Раздел I. Интегральное исчесление и дифференциальные уравнения

МАТЕМАТИКА

 

Методические рекомендации по организации и выполнению расчетно-графической работы № 2 для студентов ИДО, направления подготовки 20.03.01 Техносферная безопасность, профиль подготовки Пожарная безопасность

 

Тюмень, 2017

УДК

ББК

Составитель: доцент кафедры математики и информатики М.В. Виноградова

Математика. Методические указания и варианты расчетно-графической работы для студентов института дистанционного образования направления подготовки 20.03.01 Техносферная безопасность профиль Пожарная безопасность / М.В. Виноградова– Тюмень, 2017 – 78 с. –электронный ресурс

 

 

Рецензент:

Н.Н. Мальчукова– к.п.н., доцент кафедры математики и информатики ГАУ Северного Зауралья

 

УТВЕРЖДЕНО

 

на заседании кафедры математики и информатики

протокол № … от …..2017 г.

 

методической комиссией механико-технологического института

протокол № … от …..2017 г.

 

 

© ГАУ Северного Зауралья, 2017

© М.В. Виноградова, 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

Выполнение и оформление контрольных работ
РАЗДЕЛ I.	ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава 1.	НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1.	Первообразная функция и неопределенный интеграл
1. 2.	Методы интегрирования
Примеры решения типовых задач
Глава 2.	ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2.1.	Понятие определенного интеграла и его свойства
2.2.	Геометрические приложения определённого интеграла
Примеры решения типовых задач
Глава 3.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3.1.	Основные понятия и определения
3.2.	Уравнения с разделяющимися переменными
3.3.	Линейные уравнения первого порядка
33.4.	Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Примеры решения типовых задач
Контрольный тест после изучения раздела I «Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения»
РАЗДЕЛ II.	РЯДЫ
Глава 4.	ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
4.1.	Основные понятия. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости
4.2.	Ряды с положительными членами
4.3.	Сходимость знакочередующихся рядов
Глава 5.	ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
5.1.	Область сходимости степенного ряда
5.2.	Разложение функций в степенные ряды
5.3.	Применение степенных рядов в приближенных вычислениях
Примеры решения типовых задач
Контрольный тест после изучения раздела II «Ряды»
Задания для расчетно-графической работы № 2
Вопросы для подготовки к экзамену
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

 

Выполнение и оформление контрольных работ

1. Слушатели выполняют контрольную работу в соответствии с учебным планом в сроки, установленные ИДО.

2. Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клеточку, ручкой любого цвета, кроме зеленого и красного, аккуратно и разборчивым почерком, чертежи выполняются простым карандашом с использованием инструмента.

3. На титульном листе следует указать фамилию, имя, отчество слушателя, его адрес с указанием почтового индекса, номер зачетной книжки, номер варианта.

4. Задания в контрольных работах выполняются по порядку, согласно расположению их в варианте.

5. На заключительном листе контрольных работ следует указать список литературы, которым Вы пользовались при их выполнении.

6. Если контрольные работы выполнены с нарушением всех вышеперечисленных указаний или не полностью, то они возвращаются слушателю для доработки без проверки.

7. Если работы не зачтены, внимательно изучите все замечания рецензента. Переделайте работы в соответствии с рекомендациями рецензента.

8. Переделанные работы предоставляются на проверку вместе с незачтенными работами.

9. Слушатель выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра.

При этом если предпоследняя цифра учебного шифра – нечетное число (1,3,5,7,9),то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице № 1; если же предпоследняя цифра учебного шифра – четное число или ноль (2,4,6,8,0), то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице № 2.

Таблица № 1.

№ варианта	Номера заданий для контрольной работы № 1

Таблица № 2.

№ варианта	Номера заданий для контрольной работы № 1

РАЗДЕЛ I. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Таблица основных интегралов

Интеграл	Значение	Интеграл	Значение
					arcsin + C
		ex + C			ln
		sinx + C			-ln½cosx½+С
		-cosx + C			ln½sinx½+ C
		tgx + C
		-ctgx + C

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование. Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием.

Пример.

Проверка:

Проверка:

2. Способ подстановки (замены переменных). Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Пример.

