Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Новые материалы

Топ:

История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...

Динамика и детерминанты показателей газоанализа юных спортсменов в восстановительном периоде после лабораторных нагрузок до отказа...

Интересное:

Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...

Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...

Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

2018-01-30

198

0.00 из 5.00 0 оценок

Заказать работу

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 10Следующая ⇒

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (3) широко применяется в вычислительной практике.

32. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной и их свойства. Пусть функция зависит от переменной и дифференцируема в точке . Может оказаться, что в точке дифференциал , рассматриваемый как функция от , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом: Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков. Дифференциалом -го порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть

Случай независимой переменной Пусть - функция независимой переменной , имеющая дифференциалы любого порядка. Первый дифференциал функции

где - некоторое приращение независимой переменной , которое мы задаем сами и которое не зависит от . По определению Переменной является аргумент . Значит, для дифференциала величина является постоянной и поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка

Для вычисления дифференциала применим формулу дифференциала первого порядка к функции . Тогда получим: Итак, Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала -го порядка:

Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции Решение. По формуле Найдем третью производную заданной функции: Тогда Ответ.

d ² f

dx ²

Пусть в интервале (a, b) задана функция f (x) и в каждой точке x Î (a, b) существует производная f '(x). Таким образом в интервале (a, b) задана функция y = f '(x).Если первая производная функция y = f '(x) дифференцируема в интервале (a, b), то ее производная называется второй производной функции f (x).

Вторая производная обозначается символами f ''(x) или

Вообще, производной n–го порядка функции f (x), называется производная от производной функции f (x) (n − 1)–го порядка. Производная n –го порядка обозначается f ⁽ⁿ⁾ (x). Замечание. Если речь идет о производной n –го порядка (n = 2, 3, …) в фиксированной точке x ₀, то для существования f ⁽ⁿ⁾ (x ₀) необходимо существование f ^{(n − 1)} (x) не только в точке x ₀, но и в некоторой ее окрестности. При этом условии f ⁽ⁿ⁾ (x ₀)=d dx f ^{(n − 1)} (x ₀).

Функция, имеющая в точке производную n –го порядка, называется n раз дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая в точке производные всех порядков, называется бесконечно дифференцируемой в этой точке.

Формулы для производных n –го порядка суммы и произведения функций

Если функции u (x) и v (x) n раз дифференцируемы на некотором промежутке, то производная n –го порядка суммы определяется формулой

(u + v)⁽ⁿ⁾ = u ⁽ⁿ⁾ + v ⁽ⁿ⁾,

а производная n –го порядка произведения определяется формулой Лейбница

(u · v)⁽ⁿ⁾ = u ⁽ⁿ⁾ · v + n u ^{(n − 1)} · v ' +

n (n − 1)

2!

u ^{(n − 2)} · v '' + … + u · v ⁽ⁿ⁾.

Формула Лейбница может быть записана в виде

(u · v)⁽ⁿ⁾ =

n

∑

k = 0

C_n^k · u ^{(n − k)} v ^(k),

n!

k! (n − k)!

где u⁽⁰⁾ = u(x), v⁽⁰⁾ = v(x) и C_n^k = — биномиальные коэффициенты.

33. Теорема Ролля, Лагранжа и Коши.

Теорема Ролля Пусть функция f (x) непрерывна на [ a, b ], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f (a) = f (b). Тогда существует точка c Î (a, b), в которой f ' (c) = 0. Доказательство. Так как функция f (x) непрерывна на [ a, b ],то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m. Возможны два случая: максимум и минимум достигаются на концах отрезка или что – либо (или максимум, или минимум) попадает вовнутрь интервала. В первом случае f (x) = const = M = m. Поэтому производная равна нулю f ' (c) = 0 в любой точке отрезка [ a, b ], и теорема доказана. Во втором случае, так как f (x) дифференцируема в точке c, из теоремы Ферма следует, что f ' (c) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля Геометрическитеорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке [ a, b ] и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах f (a) = f (b) равные значения, существует точка (c; f (c)), в которой касательная параллельна оси Оx.

