту A_0,p < 0, называется ведущим столбцом. Свободная переменная ведущего столбца должна быть введена в базис вместо одной из текущих базисных переменных. Очевидно, из базиса следует исключить такую переменную X_q, которая раньше других обращается в нуль при увеличении переменной X_p ведущего столбца.

Её индекс легко определить, если среди положительных элементов ведущего столбца p найти элемент, минимизирующий отношение (A_i,0 / A_i,p):

A_q,0          A_i,0------ = min ------, i = 1,...,m.A_q,p i      A_i,p

 

Элемент A_{q , p} называется ведущим элементом, cтрока q симплекс-таблицы, содержащая ведущий элемент, называется, соответственно, ведущей строкой. Переменная ведущей строки X_q заменяется в базисе переменной ведущего столбца X_p и становится свободной переменной с значением 0, в то время как новая базисная переменная X_p достигнет максимально возможного значения, равного: max X_p = (A_q,0 / A_q,p).

После указанного взаимообразного обмена переменными X_p и X_q между наборами свободных и базисных переменных нужно модифицировать исходную каноническую модель задачи путем приведения ее к диагональной форме относительно нового множества базисных переменных. Для указанного преобразования можно формально использовать процедуру исключения Гаусса, которая, как известно, состоит из двух элементарных операций, применяемых к системе алгебраических уравнений (в данном случае ограничений - равенств):

· умножение уравнения E₁(X) = 0 на константу K₁ и замена уравнения E₁(X) = 0 уравнением K₁*E₁(X) = 0;

· сложение уравнений E₁(X) = 0 и E₂(X) = 0 c последующей заменой уравнения E₂(X) = 0 уравнением E₁(X) + E₂(X) = 0.

Исключения Гаусса позволяют привести систему уравнений к диагональной форме относительно желаемого множества переменных. В данном случае исключение Гаусса применяется так, чтобы все элементы симплекс-таблицы в ведущем столбце, кроме ведущего элемента A_q,p, стали нулевыми, а ведущий элемент стал равным единице:

 

A_i,p = 0, если i не равно q

и

A_i,p = 1, если i = q.

 

Указанные шаги симплекс-метода повторяются, пока не будет получена симплекс-таблица, которая одновременно является прямо и двойственно допустимой. Если положит в такой симплекс-таблице текущие базисные переменные равными A_i,0, а свободные - нулю, то будет получено оптимальное решение.

Практика применения симплекс метода показала, что число итераций, требуемых для решения задачи линейного программирования обычно колеблется от 2m до 3m, хотя для некоторых специально построенных задач вычисления по правилам симплекс метода превращаются в прямой перебор базисных допустимых решений. Однако, трудные для симплекс метода задачи на практике встречаются крайне редко, что объясняет широкое распространение и большую популярность данного метода линейного программирования по сравнению с другими подходами.

Постановка задачи

 

На звероферме могут выращиваться норки, выдры и нутрии. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется 3 вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны получать зверьки в среднем приведено в таблице: