Задача 9. Найти область сходимости ряда.

IV. Функциональные ряды.

1. Основные сведения.

1.1) Пусть имеем функциональный ряд

                                                     (x)                            (1)

члены которого определены на множестве М. Пусть x₀ M. Функциональный ряд (1) называется сходящимся в x₀, если сходится числовой ряд (x₀)

Множество X всех значений x₀ M, в которых ряд (1) сходится называется областью сходимости функционального ряда (1), а функция

S(x)= , x X

 

называется суммой функционального ряда (1).

Поскольку в каждой фиксированной точке из X ряд (1) будет числовым, то все признаки числовых рядов применимы к ряду (1).

1.2) Равномерная сходимость. Последовательность {f_n(x)} называется равномерно сходящейся к функции f(x) на промежутке X, если e>0 n₀(e) n>n₀

справедливо e для всех x X одновременно.

Функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся на промежутке X к функции S(x), если последовательность его частичных сумм сходится на X к S(x) равномерно, т.е. если

e>0 n₀ (e) n>n₀ e для всех x X.

Критерий Коши а) Для равномерной сходимости {f_n(x)} на промежутке X необходимо и достаточно, чтобы e>0 n₀ (e) n>n₀, p N выполнялось неравенство

e сразу для всех x X.

б) Для равномерной сходимости функционального ряда (1) на промежутке X необходимо и достаточно, чтобы e>0 n₀ (e) n>n₀, p N выполнялось неравенство

e сразу для всех x X.

Признак Вейерштрасса. Если для функционального ряда (1) на промежутке X выполнены неравенства

 (n=1,2,…)

и числовой ряд  - сходится, то ряд (1) сходится на X равномерно и абсолютно.

Признак Дирихле. Функциональный ряд  сходится равномерно на X, если

а) частичные суммы равномерно ограничены, т.е. L >0, что  при всех n=1,2,… и всех x X;

б) последовательность  монотонна для каждого x X и равномерно стремиться к 0 на X.

Признак Абеля. Функциональный ряд  сходится равномерно на X, если

а) ряд  сходится равномерно на X;

б) последовательность  ограничена на X и монотонна при каждом x X.

1.3) Свойства равномерной сходимости.

Если последовательность непрерывных на X функций сходится равномерно на X, то предельная функция непрерывна на X.

Если все члены функционального ряда непрерывны на X, и ряд сходится равномерно на X, то сумма ряда непрерывна на X.

Если последовательность {f_n(x)} непрерывных функции на X сходится равномерно на X к f(x), то

, .

Если все члены функционального ряда  непрерывны на X, и ряд сходится к S(x) равномерно на X, то

= , ,

 

причем последний ряд сходится равномерно на X.

Если последовательность {f_n(x)} непрерывно дифференцируемых функций сходится на X к f(x), а последовательность {f_n¢ (x)} сходится равномерно на X, то f(x) дифференцируема на X, причем f ¢(x)= f_n¢ (x).

Если функциональный ряд , члены которого непрерывно дифференцируемы на X, сходится на X к S(x), а ряд из производных ¢(x) сходится на X равномерно, то S(x) дифференцируема на X, причем

S¢(x)= ¢(x) или ¢= ¢(x).

1.4) Степенные ряды. Ряд вида

(2)

называется степенным рядом. Он является частным случаем функционального ряда, поэтому все теоремы и свойства, справедливые для функциональных рядов, справедливы и для степенного ряда.

Для каждого степенного ряда (2) существует интервал сходимости , где R≥0 – радиус сходимости, который в случае  может быть вычислен по формулам R= , R=  если эти пределы существуют (конечные или бесконечные). Для выяснения поведения степенного ряда на концах интервала сходимости надо исследовать числовые ряды, получаемые из (2) при подстановке x=x₀ + R.

Сумма степенного ряда в интервале сходимости является непрерывной функцией.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (2) сходится в точке x=x₀+R (правый конец), то его сумма S(x) есть непрерывная слева функция в этой точке, т.е.

S(x₀+R)=  = .

Аналогично для левого конца, т.е. для x=x₀-R.

Внутри интервала сходимости степенной ряд (2) можно почленно дифференцировать и интегрировать, т.е.

¢ = ,

,

причем радиус сходимости не меняется.

1.5) Ряд Тейлора. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора

 (3)

на интервале (x₀ –R, x₀ +R) необходимо и достаточно, чтобы она на этом интервале была бесконечно дифференцируема, и остаточный член формулы Тейлора для этой функции на (x₀ –R, x₀ +R) стремится к нулю при n .

