Проверка закона сохранения энергии на маятнике Максвелла

Вопросы допуска

1. Какие существуют виды механической энергии? Дайте их определения.

2. Сформулируйте закон сохранения механической энергии системы и условия его выполнения.

3. Опишите превращения энергии для мятника максвелла.

4. Что такое момент инерции тела? Чему равен момент инерции диска, кольца?

5. как определяется скорость поступательного движения маятника Максвелла?

6. Чему равны кинетическая и потенциальная энергии колебательной системы? Как они изменяются со временем?

7. Чему равна полная энергия системы? В каких случаях она остается постоянной?

Контрольные вопросы

1. Какова мера несовпадения h с относительной погрешностью ?

2. Каковы причины невыполнения (выполнения) закона сохранения механической энергии маятника Максвелла.

3. Почему колебания маятника максвелла затухающие? Приведите формулы.

4. Запишите уравнения движения маятника максвелла. Выведите формулы для ускорения центра масс диска маятника, силы натяжения нити.

5. зависит ли ускорение и сила натяжения нити от направления движения диска (вверх или вниз)?

 

Литература: [1]; [2]; [3]; [9]; [10]; [11].

Цель работы: 1. Экспериментально проверить закон сохранения энергии поступательно-вращательного движения на маятнике Максвелла. 2. Определить скорость поступательного движения маятника по энергетическим и кинематическим соотношениям и сравнить их.

Оборудование: маятник Максвелла. В комплект установки входят кольца для изменения момента инерции маятника. Время падения маятника фиксируется электронным секундомером (часами).

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Наиболее общей мерой движения материи является ее энергия. В механике это энергия, соответствующая движению взаимодействующих тел. Различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную.

Потенциальная энергия. Энергия, определяемая взаимным расположением взаимодействующих тел и зависящая только от координат, называется потенциальной. Работа А ₁₂, совершаемая консервативными силами при переводе системы из одного состояния в другое, равна убыли потенциальной энергии в этих состояниях.

, (1)

где W ₁ и W ₂ – потенциальная энергия системы в состоянии 1 и 2 соответственно.

Конкретный вид потенциальной энергии зависит от характера силового поля. В поле силы тяжести потенциальная энергия тела массы m имеет вид:

, (2)

где g – ускорение свободного падения, h - высота, отсчитанная от уровня, где потенциальная энергия равна нулю.

Кинетическая энергия. Кинетическая энергия – энергия, которой обладает тело (либо система тел) благодаря их движению. В случае если тело движется поступательно со скоростью v и одновременно вращается вокруг некоторой оси с угловой скоростью w, полная кинетическая энергия его движения равна:

, (3)

где m – масса тела, I – момент инерции.

Как видно, при вращательном движении роль линейной скорости играет угловая скорость, а роль массы – момент инерции. Момент инерции I зависит не только от массы, но и от распределения этой массы относительно оси вращения. Значения I для некоторых тел правильной геометрической формы (длинный стержень, диск, шар, цилиндр) приведены в справочниках по физике.

Закон сохранения энергии: Механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют консервативные силы, остается постоянной. В таких системах при движении тела происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, а полная энергия остается постоянной. (К консервативным силам относятся: гравитационные, упругие, кулоновские и др. Неконсервативными являются силы трения, сопротивления, неупругих деформаций.)

Механическая энергия сохраняется и в незамкнутых системах, если внешние силы не совершают работу, т.к. мерой изменения энергии является совершенная работа.

Методика эксперимента

В данной работе проверка закона сохранения энергии поступательно-вращательного движения тела выполняется на маятнике Максвелла (рис. 1). Маятник Максвелла – это диск 1, закрепленный на оси 2, которая, в свою очередь, подвешена на двух нитях 3, закрепленных верхними концами на кронштейне 4. Эти нити могут наматываться на ось, а при раскручивании их маятник совершает поступательно-вращательное движение, т.е. поднимается и опускается вращаясь.

Диск маятника 1 представляет собой непосредственно сам диск и сменные кольца, которые закрепляются на диске.

Вращение диска, продолжаясь по инерции в низшей точке движения (когда нити уже размотаны), приводит вновь к наматыванию нитей на стержень, а следовательно, к подъему маятника. Движение маятника после этого замедляется, маятник останавливается и снова начинает свое движение вниз и т.д. ход маятника (расстояние, проходимое маятником) может быть измерен с помощью линейки.

