Методика формирования у детей об объеме (емкость), единицы объема и их соотношение.

Первые представления о том, что предметы имеют массу, дети получают еще в дошкольном периоде в детском саду и вообще в жизненной практике. Они определяют, какой предмет тяжелее (подержав каждый в руке, или руках), но так как чувственный опыт их не велик, дети часто отдают предпочтение в массе предмету больших размеров, хотя фактическая масса его меньше, то есть путают размеры и массу, могут путать форму и массу.

Чтобы помочь детям выделить массу среди других свойств следует предла­гать им для сравнения предметы, имеющие одинаковую форму, но разные массы, одинаковую форму и размеры, но равные массы и т.д. Сюда следует включать и цвет, и материал, из которых сделаны предметы, и добиваться, чтобы дети различали размеры, форму, массу.

Первая единица массы, с которой знакомятся учащиеся, - кило­грамм. С этой единицей массы учащиеся знакомятся в ходе упражнений по оп­ределению массы.

Но прежде, чем ввести первую единицу измерения массы, следует с детьми организовать работу по уточнению их представлений об этой величине. С этой целью целесообразно предложить им задания для сравнения предметов по массе.

В результате разговора учитель подводит детей к пониманию того, что надо положить на обе чашки весов по книге. Если книги одинаковые по массе, то весы будут в равновесии, если нет, то чашка с более тяжелой книгой опустится вниз.

Здесь же учитель должен ввести термин «масса», так как дети в жизни с ним практически не встречаются.

Затем целесообразно приготовить и показать два предмета абсолютно одинаковые внешне. Например, два кубика, один из которых склеен из бумаги, а другой деревянный и оклеен бумагой. Предложить детям высказать свое мнение об их массе. Оно вероятнее всего будет неверным. Уточнить его надо опять с помощью весов. В результате такой работы учитель подводит детей к пониманию того, что предметы по массе можно иногда сравнивать на глаз, через ощущения, но точнее с помощью весов.

В ходе дальнейшей беседы учитель выясняет с детьми, что масса предметов измеряется также с помощью весов. И проводится работа по знакомству с первой единицей массы – килограммом.

На урок, где происходит знакомство с килограммом, целесообразно при­нести чашечные весы и несколько предметов, масса каждого из которых равна килограмму (пачка сахара, соли) и другие предметы, масса которых либо меньше, либо больше килограмма.

Предметы взвешиваются, выясняется, что масса некоторых из них равна 1 кг. Учитель говорит о том, что это единица измерения массы, показывает образец записи.

В дальнейшем учащиеся знакомятся с новой единицей массы - граммом. Этот термин учащимся известен.

Задача учителя - сформировать наглядное, конкретное представление о массе в 1 грамм. С этой целью детям дают подержать гирьку в один грамм или предметы такой массы. Затем выполня­ются упражнения в определении массы предметов с точностью до грамма.

Правила изучения новой единицы объема:

1) определяется масса тары, с помощью которой будет определяться масса товара, а затем она вычитается из общей массы;

2) на другую чашку весов ставится точно такая же порожняя тара;

3) порожняя тара уравновешивается любым грузом, положенным на другую чашку весов;

3) На последнем году обучения в начальных классах учащиеся знакомятся с новыми единицами измерения массы - тонной и центнером. Здесь же обобщаются знания учащихся о мерах массы, устанавливаются соотношения между всеми единицами измерения массы, известными ученикам, составляется таблица мер массы.

1 т = 1000 кг 1 ц = 100 кг 1 кг = 1000 г 1 т = 10 ц

Таблица мер массы должна быть заучена учениками, причем усвоение ее строится не на простом заучивании мер, а в процессе решения разнообраз­ных задач и упражнений и выполнении практических работ.

В начальных классах учащимся дается первоначальное представление о литре - единице измерения объема (емкости).

Так как в начальных классах не вводится понятие объема и не изучаются единицы измерения объема, то следует ограничиться ознакомле­нием учащихся с процессом измерения вместимости некоторых предметов (банка, кастрюля, металлическая кружка, стакан). Целесообразно показать сравнение емкостей, выявить, какая из них больше и показать необходимость использования единой меры - литра.

