Тема 7: производящая функция

Пусть производится независимых испытаний, причём в первом испытании вероятность появления события равна , во втором - , …, в -ом испытании - ; вероятности непоявления события соответственно равны , , …, . Обозначим - вероятность появления события в независимых испытаниях ровно раз.

Производящей функцией вероятностей называют функцию, определяемую равенством:

.

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события равна , во втором - и т.д., событие появится ровно раз, равна коэффициенту при в разложении производящей функции по степеням .

Например, если , то

.

Производящую функцию можно применять и для определения вероятностей в схеме Бернулли.

Кроме того, производящая функция используется и для определения вероятностей в случае когда в различных испытаниях появляются различные события: в первом испытании событие , во втором – событие и т.д. Изменяется лишь толкование коэффициентов при различных степенях . Например, в приведённом выше разложении коэффициент определяет вероятность появления двух событий и .

Задачи для самостоятельного решения:

7.1 Из двух орудий произведён залп по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна 0,8, для второго – 0,9. Найти вероятности следующих событий: а) два попадания в цель; б) одно попадание; в) ни одного попадания; г) не менее одного попадания.

7.2 Четыре элемента вычислительного устройства работают неза-висимо. Вероятность отказа первого элемента за время равна 0,2, второго – 0,25, третьего – 0,3 и четвёртого – 0,4. Найти вероятность того, что за время откажут: а) 4 элемента; б) 3 элемента; в) ни один элемент; г) не более двух элементов.

7.3 Две батареи по 3 орудия каждая производят залп по цели. Цель будет поражена, если каждая из батарей даст не менее двух попаданий. Вероятности попадания в цель орудиями первой батареи равны 0,4; 0,5; 0,6, второй – 0,5; 0,6 и 0,7. Найти вероятность поражения цели при одном залпе из двух батарей.

 

ПОДГОТОВКА И ПРОВЕДЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО ТЕМЕ «СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ»

1. Студент знает 20 из 30 вопросов к зачету по теории вероятностей и математической статистике. Оцените его шансы успешно сдать зачет, если для сдачи зачета необходимо знать хотя бы один из двух вопросов билета.

2. Взят кредит на год. Время закупки и доставки товара оценивают от 3 до 5 месяцев, время реализации – от 4 до 8 месяцев. Какова вероятность несвоевременного возврата кредита?

3. Эксперт оценивает качественный уровень трех видов изделий по потребительским признакам. Вероятность того, что изделие первого вида будет признано качественным равна 0,9; для изделия второго вида такая вероятность равна 0,7; для изделий третьего вида – 0,5. Изделий каждого вида одинаковое количество. Найти вероятность того, взятое наудачу изделие будет признано качественным.

4. Статистика показывает, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Какова вероятность, что из шести малых предприятий не более двух в течение года прекратят свою деятельность.

5. У Бабы Яги в избушке живут таракашки – 1000 штук. Кощей Бессмертный подарил бабусе, лично им изобретенное, замечательное средство уничтожения тараканов. Гарантия успешного воздействия Кощеем оценивается весьма высоко – 99,9 %. Реально ли выжить трем таракашкам?

 

Ответы:

1. 0,896; 2. 1/16; 3. 0,7. 4. 0,984; 5. 0,061.

 

 

Приложение №1

Значение функции

0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0	0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,0044
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

 

Приложение №2

Значения функции Лапласа

0,00	0,5000	0,32	0,6255	0,64	0,7389	0,96	0,8315
0,01		0,33		0,65		0,97
0,02		0,34		0,66		0,98
0,03		0,35		0,67		0,99
0,04		0,36		0,68		1,00
0,05		0,37		0,69		1,01
0,06		0,38		0,70		1,02
0,07		0,39		0,71		1,03
0,08		0,40		0,72		1,04
0,09		0,41		0,73		1,05
0,10		0,42		0,74		1,06
0,11		0,43		0,75		1,07
0,12		0,44		0,76		1,08
0,13		0,45		0,77		1,09
0,14		0,46		0,78		1,10
0,15		0,47		0,79		1,11
0,16		0,48		0,80		1,12
0,17		0,49		0,81		1,13
0,18		0,50		0,82		1,14
0,19		0,51		0,83		1,15
0,20		0,52		0,84		1,16
0,21		0,53		0,85		1,17
0,22		0,54		0,86		1,18
0,23		0,55		0,87		1,19
0,24		0,56		0,88		1,20
0,25		0,57		0,89		1,21
0,26		0,58		0,90		1,22
0,27		0,59		0,91		1,23
0,28		0,60		0,92		1,24
0,29		0,61		0,93		1,25
0,30		0,62		0,94
0,31		0,63		0,95