При x₀=0 ряд Тейлора (3) имеет вид

и называется рядом Маклорена. Справедливы следующие 5 основных разложений в ряд Маклорена:

e^x = = 1+x+ +…+ +…,      ;

sin x =  = x - +  -  … +(-1)ⁿ +…, ;

cos x =  = 1 - +  - … + (- 1)ⁿ  +…,   ;

ln (1+x) =  = x - +  - … +(-1)^n-1  +…,  -1< x 1;

(1+x)^a = 1+  = 1+  +…+  + …,

        <1

1.6) Литература

 , ч. II, стр. 13-55

                                  , т. II, стр. 73-151.

                             , т. II, стр. 300-304, 366-376, 422-495.

 

2. Примеры.

2.1) Определить область сходимости (абсолютной и условной) ряда , где q > 0, 0 <  < .

Решение. Если x  q, то , т.е. ряд расходится. Значит, для сходимости ряда необходимо, чтобы x < q.

а) Рассмотрим ряд .           (*)

Так как , а ряд  сходится при

q – x > 1, то при x < q – 1 ряд (*) сходится (по признаку сравнения). Значит, данный ряд при x < q – 1 сходится абсолютно.

  Так как ;  - расходится при q – x  1, а ряд  сходится при q – x > 0 (по признаку Дирихле), то , а с ним и ряд  (по признаку сравнения), расходится при 0 < q – x  1, т.е. при q – 1  x < q данный ряд абсолютно сходится не может.

   б) . Для него  - ограничена для  и

, т. к. x<q. Значит, по признаку Дирихле ряд сходится, т.е. при q – 1  x <q данный ряд сходится условно. Итак, при x q – ряд расходится; при x<q – 1 ряд сходится абсолютно; при q – 1  x < q – ряд сходится условно.

2.2) Определить область сходимости (абсолютной и условной) ряда .

Решение. К ряду из абсолютных величин  применим признак Коши

= = .

Если <1, то ряд из абсолютных величин сходится, а тогда данный ряд сходится абсолютно.

< , - < sin x < ,  < x ,

При  оба ряда расходятся.

Рассмотрим x= . Подставив в данный ряд, получим числовые ряды

= . Но поскольку  сходится, то эти ряды сходятся абсолютно.

Итак, данный ряд сходится абсолютно при , где k – любое целое и расходится при всех других x.

2.3) Исследовать на равномерную сходимость последовательность  на .

Решение. Поскольку f(x) =  существует при всех , то , . Но тогда, т.к.  при , то e > 0 n₀ (e) n>n₀ < e сразу для всех x, т.е. по определению последовательность на  сходится равномерно.

2.4) Исследовать на равномерную сходимость последовательность  на .

Решение. . Тогда . Но это выражение достигает наибольшего значения при x =  при любом n. Значит,

, т.е. равномерной сходимости нет.

2.5) Исследовать на равномерную сходимость ряд  на промежутке .

Решение. =  = , т.е. . Тогда , т.е. равномерной сходимости нет.

2.6) Исследовать на равномерную сходимость ряд  на .

Решение. На  справедливо , а  сходится (по интегральному признаку). Тогда сходится (по теореме сравнения). Значит, по признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на .

2.7) Исследовать на равномерную сходимость ряд  для .

Решение.  при . Значит, , но  сходится. Тогда по признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на всей числовой оси и абсолютно.

2.8) Найти область определения функции  и исследовать ее на непрерывность.

Решение. а) По признаку Коши  ряд сходится при  и расходится при . При  ряд расходится, т.к.  при . Значит, область определения  есть интервал (-1,1).

          б) Возьмем произвольно  и заключим эту точку в отрезок .

Поскольку , а - сходится, т.к.  промежутку сходимости, то данный ряд на  сходится равномерно. Кроме того на  непрерывны при любом n. Тогда на  непрерывна, а, значит,  непрерывна в x₀. Но тогда  непрерывна в (-1,1).

2.9) Исследовать на дифференцируемость функцию .

Решение. Так как , а ряд  - сходится, то данный ряд сходится на всей числовой оси, т.е. область определения .

Рассмотрим ряд из производных

, для x ¹ 0.

Возьмем произвольно x₀>0. Тогда можно выбрать отрезок  такой, что . Значит, . А так как  - сходится, то ряд из производных сходится на  равномерно. Значит,

на ,

т.е.  дифференцируема на , а, следовательно, в точке x₀. Но тогда  дифференцируема на , а значит, и на , т.к.  - четная. Итак,

для x 0

Пусть теперь x₀ = 0. Тогда по определению  (*)

Ряд  сходится равномерно при  (по признаку Вейерштрасса). Тогда по свойству равномерно сходящегося ряда имеем

.

Значит, предел (*) не существует, т.е.  в x₀ = 0 недифференцируема, хотя

,

2.10) Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся известным разложением функции  в ряд Маклорена:  Для .

Но из этого разложения видно, что если данную функцию доопределим в x=0 по непрерывности, т.е. , то функция  будет в x=0 бесконечно дифференцируема.