Практика

Решите задачу: «В 4 одинаковые канистры помещается 80 л бензина. Сколько потребуется таких канистр, чтобы взять 100л бензина?» арифметическим способом. Укажите, какие величины и отношения между ними рассматриваются в данной задаче? Составьте и решите задачу обратную данной. Преобразуйте условие задачи так, чтобы задачу можно было решить разными способами.

Объем 1 канистры	Кол-во канистр	Общий объем
Одинаковый		80 л
?	100 л

1) 80:4=20 (л) – объем одной канистры;

2) 100:20=5 (к.)

Ответ: 5 канистр потребуется для 100 л бензина.

В данной задаче рассматривается такая величина как литр – мера объема. Здесь рассматривается взаимосвязь объема 1 канистры с их кол-вом и общим объемом, т.е. взаимосвязь компонентов при делении: делимое (общий объем), делитель (кол-во канистр), частное (объем 1 канистры).

А так же компоненты умножения: 1 множитель (объем 1 канистры, 2 множитель – (кол-во канистр), общий объем – произведение.

Задача обратная данной:

Объем 1 канистры	Кол-во канистр	Общий объем
Одинаковый		80 л
	?

«В 4 одинаковые канистры помещается 80 л бензина. Сколько бензина поместится в 5 таких канистрах?»

1 способ:

1) 80:4=20 (л) – объем одной канистры;

2) 20∙5=100 (л)

Ответ: 100 л бензина поместится в 5 таких канистрах.

2 способ:

1) 80:4=20 (л) – объем одной канистры;

2) 5 – 4= 1 (к.) разница в количестве канистр.

3) 80+20=100 (л)

Ответ:100 л бензина поместится в 5 таких канистрах.

18. С какой целью предлагаются пары задач:

а) В первый день туристы прошли 30 км, что составляет 1/6 всего маршрута. Сколько километров должны были пройти туристы?

б) В первый день туристы прошли 30 км, а во второй день 1/6 часть, пройденного в первый день. Сколько километров должны были пройти туристы?

Какие ещё задания можно предлагать с такой же целью? Приведите рассуждения ученика при решении задач.

Цель: Сравнить эти задачи, чем они похожи чем они различаются.

 

А)
30 *6:1=180(км) - весь путь

б)
1) 30:6*1=5(км) - прошли во второй день
2) 30+5=35(км) - прошли туристы

32. Какие знания, умения и навыки лежат в основе формирования вычислительного приема: 56:4? Приведите рассуждения ученика при выполнении этого задания.

56:4=14 – внетабличное деление.

56:4=(40+16):4=(40:4)+(16:4)=10+4=14 – устный вычислительный прием

В основе этого вычислительного приема лежит:

1) умение находить удобные слагаемые (удобными являются те слагаемые, при делении которых на делитель получаются разрядные слагаемые частного). С этой целью надо учить детей выделять в делимом самое большое число десятков, которое делится на делитель.

2) знание свойства деления суммы на число (чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить каждое слагаемое на это число, и полученные результаты сложить) * при условии, что каждое слагаемое делится на число;

3) знание таблицы умножения;

4) знание нумерационных случаев сложения.

Рассуждения ученика:

1) 56 нам удобно представить в виде слагаемых 40 и 16, т.к. оба этих слагаемых делится на 4.

2) Разделим каждое слагаемое на 4: 40:4=10 и 16:4=4

3) Сложим полученные результаты: 10+4=14

4) Читаем ответ: частное 56 и 4 равно 14.

36. Решите задачу: «Каменщик укладывает 400 кирпичей за 8 часов, а монтажник краном укладывает 1 блок, заменяющий 800 кирпичей, за 16 мин. Во сколько раз меньше времени потребуется монтажнику, чтобы уложить блоки, заменяющие 4000 кирпичей?». Опишите методику работы над задачей на каждом из этапов обучения решению задач. Какому способу разбора вы отдадите предпочтение? Какие приемы будете использовать при решении задачи различными способами?

Способ разбора от данных к вопросу. Разбор задачи осуществляется устно с письменным сопровождением учителя на доске.

Что нам известно? Что в каменщик укладывает 400 кирпичей за 8 часов, а монтажник 800 кирпичей за 16 мин.

