Глава 18 модель стабильного населения и ее применение

ОПРЕДЕЛЕНИЕСТАБИЛЬНОГОНАСЕЛЕНИЯ

Модельстационарногонаселения, несмотрянасвоюзначимостьприразработкеотдельныхпонятийирешениицелогоклассапрактическихзадач, какужеотмечалось, вбольшинствеслучаевнесоответствуетдемографическойреальности. Какправило, численностьнаселениятойилиинойстраныизменяется. Этотфактучитываетсявмодели стабильного населения, п од которым в демографии понимают теоретическое закрытое население с неизменными во времени возрастными интенсивностями рождаемости, смертности и возрастной структурой населения. Модельстабильногонаселенияявляетсяупрощеннымизображениемпроцессавоспроизводстванаселения. Онастроитсядляодного, главнымобразомдляженскогопола. Параметрымоделидляпротивоположенногополарассчитываютсянаосновесоотношенияполовприрождении.

ОднимизпервыхкидеестабильногонаселенияподошелЛеонардЭйлер (1760). Всвоихисследованияхон, вчастности, обнаружил, чтонаселение, вкоторомустановилсяпостоянныйрежимсмертности, ачислородившихсяизменяетсяпоэкспоненциальномузакону, будетиметьнеизменнуювозрастнуюструктуру. Вначале XX векароссийско-немецкийстатистикВладиславБорткевичиспользовалгипотезустабильногонаселениядляисчислениявозрастногосоставареальногонаселения, численностькоторогоувеличиваетсяспостояннымтемпомприроста. СозданиесобственнотеориистабильногонаселениясматематическимобоснованиемееосновныхположенийсвязаносименемамериканскогодемографаАльфредаЛотки^[94]. Именноон, основываясьнааналогиисфизическимипроцессами, ввелвнаучныйобороттермин «стабильноенаселение», чтовпереводеслатинского (от «stabilis») означает «устойчивоенаселение». Еслирежимырождаемостиисмертностистабильногонаселениявнезапноизменятся, азатемвновьвернутсяксвоимпрежнимпостояннымвеличинам, товозрастнаяструктураиобщиедемографическиекоэффициентывэтомнаселениипостепеннотакжевернутсяксвоемуравновесномусостоянию.

СВОЙСТВАЭРГОДИЧНОСТИ

В 1911 годуводнойизпервыхсвоихработЛоткавместесдругимамериканскимученымФ. Шарпом^[95]доказалоднуизцентральныхвматематическойдемографиитеорему: закрытое население, в котором возрастныеинтенсивности рождаемости и смертности с определенного моментавремени стали постоянными, со временем будет иметь неизменную возрастную структуру, постоянные общие коэффициенты рождаемости исмертности и коэффициент естественного прироста ^[96]. Подобноенаселениеназывают асимптотически стабильным, апроцессприближенияегопервоначальнойвозрастнойструктурыиобщихдемографическихкоэффициентовкнекоторымпостоянным (предельным) значениям — стабилизацией населения. СамЛоткапользовалсятермином «стабильный» дляобозначенияименнотакогонаселения. Впроцессестабилизациивозрастнаяструктуранаселенияпостепеннокакбы «забывает» своюпервоначальнуюформу. Этоособоесвойствополучилоназвание сильной эргодичности. Послетого, какнаселениедостигнетстабильногосостояния, параметрыеговозрастнойструктурыбудутопределятьсятолькозаданнымирежимамирождаемостиисмертности.

Вконце 1950-хгг. А. Коулвысказалпредположение, чтовсечеловеческиепопуляции «забывают» своепрошлое. Когдауровнирождаемостиисмертностинепрерывноизменяются, такженепрерывноизменяетсявозрастнаяструктуранаселения. Скаждымгодомвлияниеисходнойвозрастнойструктурынаформукаждойпоследующейослабеваетипостепенносходитна «нет». Этосвойстволюбогонаселениясизменяющимисяпараметрамирождаемостиисмертностиудалятьсяотсвоейвозрастнойструктурыдалекогопрошлогополучилоназвание слабой эргодичности. МатематическионобылодоказаноученикомА. КоулаА. Лопесомвформеследующейтеоремы (теорема Лопеса): если два населения подчиняютсяодинаковым, но изменяющимся во времени режимам рождаемости исмертности, то эти два населения в конце концов приобретут одинаковыевозрастные структуры, хотя конечно эти структуры не обязательностремятся к пределу, как в случае стабильного населения.

Свойстваэргодичностиипроцессстабилизациивозрастныхструктурпредставленынарис. 18.1. Нанемизображенасерияизмененийполовозрастныхпирамиддвухразличныхнасегоднявдемографическомотношениистран — РоссиииЗамбии. Предполагается, чтовэтихстранах, начинаяс 1995 года, установилисьодинаковыережимырождаемостиисмертности. Мывидим, чтовпроцессестабилизацииисходныевозрастныепирамиды: водномслучае — классическаяпирамида, отличающаястранысвысокимуровнемрождаемости, вдругом — пирамида, формакоторойсильнодеформированавойнами, — постепенноразмываются, приобретаясовершенноиныеочертания. Посколькузамбийскоеироссийскоенаселение, поусловию, подчиняютсяодинаковымрежимамрождаемостиисмертности, постолькуихстольнепохожиевначалевозрастныеструктурыстремятсяксовершенноодинаковымпредельнымвозрастнымструктурам. 18.3.ЧИСЛЕННОСТЬ НАСЕЛЕНИЯ, ЧИСЛА РОДИВШИХСЯИ УМЕРШИХ В СТАБИЛЬНОМ НАСЕЛЕНИИ ^[97]

1. Общие коэффициенты рождаемости и смертности стабильного населения постоянны. Общиекоэффициентырождаемости n исмертности m ω ω

можновыразитьформулами n = ∑ f_x ⋅ cx и m = ∑ m_x ⋅ cx, где fx и

x =0 x =0

m_x — соответственно, возрастныекоэффициентырождаемости, а c_x — долялицввозрастеот x до x +1 лет. Изпостоянстваэтихвозрастныххарактеристикрождаемости, смертностиивозрастногосостававстабильномнаселениивытекаетпостоянствообщихкоэффициентоврождаемостиисмертности.