Проверка:

Проверка:

Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Замечание: Если в подынтегральной функции имеется множитель вида , , , , , , то их удобно принимать в качестве , так как они легче дифференцируются.

Если подынтегральная функция имеет вид , , , , , то за удобно принимать , где - это некоторый многочлен, причем формулу интегрирования по частям необходимо применять столько раз, какова степень многочлена.

Пример.

Проверка:

Проверка:

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Примеры решения типовых задач

№ 1. Найти интеграл следующих функций:

а). б). в). г).

д). е). ж). з).

и). к). л). м). н).

Решение:

а).

б) Воспользуемся подстановкой x=t². Тогда , получим:

 

в). Если под интегралом содержится логарифмическая функция, то удобно принять ее за новую переменную, если под знаком интеграла присутствует производная этой функции (с точностью до постоянно­го множителя).

г).

д). За новую переменную удобно взять подкоренное выраже­ние, если под интегралом присутствует также его производная с точ­ностью до постоянного множителя.

е).

ж). Новая переменная иногда выбирается из следующих соображе­ний: в знаменателе стоит разность постоянной и квадрата некоторой функции. Эту функцию мы принимаем за новую переменную, если в числителе присутствует ее производная (с точностью до постоянного множителя).

з). Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.

и). За новую переменную иногда выбирают функцию, стоящую в основании степени, если подынтегральное выражение содержит про­изводную этой функции с точностью до постоянного множителя.

к).

л).

 

м).

н).

Чтобы взять последний интеграл, умножим и разделим числитель на 9, затем вчислителе прибавим иотнимем единицу, после чего ра­зобьем интеграл на два табличных:

Формула Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке и F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке, то:

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

При вычислении интегралов ее часто записывают в виде

Пример.

=

Замечания.

1. Если же на , то – f(х) на этом отрезке. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле:

или

Наконец, если линия y=f(x) пересекает ось Ох, то отрезок надо разбить на части, в пределах которых f(x) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул, которая ей соответствует.

2. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y₂=f₂(x), снизу – графиком функции y₁=f₁(x), слева и справа прямыми x=a, x=b, вычисляется по формуле:

 

3. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной справа графиком функции x₂=j₂(y), слева – графиком функции x₁=j₁(y), снизу и сверху прямыми y=c, y=d, вычисляется по формуле:

Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции y = sin x и осью абсцисс при условии .

Решение:

Разобьём отрезок на два отрезка: и . На первом из них sin x , на втором sin x . Тогда, используя формулы, находим искомую площадь:

Примеры решения типовых задач

№1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение:

1. Найдем пределы интегрирования, в качестве и возьмем абсциссы точек пересечения данных линий.

Для их нахождения решим систему уравнений:

 

 

 

 

;

;

,

 

2. Определим, какой график расположен выше. Для этого построим заданные линии. Графиком функции является парабола. Найдем координаты вершины параболы:

, .

Найдем точку пересечения параболы с осями координат:

, , и .

, .

Получили две точки пересечения с осью : и .

Графиком функции является прямая линия, для построения которой достаточно взять две точки.

Из рисунка видно, что график функции находится выше графика функции , следовательно, выполняется условие .

Применяя формулу (2), найдем площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

(кв.ед.)

№2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми , и осью Оу.

Решение: , , . Тогда .

Решение.

; Разделяем переменные .

Интегрируем обе части последнего равенства

.

В результате получим: .

Таким образом, получаем общий интеграл: .

Находим частное решение уравнения. Подставляем начальное условие:

.

Отсюда получаем частный интеграл .

Примеры решения типовых задач

№ 1. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0)=2.

Решение:

Данное уравнение является линейным, так как содержит искомую функцию и ее производную в первой степени и не содержит их произведений. Применяем подстановку y=uv.

Если y=uv, то . Подставляя y и y’ в исходное уравнение, получим . Группируем первое и третье слагаемые и выносим v за скобку

(1).

Так как искомая функция y представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, то есть, чтобы имело место равенство (2).

Тогда уравнение (1) принимает вид: (3).

Уравнение (2) является уравнением с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его

Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0. Подставив в (3) найденное выражение для u, получим

Интегрируя, имеем .

Теперь можно получить общее решение исходного уравнения .