Что нужно узнать? Во сколько раз меньше времени потребуется монтажнику, чтобы уложить блоки, заменяющие 4000 кирпичей?

Можем ли мы сразу это узнать? (нет) Что нам нужно знать, чтобы узнать ответ на вопрос задачи?

Должны узнать сколько минут потратит на укладку 4000 кирпичей монтажник и сколько минут потратит на укладку 4000 кирпичей каменщик.

Чтобы узнать, сколько минут потратит монтажник на укладку 4000 кирпичей, что нужно узнать? Нужно узнать, сколько блоков будет приходится на 4000 кирпичей. Зная, что на 1 блок приходится 800 кирпичей, а всего кирпичей 4000, как это узнать? 4000:800=5 (блоков)

Зная, что на 4000 кирпичей приходится 5 блоков и что 1 блок монтажник укладывает за 16 мин, что можем узнать? (За сколько времени монтажник уложит 5 блоков). 5*16=80 (минут).

Что мы узнали? Сколько минут потратит на укладку 4000 кирпичей монтажник. Что осталось узнать? Сколько минут потратит на укладку 4000 кирпичей каменщик.

Зная, что каменщик укладывает 400 кирпичей за 8 часов, можем узнать, сколько времени он потратит на укладку 4000 кирпичей? (4000*8):400=80 (ч) = 4800(мин)

Зная, что на укладку 4000 кирпичей монтажник тратит 80 минут, а каменщик 4800 минут, можем ли мы ответить на вопрос задачи? (да) 4800:80 = 60. В 60 раз.

Способ.

Задача на разностное сравнение.

Показать на отрезках:

одна часть – 400 к. – 8 ч. (работа каменщика)

две части – 800 к. (1 блок) – 16 мин (работа монтажника)

1)8+8=16 (ч) 2 равные части или

2)16*60 = 960 (мин) время, за которое каменщик выполнит работу монтажника (800 кирпичей или 1 блок).

3)960:16=60 (мин)

Т.к. 960 мин – время работы каменщика, 16 мин – время работы монтажника.

Ответ: в 60 раз меньше времени потребуется монтажнику.

 

37. Решите задачу: «Из двух городов вышли одновременно два поезда и встретились через 18 ч. Определить скорость каждого, если расстояние между городами было 1620 км, а скорость первого больше скорости второго на 10 км/ч» различными способами (арифметическими и алгебраическими), рассмотрите арифметические способы решения и возможные затруднения учителя и учащихся. Какую подготовительную работу необходимо провести для предупреждения этих затруднений?

Данную задачу легче решить, составив уравнение. Но дети в начальной школе пока не смогут составить уравнение по данной задаче. Поэтому алгебраический способ подходит для учителя. Для детей болеепривычным является способ по действиям (арифметический).

Как пропедевтическую работу стоит прорешать ряд задач на нахождение скорости, времени и расстояния (для отработки формулы скорости)

В виде подготовительной работы перед решением данной задачи арифметическим способом (по действиям), стоит прорешать с детьми ряд задач на нахождение части от целого. (Когда прочитали 35 страниц, то осталось прочитать книги.Сколько страниц в книге?) а также на разностное сравнение, при этом пользуясь чертежом, как краткой записью.

 

 

Практика17. Какими теоретическими знаниями должен обладать ученик, чтобы выполнить следующие тождественные преобразования:

а)14×6=(10+4)×6=10×6+4×6=60+24=84;

б) 9×(4+3)= 9×4+9×3=36+27=63?

В первом случае ученик должен знать, что такое разрядные слагаемые, т.е. 14-это 1 десяток и 4 единицы

(Запомните!Представление числа в виде: 425 = 400 + 20 + 5 называется разложением числа на разрядные слагаемые или суммой разрядных слагаемых.);

после разложения числа на разрядные слагаемые необходимо каждое разрядное слагаемое умножить на число, а полученные произведения сложить.

Во втором случае ученик должен знать, что каждое слагаемое нужно умножить на число, а полученные произведения сложить.

 

 

Практика21. Ученикам предложено задание: «Построить всевозможные прямоугольники, площадь которого равна 12 см²». Какую подготовительную работу можно провести перед решением данного задания. Приведите упражнения, которые помогут детям выполнить задание.

