Графический способ решения логической задачи

Графические «деревья»

Графический способ решения логических задач заключается в вычерчивании «дерева логических условий». «Дерево» выражает в виде простого чертежа логическую взаимосвязь между данными высказываниями. Каждому простому высказыванию (с отрицанием или без) на дереве соответствует одна ветвь (рис.1).Логической сумме (дизъюнкции) на логическом дереве соответствует «разветвление» (рис.2) ветвей, логическому произведению (конъюнкция) – «следование» (рис.3) ветвей друг за другом.

 

A

 

 

Рис.1.

Рис. 2.                                       Рис. 3.

 

Пример 1 (условие задачи см в примере 1 раздела «Решение логической задачи с помощью рассуждений»).

Решение

Рис. 4.

Для вычерчивания графического дерева обратимся к высказываниям болельщиков или можно воспользоваться уравнениями (1),(2), (3).

Построим дерево для высказывания болельщика 1: «Первой будет Таня, Валя будет второй», которое показано на рис.4.

Второй болельщик прав или когда второй будет Таня, или когда Даша займет третье место. Исходя из вышесказанного, «дорастим» дерево (рис.5).

Затем «дорастим» дерево для высказывания третьего болельщика: «Алла будет второй, Даша – четвертой» и пронумеруем каждую ветвь (рис.6).

 

Рис. 5.

 

 

Рис. 6.

 

Проанализируем ветви дерева, для каждой из которой запишем формулу. Каждая ветвь состоит из последовательно соединенных частей, что соответствует логической операции «конъюнкция».

Ветвь 1: . Полученная формула принимает ложное значение , т.к. T ₁× T ₂º0, A ₂× T ₂º0

Ветвь 2:    т. к. T ₁× T ₂º0.

Ветвь 3:

Ветвь 4: , т. к. D ₃× D ₄ º0

Ветвь 5:,  т. к. W ₂× T ₂º0, T ₂× A ₂º0, W₂× A ₂º0

Ветвь 6:,  т. к. W ₂× T ₂º0

Ветвь 7: , т. к. W ₂× A ₂º0

Ветвь 8: , т. к. D ₃× D ₄ º0

 

Итак, только выражение ветви 3 эквивалентно 1:

 

 

Из этого выражения следует: Таня – первая; Алла – вторая; Даша – третья; Валя – четвертая.

 

Решение логической задачи с помощью графа

 

Граф – один из видов моделей, отражающих взаимодействие объектов и систем. Графом называют схему, в которой обозначаются только наличие объектов (элементов системы) и наличие и вид связи между объектами. Объекты представляются в графе вершинами (на схеме они обозначаются кружочками, прямоугольниками и т. д.). Связи между объектами представляются дугами, если связь однонаправленная (обозначается на схеме линиями со стрелками) или ребрами, если связь между объектами двусторонняя (обозначается на схеме линиями без стрелок).

 

Пример 1 (условие задачи см в примере 1 раздела «Решение логической задачи с помощью рассуждений»).

Решение

Решим задачу, представив ее условие в виде графа.

Вершины графа – имена участниц соревнований и занятые ими места.

Ребра графа – высказывания болельщиков:

Мнение 1-го болельщика – жирные линии (Т-1 и В-2);

Мнение 2-го болельщика – тонкие линии (Т-2 и Д-3);

Мнение 3-го болельщика – пунктирные линии (А-2 и Д-4).

Т

В

Д

1

2

3

А

4

 

Из условия задачи следует, что каждый ответ содержит только одно правильное заявление. Поэтому необходимо оставить только по одной линии каждого типа. Всего в графе должно остаться 3 линии разных типов.

Допустим, что в первом предложении первое высказывание истинно, а второе ложно, т. е. Таня заняла первое место (истинно высказывание, обозначенное ребром Т-1), тогда удалим из графа В-2 (т.к. только одна часть ответа правильная).

 

Т

В

Д

1

2

3

А

4

 

Т. к. мы допустили, что истинно высказывание, обозначенное ребром Т-1, то не может в этом случае быть истинным ребро Т-2 (в высказывании второго болельщика истинным будет вторая часть, т. е. Даша займет третье место), поэтому его можно удалить.

 

Т

В

Д

1

2

3

А

4

Теперь мы видим, что истинным является и ребро А-2 (пунктирная линия только одна), поэтому не может быть истинным ребро Д-4 (удалим эту линию). В результате получили граф, который и дает ответ задачи:

 

Т

В

Д

1

2

3

А

4

Ответ. Таня – первая; Алла – вторая; Даша – третья; Валя – четвертая.

Для полноты решения рассмотрим вариант, когда в первом предложении первое высказывание ложно, а второе истинно, т. е. Валя заняла второе место. Поэтому удалим из графа ребро Т-1.

 

Т

В

Д

1

2

3

А

4

Т

В

Д

1

2

3

А

4

 

Теперь Таня не может занять второе место (во втором предложении первое высказывание ложно, а второе истинно, т. е. Даша заняла третье место).

 

Т

В

Д

1

2

3

А

4

В третьем предложении первое высказывание ложно (так как в нашем предположении Валя заняла второе место), значит, истинно второе высказывание, т. е. Даша заняла четвертое место. Получили противоречие (Даша заняла третье место и Даша заняла второе место), которое доказывает, что наше исходное предположение было неверно.

Итак, Таня заняла первое место, Алла – второе, Даша – третье, Валя – четвертое.

Пример 2

Марина, Лариса, Жанна и Катя умеют играть на разных инструментах(пианино, виолончели, гитаре, скрипке), но каждая только на одном. Они же знают иностранные языки (английский, французский, немецкий и испанский), но каждая только один. Известно:

1.Девушка, которая играет на гитаре, говорит по-испански.

2.Лариса не играет ни на скрипке ни на виолончели и не знает английского языка.

3.Марина не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает ни немецкого, ни английского.

4.Девушка, которая говорит по – немецки, не играет на виолончели.

5.Жанна знает французский язык, но не играет на скрипке.

Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык знает?

Решение

Из пятого условия, что Жанна знает французский язык, рисуем стрелку. Из третьего условия, что Марина не знает ни немецкого, ни английского, а французский знает Жанна, то Марина знает испанский и рассматривая первое условие она играет на гитаре. Из условия N2 видим, что Лариса играет на пианино, т. к. Марина играет на гитаре, а на других инструментах она играть не умеет, и значит, она говорит по-немецки.

Т. к. Жанна не играет на скрипке, то остается один инструмент, на котором она может играть это виолончель. Тогда Катя играет на скрипке, и знает английский язык.