Определим значение произвольной постоянной С при указанных начальных условиях

.

Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию.

№ 2. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

. , .

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

;

и .

Тогда, общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид

.

Найдем :

.

Подставим начальные значения в выражения и , получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и .

.

 

- частное решение.

РАЗДЕЛ II. РЯДЫ

Глава 4. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Основные понятия. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел , соединенных знаком сложения, то есть

(13.1)

где числа называются членами ряда, - общим членом ряда.

Ряд (13.1) считается заданным, если известен его общий член .

Пример.

1)

2)

3)

Ряд можно задать с помощью общего члена, например, определяет следующий ряд:

Определение. Частичной суммой числового ряда называетсясуммаего первых n членов,

Определение. Суммой числового ряда S называется предел последовательности его частичных сумм, если этот предел существует

,

причем ряд называется сходящимся, в противном случае, если же не существует, или то ряд называется расходящимся.

Пример. Исследовать на сходимость ряды

а).

б).

Решение:

а). Рассмотрим ряд . Найдем его частичные суммы Последовательность его частичных сумм 1,0,1,0.1,0... не имеет предела, следовательно ряд расходится.

б). Рассмотрим ряд

найдем его частичные суммы:

Так как то рассматриваемый ряд сходится: его сумма равна 1.

Решение.

Сравним данный ряд с гармоническим рядом , про который известно, что он расходится.

Так как , то по теореме 2, из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами, делаем вывод, что ряд расходится.

Теорема (предельный признак сравнения). Если и - ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов, то есть , то ряды будут вести себя одинаково, то есть либо сходиться, либо расходиться.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение:

Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом .

;

Тогда , следовательно, ряды ведут себя одинаково, то есть данный ряд расходится.

Теорема (признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему , то есть

.

Тогда, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится, если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым, необходимо использование иных признаков сходимости.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение: ; .

, следовательно, ряд сходится.

Теорема (радикальный признак сравнения). Если для ряда существует предел , то при r<1 ряд сходится, а при r>1 ряд расходится, при r=1 ответ остается открытым.

Пример. Определить сходимость ряда .

Решение:

.Следовательно, ряд сходится.

Теорема (интегральный признак сравнения). Если f(x) при x ³ 1-непрерывная положительная и монотонно убывающая функция, то , где a_n = f(n) сходится или расходится, в зависимости от того сходится или расходится несобственный интеграл .

Пример. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд

Решение:

Члены ряда составляют монотонно убывающую последовательность .

Следовательно, функцией будет

Тогда (доказать самостоятельно).

Если p=1, то имеем – гармонический ряд, который расходится.

Итак, ряд сходится при и расходится при .

Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине, то есть и предел его общего члена при равен 0, то есть , то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена, то есть . Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение:

1)

2) .

Так как выполнены оба условия признака Лейбница, то ряд сходится.

Составим ряд из модулей

Исследуем полученный ряд с общим членом . По признаку сравнения (сравнивая с рядом Дирихле) ряд сходится, т.к. α.=2>1.

Таким образом, данный ряд сходится абсолютно.

 

Свойства степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд имеющий радиус сходимости ( может равняться ). Тогда каждому значению из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от на интервале сходимости. Обозначим ее через . Тогда можно записать равенство понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке из интервала сходимости равна значению функции в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что ряд сходится к функции на интервале сходимости. Вне интервала сходимости равенство не имеет смысла.

Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:

1) Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд а суммы их соответственно равны .

2) Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до , если , причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны

Примеры решения типовых задач

№ 1. Исследовать на сходимость ряды

а). б).

в). . г).

Решение:

а). Применим признак Даламбера, вычислим

число D=0 <1, следовательно, ряд сходится.

б). Применим признак Коши:

– ряд расходится.

в). Имеем следовательно, - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция при x ≥ 1. Применим интегральный признак сходимости.

Т.к. несобственный интеграл равен 1, следовательно сходится (является конечной величиной), поэтому сходится и данный ряд.

г). Ряд

1)

2).

Так как выполнены оба условия признака Лейбница, то ряд сходится.

Составим ряд из модулей

Исследуем полученный ряд с общим членом