Тема 3. Абсолютные и относительные

ВЕЛИЧИНЫ

Содержание практического занятия: Вычисление условно-натуральных показателей, отдельных видов относительных величин.

Задача 1. За отчетный период предприятие произвело следующие виды мыла и моющих средств:

Виды мыла и моющих средств	Количество, кг
Мыло хозяйственное 60%-й жирности
Мыло хозяйственное 40%-й жирности
Мыло туалетное 80%-й жирности
Стиральный порошок 10%-й жирности

Определить: 1) общее количество выработанной предприятием продукции в условно-натуральных единицах измерения. За условную единицу измерения принимается мыло 40%-й жирности; 2) относительные величины структуры и координации.

Решение:

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Таблица 1 – Относительные величины структуры и координации

Виды мыла и моющих средств	Количество продукции в условно-натуральном исчислении, кг	Относительная величина структуры	Относительная величина координации
Мыло хозяйственное 60%-й жирности
Мыло хозяйственное 40%-й жирности
Мыло туалетное 80%-й жирности
Стиральный порошок 10%-й жирности
Итого

Задача 2. Определите относительные показатели плана по выпуску продукции на предприятии, а также относительные показатели реализации плана и динамики.

Таблица 2 – Выпуск продукции на предприятии

Продукция	Базисный год	Отчетный год
План	Факт
Тип А, шт.
Тип Б, шт.

 

Порядок выполнения работы:

1) Определим относительные показатели плана по выпуску продукции (ОПП):

,

- по продукции А: ОПП =

- по продукции Б: ОПП =

 

2) Определим относительные показатели реализации плана (ОПРП):

,

- по продукции А: ОПРП =

- по продукции Б: ОПРП =

 

3) Определим относительные показатели динамики:

ОПД = ОПП * ОПРП,

- по продукции А: ОДП =

- по продукции Б: ОДП =

4) Выводы:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 3. По данным таблицы 10 определите структуру финансовых результатов хозяйственной деятельности предприятий различных отраслей экономики края. Изобразите ее графически с помощью столбиковой или секторной диаграммы.

Таблица 3– Структура финансовых результатов деятельности предприятий различных отраслей

Отрасли экономики	Количество предприятий в базисном году	Количество предприятий в отчетном году
шт.	в % к итогу	шт.	в % к итогу
1. Прибыльные,
в том числе:
1) промышленность
2) сельское хозяйство
3) транспорт
4) строительство
2. Убыточные,
в том числе:
1) промышленность
2) сельское хозяйство
3) транспорт
4) строительство
Всего:

 

Порядок выполнения работы:

Определим удельный вес каждой отрасли в общем числе прибыльных и убыточных предприятий, путём деления числа предприятий каждой отрасли на общий итог (строка всего) и умножения результата деления на 100%.

Результаты расчётов занесём в таблицу 3.

В сумме доля прибыльных и убыточных предприятий должна равняться 100%.

Сумма удельного веса каждой отрасли, как по прибыльным, так и по убыточным предприятиям также должна составить 100%.

Задача 4. Имеются следующие данные о розничном товарообороте за 2011-2012 гг., тыс. руб.:

Год	I квартал	II квартал	III квартал	IV квартал	Всего за год
	173,7	182,4	190,3	206,9	753,3
	200,7	205,9	215,1	240,9	862,6

 

Определить относительный показатель динамики. Исчислить относительные величины структуры розничного товарооборота по кварталам за каждый год.

Решение:

Таблица 4 – Расчет показателей динамики

Год	I квартал	II квартал	III квартал	IV квартал	Всего за год
базисный
цепной
базисный
цепной

Таблица 5 – Расчет структуры розничного товарооборота

Год	I квартал	II квартал	III квартал	IV квартал	Всего за год

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 5.

Имеются следующие данные о численности экономически активного населения России, млн человек:

Экономически активное население 72,7

в том числе:

занятые в экономике 65,9

безработные 6,8

Определить сколько безработных приходится на 1000 занятых в экономике России (величина интенсивности)

 

Решение:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

Контрольные вопросы:

1. Какие обобщающие показатели вы знаете?

2. Что называют абсолютными статистическими величинами?

3. Что называют относительными статистическими величинами?

4. Перечислите виды абсолютных величин.

5. Перечислите виды относительных величин.

6. Назовите единицы измерения абсолютных показателей.

Тема 4. Средние величины

Содержание практического занятия: Расчет различных видов средних величин.

Задача 1. Имеются данные о выполнении плана реализации продукции предприятиями.