 

Уравнение движения маятника без учета сил трения имеет вид:

, (4)

где m – масса маятника, I – момент инерции маятника, g – ускорение силы тяжести, r – радиус стержня, Т – сила натяжения (одной) нити, а – ускорение поступательного движения центра масс маятника, e - угловое ускорение.

В процессе эксперимента выделим два основных состояния.

В состоянии I маятник массой m находится на некоторой высоте h. Механическая энергия системы в этом состоянии равна только потенциальной энергии:

. (5)

Отпустим маятник. Под действием силы тяжести он начнет падать вниз (поступательное движение), а силы натяжения нитей приведут его во вращательное движение.

В состоянии II маятник, опустившийся с высоты h, движется поступательно со скоростью v, вращаясь при этом вокруг оси, проходящей через центр масс с угловой w. Следовательно, механическая энергия системы в состоянии 2 складывается из кинетических энергий поступательного и вращательного движения:

. (6)

В выделенной системе (маятник в поле сил тяжести) должен выполняться закон сохранения энергии. Сила тяжести – консервативная сила. Сила натяжения нити является внешней силой, но она не совершает работу, т.к. ее точка приложения при малом повороте маятника остается на месте. Следовательно:

, (7)

Скорость поступательного движения маятника связана с угловой скоростью соотношением:

, (8)

где r – радиус оси маятника.

Тогда формула (7) примет вид:

, (9)

а скорость поступательного движения маятника приобретает значение:

. (10)

С целью проверки закона сохранения энергии вычислим скорость другим независимым способом, используя известные кинематические соотношения. Так как движение маятника является равноускоренным, то если за время падения t маятник прошел путь h, его ускорение равно

. (11)

Отсюда скорость поступательного движения маятника:

. (12)

таким образом, если скорость, определенная по соотношению (10), равна скорости, представленной соотношением (12), то это подтверждает сохранение энергии для выделенной системы, т.к. (12) справедливо для равноускоренного движения, а формула (10) верна в случае выполнения закона сохранения энергии.

Скорость в (10) зависит от момента инерции маятника, который можно изменять, устанавливая на диск различные кольца. момент инерции маятника определяется как

, , (13)

где I _о – момент инерции оси; I _д – момент инерции диска, равный ; R _д – радиус оси диска и кольца, I _к - момент инерции кольца, равный ; где R _к – средний радиус кольца, b – ширина кольца, m _о = 0,033 кг – масса оси, m _д = 0,125 кг – масса диска, m _к = 0,257 кг - масса кольца.

радиусы кольца берутся как среднее значение между внутренним и внешним радиусами. Так как радиус оси маятника значительно меньше радиуса диска, то моментом инерции оси можно пренебречь.

ХОД РАБОТЫ

1. Соберите установку (см. рис. 1). Проведите регулировку положения основания установки при помощи регулировочных винтов так, чтобы диск с осью на бифилярном подвесе был направлен горизонтально рабочему столу.

2. аккуратно вращая маятник с одним из колец, указанным преподавателем, зафиксируйте его рукой в верхнем положении. При вращении необходимо следить за тем, чтобы нить наматывалась на ось виток к витку.

3. Маятник начинает опускаться при разжатии пальцев руки. С помощью часов произведите отсчет времени опускания маятника t (нахождение маятника в нижней точке). По линейке определите ход маятника h. Записав значения h и t, для повышения точности измерений необходимо повторить опыт несколько раз.

4. Измерьте штангенциркулем диаметр диска, оси маятника, внутренний и внешний диаметры и ширину кольца. По формуле (13) рассчитайте момент инерции маятника.

5. Повторите опыт с другим кольцом (большим или меньшим диаметром). Рассчитайте момент инерции. Сравните между собой полученные результаты. Сделайте вывод.

6. Постройте график зависимости h = f(t), записывая время раскручивания маятника и соответствующее ему положение маятника в нижней точке до полной остановки маятника.

7. определите экспериментальное значение ускорения маятника, линейную и угловую скорости в момент прохождения маятником нижней точки хода. Определите относительную погрешность, сравнивая теоретическое (а _т) и экспериментальное (а _э) значения ускорения по формуле:

, (14)

 

.

 

8. По формуле (6) найдите кинетическую энергию маятника Максвелла, сравните ее с начальной потенциальной энергией (2). По разности этих энергий найдите работу сил трения.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6