Во-первых вспомнить, что такое прямоугольник (можно распечатать и раздать детям различные геометрические фигуры, среди которых они должны будут найти и обвести прямоугольники);

Во-вторых, вспомнить, что такое площадь прямоугольника и как её найти S=a*b;

Возможно вырезать различные прямоугольники из бумаги.

 

 

Теория30

Методика изучения числовых выражений

В математике под выражением понимают построенную по определённым правилам последовательность математических символов, обозначающих числа и действия над ними.

Выражения вида: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - числовые выражения; вида: 8-а; 30:в; 5+(3+с) - буквенные выражения (выражения с переменной).

Задачи изучения темы

1) Научить учащихся читать и записывать выражения, предусмотренные программой.

2) Ознакомить учащихся с правилами порядка выполнения арифметических действий.

3) Научить находить числовые значения выражений.

4) Ознакомить с тождественными преобразованиями выражений на основе свойств арифметических действий.

Решение поставленных задач осуществляется на протяжении всех лет обучения в начальных классах, начиная с первых дней пребывания ребёнка в школе.

В методике работы над числовыми выражениями предусматривается три этапа: на первом этапе - формирование понятий о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел); на втором этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия одной ступени; на третьем этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия разных ступеней.

С простейшими выражениями - суммой и разностью - учащихся знакомят в первом классе (по программе 1-4) с произведением и частным - во втором классе (с термином «произведение» - во 2 классе, с термином «частное» - в третьем классе).

Рассмотрим методику изучения числовых выражений.

Выполняя операции над множествами, дети, прежде всего, усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 3+2, 7-1 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить», «вычесть» (к 3 прибавить 2). В дальнейшем понятия о действиях углубляются: учащиеся узнают, что, прибавляя (вычитая) несколько единиц, мы увеличиваем (уменьшаем) число на столько же единиц (чтение: 3 увеличить на 2), затем дети узнают название знаков действий «плюс» (чтение: 3 плюс 2), «минус».

В теме «Сложение и вычитание в пределах 20» детей знакомят с понятиями «сумма», «разность» как названиями математических выражений и как названием результата арифметических действий сложения и вычитания.

Умение читать и записывать выражения, находить их значения с помощью соответствующего арифметического действия вырабатывается с помощью многократных упражнений.

Рассмотрим фрагмент урока (2 кл.).

На доску с помощью воды прикрепить 4 красных и 3 жёлтых круга:

ОООО ООО

1. 3

- Сколько красных кругов? (Записать число 4.)

- Сколько жёлтых кругов? (Записать число 3.)

- Какое действие над записанными числами 3 и 4 нужно выполнить, чтобы узнать, сколько красных и сколько жёлтых кругов вместе? (появляется запись: 4+3).

- Скажите, не считая, сколько всего кругов?

- Такое выражение в математике, когда между числами стоит знак «+», называют суммой (Скажем вместе: сумма) и читают так: сумма четырёх и трёх.

- А теперь узнаем, чему же равна сумма чисел 4 и 3 (даём полный ответ).

Аналогично про разность.

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из 3 и более чисел, соединённых одинаковыми и разными знаками арифметических действий: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 и т.д. Раскрывая смысл таких выражений, учитель показывает способ их чтения. Вычисляя значения этих выражений, дети практически овладевают правилом о порядке арифметических действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его: 10-3+2=7+2=9. Такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований.

Методика ознакомления с выражениями со скобками может быть различной (Описать в тетради фрагмент урока, подготовиться к проведению на практических занятиях).

Умение составлять и находить значение выражения используется детьми при решении арифметических задач, вместе с тем здесь происходит дальнейшее овладение понятием «выражение», усваивается конкретный смысл выражений в записях решения задач.

Представляет интерес вид работы, предложенный латвийским методистом Я.Я. Менцисом.

Даётся текст, например, такой: «У мальчика было 24 р., пирожное стоит 6 р., конфета 2 р.», предлагается:

а) составить все виды выражений по этому тексту и объяснить, что они показывают;

б) объяснить, что показывают выражения:

2 кл. 3 кл.