Таблица 1 – Выполнение плана реализации продукции

Номер предприятия	Фактически реализовано продукции, тыс.шт.	Выполнение плана реализации, %	Средняя цена реализации, руб. за 1 шт.
	5,5
	3,8
	2,2
	7,4
	1,8

 

Определите:

- средний объем реализации продукции на одно предприятие;

- средний процент выполнения плана реализации продукции по пяти предприятиям;

- среднюю цену реализации продукции;

- поясните, какие виды средних величин Вы использовали и почему.

Порядок выполнения работы:

1) Определим средний объем реализации продукции на одно предприятие по формуле средней арифметической простой, т.к. у нас имеются данные о фактической реализации продукции по каждому отдельно взятому предприятию:

=

 

где: Х – фактический объём реализации продукции, тыс. шт.;

n – количество предприятий.

2) Вычислим средний процент выполнения плана реализации продукции по пяти предприятиям. Для этого нам необходимо знать фактический и плановый объёмы реализации. Фактический нам известен по условию задачи, а плановый объём реализации для каждого предприятия рассчитаем как отношение фактического объёма реализации к проценту выполнения плана реализации. Формула, по которой будем выполнять расчёты, называется средняя гармоническая взвешенная:

=

 

где Х – выполнение плана реализации, %;

W – фактический объём реализации продукции, тыс. шт.

3) Рассчитаем среднюю цену реализации продукции. Поскольку на каждом предприятии было реализовано разное количество продукции и по различной цене, то для расчёта средней цены реализации необходимо воспользоваться формулой средней арифметической взвешенной:

=

где Х – цена реализации продукции, руб. за шт.;

f – фактический объём реализации продукции, тыс. шт.

4) Выводы:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 2. По итогам года на предприятии с численностью работников 450 человек были собраны следующие сведения о заработной плате работников:

Таблица 2 – Данные о заработной плате работников предприятия

Заработная плата работников, руб.	Число работников, чел.
До 2000
2000-3000
3000-4000
4000-5000
5000-6000
6000-7000
7000-8000
8000-9000
9000-10000
Более 10000

 

Определите среднюю заработную плату на предприятии, а также среднюю модальную и среднюю медианную заработную плату.

Порядок выполнения работы:

1) Среднюю заработную плату на предприятии определим по формуле средней арифметической взвешенной, для вычисления которой подготовим расчётную таблицу 3.

Таблица 3 – Исходные и расчётные данные для вычисления

средней зарплаты

Заработная плата работников, руб.	Середина интервалов (Х)	Число работников, чел. (f)	Произведение Х f
До 2000
2000-3000
3000-4000
4000-5000
5000-6000
6000-7000
7000-8000
8000-9000
9000-10000
Более 10000
Итого:	–

Данные из таблицы подставим в формулу и вычислим искомую среднюю заработную плату:

=

 

2) Определим модальную и медианную заработную плату. Для этого сначала необходимо установить модальный интервал (интервал с наибольшей частотой), а затем вычислим:

а) модальную заработную плату по формуле:

=

где Х_о – нижняя граница модального интервала;

i – величина интервала;

f₁ – частота интервала, предшествующего модальному;

f₂ – частота модального интервала;

f₃ – частота интервала, следующего за модальным.

б) вычислим медианную заработную плату:

=

где Хо – нижняя граница медианного интервала;

i – величина интервала;

– накопленная частота до медианного интервала;

– сумма частот всей совокупности;

– частота медианного интервала.

3) Выводы:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 3. По данным таблицы 4 определите среднюю площадь посева в сельхозпредприятиях, среднюю урожайность и среднюю стоимость 1 ц озимой пшеницы. Сделайте выводы.

 

Таблица 4 – Исходные и расчётные данные для вычисления

средних величин

№	Исходные данные	Расчетные данные
Посевная площадь, га (S)	Урожайность ц/га (ц). (У)	Себестоимость 1ц, руб. (Z)	Валовой сбор, ц (УS), (f)	Общие затраты, тыс. руб. (Zf)
		29,4
		32,1
		30,7
		25,8
		34,2
Итого:		–	–

Порядок выполнения задания:

1) Определим среднюю посевную площадь на СХП по формуле средней арифметической простой:

=

 

2) Вычислим среднюю урожайность 1 ц озимой пшеницы средней арифметической взвешенной:

=

 

3) Вычислим среднюю себестоимость 1 ц озимой пшеницы по формуле средней арифметической взвешенной:

=

 

Выводы:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 4. Имеются данные о производстве зерновых культур в сельхозпредприятии за 2 периода (таблица 5). Определите среднюю урожайность зерновых культур в отчетном и базисном периодах.

