Математические модели движения крови в системе сосудов

С упругими стенками

Рассмотрим осесимметричное движение крови, которая принимается вязкой несжимаемой жидкостью, в круглом сосуде постоянного радиуса R. Движение происходит в цилиндрической системе координат (x, r, θ), причем ось x совпадает с осью симметрии потока. Материал стенки считаем идеально упругим, изотропным.

Основная система уравнений динамики кровотока в гибких цилиндрических сосудах в таком случае будет иметь вид:

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

, (5)

, (6)

, (7)

, ,

где p – давление; ρ – плотность крови; μ – вязкость крови; v_x – осевая компонента скорости крови; v_r – радиальная компонента скорости крови; R – радиус сосуда; t – время; u, w – перемещения стенки в продольном и поперечном направлениях; Sʹ, Tʹ – силы натяжения в окружном и продольном направлениях соответственно; S₀, T₀ – начальные значения сил натяжения в окружном и продольном направлениях; E – модуль Юнга стенки; ν – коэффициент Пуассона; h – толщина стенки сосуда; ρ₀ – массовая плотность материала стенки сосуда.

На стенке записываем условия кинематического контакта стенки сосуда с жидкостью:

(8)

В случае моделирования гемодинамики крупных кровеносных сосудов в большинстве современных работ кровь полагается ньютоновской жидкостью. При этом показано, что разница значений (в случае крупных кровеносных сосудов), которые получаются для ньютоновской и неньютоновской жидкостей, не превышает 10%.

Уравнения (4)-(7) позволяют учесть податливость сосудистой стенки, а контактные условия (8) позволяют учесть взаимодействие стенки с потоком.

Такой подход к моделированию гемодинамики широко известен, однако основная система уравнений в этом случае не позволяет учесть конвективную составляющую ускорения частиц жидкости, а это, в свою очередь, для сосудистого русла с несколькими узлами бифуркации может оказать существенное влияние на результаты расчетов.

Основная система уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости в кровеносных сосудах с гибкими стенками в трехмерной постановке может быть записана в виде уравнений для направленных потоков.

Будем, как и раньше, полагать, что задача осесимметрична, а кровь является ньютоновской жидкостью.

Для направленных потоков жидкости в тонких трубках с упругими стенками на основе известного способа линеаризации возможен учет конвективного ускорения частиц жидкости в рамках линейной теории. В случае осесимметричных направленных потоков уравнения Навье-Стокса имеют следующий вид:

(9)

Здесь v₀ – основная скорость направленного потока, вокруг которой происходит малая пульсация составляющих скоростей: v_x = v₀ + vʹ; vr = vʹ.

Динамические уравнения осесимметричных колебаний предварительно натянутой круглой цилиндрической оболочки записываются в виде:

(10)

где .

Условия «прилипания» частиц жидкости к стенкам сосуда заменим условием стесненного их скольжения по поверхности контакта:

(11)

λ – коэффициент вязкого трения материала оболочки и жидкости.

Рассмотрим систему уравнений (9), (10) с контактными условиями (11). Умножим уравнение (1) на r и продифференцируем по x. Далее второе уравнение системы также умножим на r и продифференцируем по r, после чего сложим левые и правые части полученных уравнений. В результате получим уравнение для давления:

. (12)

Запишем преобразованную систему уравнений:

(13)

Для дальнейшего упрощения предложенной системы уравнений в трехмерной постановке можно вместо уравнений Навье-Стокса (9) использовать уравнения Эйлера для описания движения направленного потока идеальной несжимаемой жидкости, полагая при этом, что вязкое стесненное трение жидкости о стенку сосуда будет происходить в бесконечно тонком слое (погранслой) на контактной поверхности.

(14)

Вязкие свойства жидкости в погранслое будут описываться упрощенным одномерным уравнением, записанным на основании первого уравнения Навье-Стокса:

. (15)

При этом на границе погранслоя функция давления может испытывать конечный скачок. Касательные напряжения на стенке будут иметь вид:

(16)

Тогда уравнения движения оболочки примут вид:

(17)

В качестве контактных условий для идеальной жидкости можно взять условия непроницаемости стенки и условия прилипания частиц жидкости вдоль стенки:

. (18)

Из системы уравнений (14)-(17) путем простых преобразований может быть получено уравнение для давления в виде (12).

Запишем преобразованную систему уравнений:

(19)

Система (19) с контактными условиями (18) представляет собой упрощенный вариант системы уравнений динамики кровотока в сосудах с упругими стенками, так как уравнения Навье-Стокса здесь заменяются уравнениями Эйлера для идеальной жидкости, которые имеют более простой вид.

Решение основной системы уравнений для случая пульсирующего кровотока как для системы (9)-(10), так и для системы (19) можно искать в виде простых гармонических волн:

, (20)

, (21)

где ω – частота пульсации кровотока, χ – волновое число.

Подставляя выражения (21) в уравнения движения жидкости основной системы, получим базовые решения для амплитуд компонент скорости и давления. В этом случае сумма базовых решений для каждой волновой гармоники даст общее решение основной системы.

Неизвестные константы необходимо определять из контактных условий, уравнений движения стенки, а также из граничных условий на входе и выходах из сосудистой системы. Это напрямую связано с решением дисперсионных уравнений, возникающих при подстановке выражений (20) в основную систему.

Были получены начальные точки (рис. 1 и 2) дисперсионных кривых для дисперсионного уравнения, полученного при решении системы (1)-(7). На рисунках значения по осям а и b – это действительная и мнимая части волнового числа.

Используя полученные точки в качестве начальных приближений для построения решения дисперсионного уравнения, можно построить необходимые дисперсионные кривые, что позволит завершить решение полной краевой задачи с учетом краевых и контактных условий и найти необходимое число констант интегрирования.

Рис. 1. Начальные точки дисперсионных кривых в случае малой вязкости

Рис. 2. Начальные точки дисперсионных кривых в случае большой вязкости

Такой алгоритм поиска общего решения системы (1)-(7) вполне подходит для решения систем (9)-(10) и (19). Таким образом, предложенные математические модели могут использоваться для исследования кровотока в системе кровеносных сосудов.