24-6 6+2 6+2•3

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6•3

6:2

В 3 классе наряду с выражениями, рассмотренными ранее, включают выражения, состоящие из двух простых выражений (37+6)-(42+1), а также состоящие из числа и произведения или частного двух чисел. Например: 75-50:25+2. Там, где порядок выполнения действий не совпадает с порядком их записи, используют скобки: 16-6:(8-5). Дети должны научиться правильно читать и записывать эти выражения, находить их значения.

Термины «выражение», «значение выражения» вводятся без определений. Для того, чтобы детям облегчить работу по чтению и нахождению значения сложных выражений, методисты рекомендуют использовать схему, которая составляется коллективно и используется при чтении выражений:

1) Установлю, какое действие выполняется последним.

2) Подумаю, как называются числа при выполнении это действия.

3) Прочитаю, чем выражены эти числа.

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются в 3 классе, но практически некоторые из них дети используют в первом и втором классах.

Первым рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо умножение и деление (3 кл.). Цель работы на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся, приобретённые ранее, обратить внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать правило.

Подведение детей к формулировке правила, осознание его может быть различным. Главная опора на имеющийся опыт, максимально возможная самостоятельность, создание ситуации поиска и открытия, доказательности.

Можно использовать методический приём Ш.А. Амонашвили «ошибка учителя».

Например. Учитель сообщает, что при нахождении значения следующих выражений у него получились ответы, в правильности которых он уверен (ответы закрыты).

31-24+7= 0

12+23-3=32

36:2•6=6 и т.д.

Предлагает детям самим найти значения выражений, а затем сопоставить ответы с ответами, полученными учителем (к этому моменту результаты арифметических действий открываются). Дети доказывают, что учителем допущены ошибки и на основе изучения частных фактов формулируют правило (см. учебник математики, 3 кл.).

Аналогично можно ввести остальные правила порядка выполнения действий: когда в выражениях без скобок содержатся действия 1 и 2 ступени, в выражениях со скобками. Важно, чтобы дети осознали, что изменение порядка выполнения арифметических действий приводит к изменению результата, в связи с чем математики решили договориться и сформулировали правила, которые необходимо строго соблюдать.

Преобразование выражения - замена данного выражения другим с тем же числовым значением. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия из них ([1],с.249-250).

При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять дей­ствия по-разному, но значение выражения при этомне изме­няется. В дальнейшем знания свойств действий учащиеся применяют для преобразования заданных выражений в тождественные выражения. Например, предлагаются задания вида: продолжить запись так, чтобы знак «=» сохранился:

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2•10) =60:10...

Выполняя первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 76 вычитают сумму чисел 20 и 4, справа из 76 вычли 20; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо спра­ва еще вычесть 4. Аналогично преобразуются другие выражения, т. е., прочитаввыражение, ученик вспоминает соответст­вующее правило. И, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобра­зованного выражений и сравнивают их.

Применяя знания свойств действий для обоснования прие­мов вычислений, учащиеся I—IV классов выполняют преобразования выражений вида:

10=540·3) ·10) = (18·(3·30= 18·72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 18

Здесь также необходимо, чтобы учащиеся не только поясня­ли, на основе чего получают каждое последующее выражение, но и понимали, что все эти выражения соединены знаком «=», потому что имеют одинаковые значения. Для этого изредка сле­дует предлагать детям вычислять значения выражений и cpавнивать их. Это предупреждает ошибки вида: 75 - 30 = 70 - 30 = 40+5 = 45, 24•12= (10 + 2) =24•10+24•2 = 288.

Учащиеся II-IV классов выполняют преобразование выра­жений не только на основе свойств действии, но и на основе их конкретного смысла. Например, сумму одинаковых слагае­мых заменяют произведением: (6+ 6 + 6 = 6•3, и наоборот: 9•4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8•4 + 8 = 8•5, 7•6-7=7 •5.

На основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся IV класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся уп­ражняются в преобразовании выражений со скобками в тож­дественные им выражения без скобок. Например, предлагается записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились:

(65 + 30)-20 (20 + 4) •3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Так, первое из заданных выражений дети заменяют выражениями: 65 + 30-20, 65-20+30, поясняя порядок выполне­ния действий в них. Таким образом, учащиеся убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка дей­ствий только в том случае, если при этом применяются свой­ства действий.