 

Таблица 5 – Исходные данные для расчета средней урожайности

Культуры	Базисный период	Отчетный период
Урожайность, ц/га (Y0)	Валовой сбор, ц (W)	Урожайность, ц/га (Y1)	Посевная площадь, га (S)	Валовой сбор, ц (Y1S)
Озимая пшеница	23,5		29,1
Ячмень яровой	18,2		22,3
Кукуруза на зерно	32,8		30,4
Овес	12,8		14,7
Итого:	–		–

Порядок выполнения задания:

1) Определим среднюю урожайность в отчётном периоде по формуле средней арифметической взвешенной:

=

 

2) Вычислим среднюю урожайность в базисном периоде. Для этого необходимо валовой сбор разделить на посевную площадь. Так как у нас нет данных о размере посевных площадей, а, следовательно, отсутствует знаменатель для средней арифметической взвешенной, то для определения средней урожайности сначала установим размер посевной площади отдельно по каждой культуре. Для этого валовой сбор каждой культуры разделим на её урожайность, т.е. найдём искомый знаменатель средней арифметической, а затем обычным порядком определим среднюю урожайность по формуле средней гармонической взвешенной:

=

где У – урожайность отдельных культур в базисном году, ц/га;

W – валовой сбор отдельных культур в базисном году, ц.

3) Выводы:

________________________________________________________________________ ____ ____________________________________________________________________________________________________________________________________ ____ ________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 5. Вычислите моду и медиану количественного состава семей города на основании следующего: их распределение по числу совместно проживающих членов семьи:

 

Число членов семьи							Итого
Число семей, % к итогу

 

Решение: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 6. Результаты экзамена по теории статистики в одной из студенческих групп представлены в таблице. Найдите модальный и медианный баллы успеваемости студентов.

Оценка	«5»	«4»	«3»	«2»	Итого
Число студентов

Решение:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 7. Курс реализованных акций составил: 500 рублей, 750 рублей, 1000 рублей. Стоимость реализации составила соответственно: 6000, 10500 и 5000 рублей. Определить средний курс реализации акций.

Решение:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 8. Доля забракованной продукции составила: 20, 10, 15 %. Стоимость произведенной продукции соответственно 200, 270, 400 тыс. рублей. Определить средний процент бракованной продукции.

Решение:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 9. План реализации бытовых услуг предприятиями составил соответственно 200, 270, 400 тыс. рублей. Выполнение плана реализации соответственно составило в процентах: 85, 70, 101. Чему равняется средний процент выполнения плана.

Решение:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 10. Стоимость реализованных услуг предприятием составили: 100, 120, 110 тыс. рублей. Выполнение плана соответственно: 90, 80, 105 %. Чему равен средний процент выполнения плана?

Решение:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задача 11. Бригада токарей была занята обработкой одинаковых деталей в течении 8-часового рабочего дня. Первый токарь затрачивал на одну деталь 12 мин., второй – 15 мин, третий – 14, четвертый – 16, пятый – 14 мин. Определить среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

Решение:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Контрольные вопросы:

1. Имеются данные о распределении по стажу рабочих предприятия:

Стаж работы	до 5 лет	5-10 лет	10-15 лет	более 15 лет
Количество рабочих

 

Средний стаж рабочих предприятия должен быть оценен как:

а) средняя арифметическая простая;

б) средняя арифметическая взвешенная;

в) средняя гармоническая простая;

г) средняя гармоническая взвешенная;

д) средняя геометрическая.

Ответ: 1) а, 2) б, 3) в, 4) г, 5) д.

 

2. Модой называется:

а) среднее значение признака в данном ряду распределения;

б) наиболее часто встречающееся значение признака в данном ряду;

в) значение признака, делящее данную совокупность на две равные части;

г) наиболее редко встречающееся значение признака в данном ряду;

д) серединное значение признака в данном ряду распределения.

Ответ: 1) а, 2) б, 3) в, 4) г, 5) д

 

3. Медианой называется:

а) среднее значение признака в ряду распределения;

б) наиболее часто встречающееся значение признака в данном ряду;

в) значение признака, делящее совокупность на две равные части;

г) наиболее редко встречающееся значение признака в данном ряду;

д) значения признака, делящие совокупность на четыре равные части.