1,26	0,8962	1,59	0,9441	1,92	0,9726	2,50	0,9938
1,27		1,60		1,93		2,52
1,28		1,61		1,94		2,54
1,29		1,62		1,95		2,56
1,30		1,63		1,96		2,58
1,31		1,64		1,97		2,60
1,32		1,65		1,98		2,62
1,33		1,66		1,99		2,64
1,34		1,67		2,00		2,66
1,35		1,68		2,02		2,68
1,36		1,69		2,04		2,70
1,37		1,70		2,06		2,72
1,38		1,71		2,08		2,74
1,39		1,72		2,10		2,76
1,40		1,73		2,12		2,78
1,41		1,74		2,14		2,80
1,42		1,75		2,16		2,82
1,43		1,76		2,18		2,84
1,44		1,77		2,20		2,86
1,45		1,78		2,22		2,88
1,46		1,79		2,24		2,90
1,47		1,80		2,26		2,92
1,48		1,81		2,28		2,94
1,49		1,82		2,30		2,96
1,50		1,83		2,32		2,98
1,51		1,84		2,34		3,00
1,52		1,85		2,36		3,20
1,53		1,86		2,38		3,40
1,54		1,87		2,40		3,60
1,55		1,88		2,42		3,80
1,56		1,89		2,44		4,00
1,57		1,90		2,46		4,50
1,58		1,91		2,48		5,00

 

 

Приложение №3.

Значения функции Пуассона

m	0,5		1,5		2,5
	0,60653	0,36788	0,22313	0,13534	0,08208	0,04979
	0,30327	0,36788	0,33470	0,27067	0,20521	0,14936
	0,07582	0,18394	0,25102	0,27067	0,25652	0,22404
	0,01264	0,06131	0,12551	0,18045	0,21376	0,22404
	0,00158	0,01533	0,04707	0,09022	0,13360	0,16803
	0,00016	0,00307	0,01412	0,03609	0,06680	0,10082
	0,00001	0,00051	0,00353	0,01203	0,02783	0,05041
		0,00007	0,00076	0,00344	0,00994	0,02160
		0,00001	0,00014	0,00086	0,00311	0,00810
			0,00002	0,00019	0,00086	0,00270
				0,00004	0,00022	0,00081
					0,00005	0,00022
					0,00001	0,00006
						0,00001

 

 

m	3,5		4,5		5,5
	0,03020	0,01832	0,01111	0,00674	0,00409	0,00248
	0,10569	0,07326	0,04999	0,03369	0,02248	0,01487
	0,18496	0,14653	0,11248	0,08422	0,06181	0,04462
	0,21579	0,19537	0,16872	0,14037	0,11332	0,08924
	0,18881	0,19537	0,18981	0,17547	0,15582	0,13385
	0,13271	0,15629	0,17083	0,17547	0,17140	0,16062
	0,07710	0,10420	0,12812	0,14622	0,15712	0,16062
	0,03855	0,05954	0,08236	0,10444	0,12345	0,13768
	0,01687	0,02977	0,04633	0,06528	0,08487	0,10326
	0,00656	0,01323	0,02316	0,03627	0,05187	0,06884
	0,00230	0,00529	0,01042	0,01813	0,02853	0,04130
	0,00073	0,00192	0,00426	0,00824	0,01426	0,02253
	0,00021	0,00064	0,00160	0,00343	0,00654	0,01126
	0,00006	0,00020	0,00055	0,00132	0,00277	0,00520
	0,00001	0,00006	0,00018	0,00047	0,00109	0,00223
		0,00002	0,00005	0,00016	0,00040	0,00089
				0,00005	0,00014	0,00033
				0,00001	0,00004	0,00012
					0,00001	0,00004
						0,00001