Теорема Лагранжа Если функция f (x) непрерывна на замкнутом отрезке [ a, b ], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство f (b) − f (a) = f '(c)·(b − a).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим уравнение хорды, проходящей через точки (a, f (a)), (b, f (b))

y = f (a) + Q ·(x - a), где есть угловой коэффициент хорды. Рассмотрим разность ординат функции и хорды F (x) = f (x) − f (a) − Q ·(x − a). Очевидно, что функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому на интервале (a, b) найдётся такая точка с, для которой F ' (c) = 0. То есть F ' (c) = f ' (c) − Q = 0. Откуда следует . И, наконец, f (b) − f (a) = f '(c)·(b − a).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа Величина является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки M₁ (a; f (a)) и M₂(b; f (b)) графика функции у = f (x), a f ' (c) — угловой коэффициент касательной к графику в точке (c; f (c)). Из теоремы Лагранжа следует, что существует точка " c " такая, что касательная к графику в точке (c; f (c)) параллельна секущей M₁M₂. Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует. Замечание. Формула Лагранжа по структуре похожа на формулу линеаризации f (x) − f (x ₀) ≈ f '(x ₀)·(x −x ₀).

Отличие только лишь в выборе точки для подсчета значения производной и в знаке равенства.

Теорема Коши Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на [ a, b ] и дифференцируемы на (a, b). Пусть, кроме того, во всех точках интервала (a, b) функция g (x) имеет ненулевую производную g ' (x) ≠ 0. Тогда существует точка c Î (a, b), такая, что справедлива формула

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что знаменатель левой части формулы не обращается в ноль. Если допустить, что g (b) = g (a), то по теореме Ролля для функции g (x) найдется точка x Î (a, b), в которой g ' (x) = 0. А это противоречит условию, что g ' (x) ≠ 0 на (a, b). Рассмотрим функцию

.Функция F (x) на [ a, b ] удовлетворяет условиям теоремы Ролля: F(x) непрерывна на [ a, b ], дифференцируема на (a, b), и, кроме того, на концах интервала принимает равные значения F (a) = F (b) = 0. По теореме Ролля для F (x) существует точка c Î (a, b), такая,что F ' (c) = 0. Так как , то . Откуда, учитывая, что g '(c) ≠ 0, следует искомое соотношение.

Правило Лопиталя.

Первое правило Лопиталя

Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [ а, b ] и дифференцируемы на интервале (а, b), и пусть g ' (x) ≠ 0 всюду в (а, b). Пусть, далее, известно, что f (а) = g (а) = 0. Тогда говорят, что отношение при х → а + 0 представляет собой неопределённость вида 0/0. Теорема. Если при указанных условиях

, то и . Доказательство. Предположим, что ∞ < A < + ∞. Для заданного как угодно малого числа e > 0 выберем х ₀ так, чтобы в интервале (а, x ₀) выполнялось неравенство .

Применим теорему Коши к отрезку [ а, x ₀], Если х [ а, x ₀], то существует такая точка с [ а, x ], что

и, следовательно, для всех х [ а, x ₀] справедливо неравенство

. Это означает, что . Второе правило Лопиталя Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в интервале (a, b) (может быть, бесконечном) и g ' (x) не обращается в нуль в (a, b). Пусть известно, что . Тогда говорят, что отношение при х → а + 0 представляет собой неопределённость вида . Теорема. Если при указанных условиях

, то и . Доказательство. Пусть А конечно. Для заданного как угодно малого числа ε > 0 выберем х ₀ так, чтобы в интервале (а, x ₀) выполнялось неравенство

. Определим функцию D (x, x ₀) из условия . Имеем

при x → a + 0. Применяя к отрезку [ x, x ₀] теорему Коши, получаем, что некоторой точки с [ x, x ₀]

Отсюда для всех х, для которых | D (x, x ₀) - 1 | < ε, находим

Так как ε произвольно мало, то , что и требовалось доказать.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 789 10 Следующая ⇒

Поделиться с друзьями:

Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...

Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...

Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...

Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...