Ответ: 1) а, 2) б, 3) в, 4) г, 5) д

 

4. Имеются данные о доле экспортной продукции металлургического предприятия:

Вид продукции	Доля экспортной продукции	Стоимость экспортной продукции, тыс.руб.
Сталь арматурная	40,0 %
Прокат листовой	32,0 %

 

Определить среднюю долю экспортной продукции:____________________________________________________________________________________________________________________________________

 

ТЕМА 5. ВАРИАЦИЯ

 

Задача 1. Используя данные таблицы 1, для двух предприятий определите следующие показатели:

q среднюю выработку на одного рабочего за смену;

q размах вариации;

q среднее линейное отклонение;

q дисперсию;

q среднее квадратичное отклонение;

q коэффициент вариации.

Сравните полученные данные и сделайте выводы.

Таблица 1 – Выработка продукции на 1 рабочего за смену

№

Выработка на 1 рабочего за смену, руб.

Порядок выполнения задания:

1) Определим среднюю выработку на одного рабочего за смену по формуле средней арифметической простой:

,

а) на первом предприятии:

б) на втором предприятии:

2) Размах вариации:

R = Хmах – Хmin

а) на первом предприятии: R₁ =

б) на втором предприятии: R₂ =

4) Среднее линейное отклонение (невзвешенное):

,

а) на первом предприятии:

 

б) на втором предприятии:

 

5) Дисперсия: ,

а) на первом предприятии:

 

б) на втором предприятии:

6) Среднее квадратическое отклонение: ,

а) на первом предприятии:

 

б) на втором предприятии:

 

7) Коэффициент вариации: ,

а) на первом предприятии: v₁ =

 

б) на втором предприятии: v₂ =

 

 

8) Выводы:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 2. В результате анализа 500 проб получены данные о проценте влажности зерна:

Таблица 2 – Исходные данные о влажности зерна

Влажность зерна, %	До 4	4-6	6-8	8-10	10-12	12-14	Итого
Число проб, шт.

 

Определите дисперсию по основной формуле и по формуле:

.

 

Порядок выполнения задания:

1) Для определения дисперсии по основной формуле подготовим расчётную таблицу.

Таблица 3 – Данные для расчёта дисперсии

Влажность зерна, %	Среднее значение интервалов (Х)	Число проб (f)
До 4
4-6
6-8
8-10
10-12
12-14
Итого:	–			–	–

 

2) Средний процент влажности зерна определим по формуле средней арифметической взвешенной:

=

 

3) Дисперсия по основной формуле:

=

 

4) Находим дисперсию по формуле:

=

 

где: =

=

Для определения составим расчётную таблицу:

Таблица 4 – Данные для расчёта дисперсии

Среднее значение интервалов (Х)							Итого
Число проб, шт. (f)
Х2
Х2∙f

5) Выводы:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 3. Средняя урожайность зерновых культур в двух районах за 2006-2010 гг. характеризуется следующими данными, ц/га. Определите, в каком районе урожайность зерновых культур более устойчива.

 

1-й район
2-й район

Решение:

 

1-ый район

2-ой район

 

Вывод:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задача 4. По данным выборочного обследования заработной платы работников бюджетной сферы получены следующие показатели (таблица 5):

Таблица 5 – Заработная плата работников бюджетной сферы

Отрасль	Среднемесячная заработная плата, руб. xi	Численность работников, чел. fi	Дисперсия заработной платы σi2
Здравоохранение
Образование

 

Определить:

1) среднемесячную заработную плату работников по двум отраслям;

2) дисперсии заработной платы: а) среднюю из групповых дисперсий (отраслевых), б) межгрупповую (межотраслевую), в) общую;

3) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Решение:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 5. Имеются следующие данные о результатах экзаменационной сессии на 1 и 2 курсах: на 1 курсе 85% студентов сдали сессию без двоек, а на 2 курсе – 90%. Определить дисперсию доли студентов, успешно сдавших сессию на каждом курсе.

Решение: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 6. Имеются следующие данные по трем факультетам одного из вузов:

Факультет	Численность преподавателей	Доля лиц старше 50 лет	Дисперсия доли по группам
		0,28	0,2016
		0,15	0,1275
		0,1	0,0900

Определить долю преподавателей старше 50 лет в целом по терм факультетам, а также общую дисперсию доли.

Решение:

_____________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Контрольные вопросы.

1. К абсолютным показателям вариации относят: а) размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, б) коэффициент вариации, линейный коэффициент вариации, коэффициент осцилляции

Ответ: 1) а, 2) б, 3) а,б, 4) –

 

2. Правило сложения дисперсий:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Ответ: 1) а, 2) б, 3) в, 4) г, 5) д.