2.11) Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение.  Функция определена и непрерывна . В точке  функция терпит разрыв типа конечного скачка. Следовательно, существует окрестность точки x=0, где функция бесконечно дифференцируема, т.е. ряд Маклорена существует. Вопрос лишь в том, как он себя ведет: сходится или расходится и, если сходится, то к чему?

Поэтому поступим так: найдем производную . Но для нее мы можем применить известное разложение . Тогда получим для . Но степенной ряд можно интегрировать. Значит,

 для .

 для .

Но при  ряд сходится (по теореме Лейбница), а тогда его сумма в  (по теореме Абеля) непрерывна, т.е.

 для .

 

3. Задание N XXIV.

1. Найти область сходимости ряда , где a_n:

1.1. 1) ; 2) ; 3) .

1.2. 1) ; 2) ; 3) .

1.3. 1) ; 2) ; 3) .

1.4. 1) ; 2) ; 3) .

1.5. 1) ; 2) ; 3) .

1.6. 1) ; 2) ; 3) .

1.7. 1) ; 2) ; 3) .

1.8. 1) ; 2) ; 3) .

1.9. 1) ; 2) ; 3) .

1.10. 1) ; 2) ; 3) .

1.11. 1) ; 2) ; 3) .

1.12. 1); 2) ; 3) .

1.13. 1) ; 2) ; 3) .

1.14. 1) ; 2) ; 3) .

1.15. 1) ; 2) ; 3) .

1.16. 1) ; 2) ; 3) .

1.17. 1) ; 2) ; 3) .

1.18. 1) ; 2) ; 3) .

1.19. 1) ; 2) ; 3) .

1.20. 1) ; 2) ; 3) .

1.21. 1) ; 2) ; 3) .

1.22. 1) ; 2) ; 3) .

1.23. 1) ; 2) ; 3) .

1.24. 1) ; 2) ; 3) .

1.25. 1) ; 2) ; 3) .

1.26. 1) ; 2) ; 3) .

1.27. 1) ; 2) ; 3) .

1.28. 1) ; 2) ; 3) .

1.29. 1) ; 2) ; 3) .

1.30. 1) ; 2) ; 3) .

1.31. 1) ; 2) ; 3) .

 

2. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость ряда  на . Найти , где R_n(x) – остаток ряда. Задано a _n:

 

2.1.	7n – 11	2.11.	7n – 10	2.21.	7n – 13
2.2.	5n – 6	2.12.	6n – 8	2.22.
2.3.	4n – 6	2.13.		2.23.	3n – 5
2.4.		2.14.	2n – 3	2.24.
2.5.	4n – 5	2.15.	8n – 12	2.25.	8n – 11
2.6.	5n – 9	2.16.	6n – 7	2.26.
2.7.	3n – 4	2.17.	5n – 8	2.27.
2.8.		2.18.	6n – 10	2.28.
2.9.	6n – 11	2.19.	4n – 7	2.29.	9n – 15
2.10.		2.20.	5n – 7	2.30.	10n – 12
				2.31.

3. Построив мажорирующий ряд, доказать равномерную сходимость ряда на данном отрезке.

 

	n0	Un
3.1.	0
3.2.	1
3.3.	1	xn/nn
3.4.	1
3.5.	1	xn!
3.6.	1
3.7.	0
3.8.	0
3.9.	1
3.10.	1
3.11.	1
3.12.	1
3.13.	1
3.14.	2
3.15.	1
3.16.	1
3.17.	1
3.18.	0
3.19.	1
3.20.	1
3.21.	1
3.22.	1
3.23.	1
3.24.	0
3.25.	0
3.26.	0
3.27.	0
3.28.	1
3.29.	0
3.30.	1
3.31.	1

4. Найти сумму ряда , где U_n(x)задано:

	n0			n0
4.1.	1		4.17.	1
4.2.	2		4.18.	1
4.3.	1		4.19.	0
4.4.	1		4.20.	2
4.5.	0		4.21.	1
4.6.	1		4.22.	1
4.7.	2		4.23.	0
4.8.	0		4.24.	1
4.9.	1		4.25.	2
4.10.	0		4.26.	2
4.11.	0		4.27.	1
4.12.	1		4.28.	1
4.13.	1		4.29.	0
4.14.	1		4.30.	2
4.15.	1		4.31.	0
4.16.	1

5. Найти сумму ряда .

	A	B	C	k		A	B	C	k		A	B	C	k
5.1	4	9	5	1	5.11	2	-1	0	2	5.21	1	5	4	2
5.2	3	7	4	0	5.12	1	-1	1	0	5.22	2	-2	1	0
5.3	1	1	1	3	5.13	2	-1	-1	0	5.23	1 < Поделиться с друзьями: История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок... Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют... Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности... Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...  © cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста. Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы! 0.102 с.