3. Эмпирическое корреляционное отношение представляет собой корень квадратный из отношения:

а) средней из групповых дисперсий к общей дисперсии;

б) межгрупповой дисперсии к общей дисперсии;

в) межгрупповой дисперсии к средней из групповых дисперсий;

г) средней из групповых дисперсий к межгрупповой дисперсии.

Ответ: 1) а, 2) б, 3) в, 4) г, 5) д.

 

4. Что характеризует коэффициент вариации:

а) диапазон вариации признака;

б) степень вариации признака;

в) тесноту связи между признаками.

5 Определить все показатели вариации

Стаж работы	до 5 лет	5-10 лет	10-15 лет	более 15 лет
Количество рабочих

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6 На предприятии из 200 деталей 20% бракованных определить среднее квадратическое отклонение бракованных деталей.

 

7 Имеются показатели распределения основных фондов по заводам:

Группы заводов по стоимости основных фондов, млн руб.	Число заводов	Основные фонды в среднем на завод, млн руб.	Среднее квадратическое отклонение
1,2-2,7		1,8	0,67
2,7-4,2		3,2	0,65
4,2-5,7		4,8	0,51
5,7-7,2		6,9	0,48

 

Определить общую дисперсию основных фондов по совокупности заводов, применяя правило сложения дисперсий.

Тема 6. Ряды динамики

Содержание практического занятия: Классификация рядов динамики, вычисление показателей динамического ряда, сглаживание рядов динамики методом скользящей средней и аналитическое выравнивание, графическое изображение динамики явления.Выявление сезонных колебаний. Приведение ряда динамики к одному основанию.

Задача 1. Грузооборот железных дорог в двух странах характеризуется следующими данными:

Таблица 1 – Грузооборот железных дорог, млрд. тарифных т.км.

Годы
Страна А
Страна Б

 

Для сравнительного анализа грузооборота железных дорог в двух странах:

- приведите ряды динамики к общему основанию;

- определите коэффициент опережения грузооборота железных дорог в стране А по сравнению со страной Б;

- сделайте выводы.

 

Порядок выполнения задания:

1) Различные значения абсолютных уровней рассматриваемых рядов динамики затрудняют выявление особенностей грузооборота железных дорог в странах А и Б. Приведём абсолютные уровни рядов динамики к общему основанию, приняв за постоянную базу сравнения 2002 год и получим данные в % к 2002 году. Полученные относительные уровни рядов динамики проанализируем.

Таблица 2 – Динамика грузооборота железных дорог, в % к 2002 году

Годы
Страна А
Страна Б

________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

2) Сопоставив базисные темпы роста грузооборота железных дорог в стране А и в стране Б получим коэффициент опережения – относительный показатель, характеризующий опережение (если он больше единицы) или отставание (если меньше единицы) в развитии стран:

k=

3) Выводы:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 2. Приведите уровни ряда динамики, характеризующего численность работников фирмы к сопоставимому виду. Приведение ряда динамики к сопоставимому виду выполните двумя способами.

Таблица 3 – Динамика среднесписочной численности работников

фирмы, чел.

Годы	Исходные данные	Расчётные данные
На 1 января среднесписочная численность работников	1 способ смыкания	2 способ смыкания
		–
		–
		–
	–
	–
	–
	–
	–

 

Порядок выполнения задания:

1) Определим коэффициент соотношения уровней двух рядов, для этого разделим численность работников второго ряда в 2003г. на тот же показатель для первого ряда:

Кс = 435: 431 =

Умножая на этот коэффициент уровни первого ряда, получим их сопоставимость с уровнями второго ряда.

Так для 2000 г.: 420 * Кс = _____________, и так далее.

Данные занесём в таблицу, это и будет сопоставимый ряд динамики численности работников фирмы.

2) Другой способ смыкания рядов динамики заключается в том, что уровни года, в котором произошли изменения (2003г.), как до изменений, так и после изменений (т.е. 431 и 435) принимаются за 100%. Остальные уровни пересчитываются в проценты по отношению к этим уровням соответственно – до изменений по отношению к 431, а после изменений – к 435. В результате получается сомкнутый ряд. Данные заносим в таблицу 3.

Задача 3. Стоимость основных производственных фондов на предприятии (в сопоставимых ценах) характеризуется следующими данными:

Таблица 4 – Динамика стоимости ОПФ на предприятии

Годы
Стоимость, тыс. руб.	113,2	129,5 <