2. Коэффициент естественного прироста стабильного населения постоянен. Изравенства r = n − m, где n и m — постоянныевеличины, следуетпостоянствоикоэффициентаестественногоприроста r стабильногонаселения.

3. Стабильное население растет по экспоненциальному закону (или в геометрической прогрессии). Вглаве «Ростнаселения» былопоказано, чточисленностьнаселенияизменяетсяпоэтимзаконам, еслиегокоэффициентприростанеизмененвовремени:

P (t) = P (0)⋅ e^{r ⋅ t} . (18.1)

Рис. 18.1. Стабилизация возрастной структуры на примере России (слева)

и Замбии, предполагая, что в обеих странах в течении 100 лет сохраняется режим рождаемости и порядок вымирания, наблюдаемые в России в 1995 г.: TFR =1,344, ^e ₀ ^{муж .} = 58,27 лет, e ₀ ^{жен .} = 71,7 лет.

4. Числа родившихсяиумершихвстабильномнаселенииизменяются поэкспоненциальномузакону (иливгеометрическойпрогрессии). Обозначимчерез P (0) и P (t) — численностьнаселениявмоментывремени 0 и t, через N (0) и N (t) — соответствующиечислародившихся. Изпостоянстваобщегокоэффициентарождаемостиможнозаписатьпропорцию ^N P (⁽ t ^t) ⁾ = ^N P (⁽ 0 ⁰) ⁾ , азатемвыражение N (t) = P (t)⋅ N (0⁾ _{P (0)}. Соотношение (18.1) позволяетнамполучитьискомоеутверждение:

N (t) = N (0)⋅ e^{r ⋅ t} . (18.2)

Аналогичнымобразомвыводитсязаконизменениячислаумершихвстабильномнаселении M (t) = M (0)⋅ er ^{⋅ t} , где D (0) и D (t) — соответствующиечислаумерших.

18.4.ВОЗРАСТНАЯ СТРУКТУРА СТАБИЛЬНОГО НАСЕЛЕНИЯ Доля возрастной группы x в общей численности стабильного населения определяется по формуле c (x) = n ⋅ l (x)⋅ e ⁻ r ^{⋅ x} .Долявозрастнойгруппывточномвозрасте x (иливвозрастеот x до x + ∆ x, где∆ x — бесконечномалаявеличина) вобщейчисленностинаселенияопределяетсяпоформуле с (x) ⁼ P (x, t ⁾ _{P (t)} , где P (x, t) — численностьлюдейввозрасте x вмомент t.

Функция P (x, t) представляетсобойпроизведениечислародившихся x летназадивероятностиихдожитиядовозраста x, т.е. P (x, t) = B (t − x)⋅ l (x) ^[98]. Числородившихся x летназадравнопроизведениюобщегокоэффициентарождаемостинаобщуючисленностьнаселениявмомент t − x: N (t − x) = n ⋅ P (t − x). Изсоотношения (18.1) легкополучить, что

P (t − x) = P (t)⋅ e ⁻ r ^{⋅ x} . Послевсехнеобходимыхподстановокполучаем P (x, t) = n ⋅ P (t)⋅ l (x)⋅ e ⁻ r ^{⋅ x} . Разделивобечастина P (t), мывитогеполучаемматематическоевыражениевозрастнойструктурывстабильномнаселении:

c (x) = n ⋅ l (x)⋅ e ^{− r ⋅ x} . (18.3)

Изформулы (18.3) следует, чтообщийкоэффициентрождаемостира-

вен n = c (0).

Длярасчетовфункциивозрастнойструктуры c (x) стабильногонаселенияследуетиспользоватьдискретноеприближениеформулы (18.3):

c (x, x + τ) ≈ n ⋅ e ^{− r ⋅(x +τ 2)} ⋅ L (x, x + τ), (18.5)

где x + τ 2 — серединавозрастногоинтервала.

Так, дляпятилетнеговозрастногоинтервалаимеем c (x, x + 5) ≈ n ⋅ e ^{− r ⋅(x +2,5)} ⋅ L (x, x + 5).

Вставка 18.1.Пустьнаселениеразбитонаτ -летниевозрастныегруппы. Долякаждойвозрастнойгруппывобщейчисленностинаселениябудетравнасуммевсех возрастоввτ -летнеминтервалеилиинтегралуот x до x + τ: с dt или, послеподстановкиформулы (18.3), cdt. (18.4) Послерядапреобразованийподынтегральнойфункцииполучаетсярасчетная формула (18.5).

При r = 0 изформулы (18.4) получаетсявозрастнаяструктурастационарногонаселения: τ

c (x, x + τ) = n ⋅∫ l (x + t) dt.

Изформулы (18.3) следует, чтовозрастнаяструктуразависитотдвухпеременных: порядкавымирания l (x) иодногоиздвухвзаимосвязанныхкоэффициентов — общегокоэффициентарождаемостиикоэффициентаестественногоприроста. Приэтом, чем выше, при прочих равных условиях, коэффициент естественного прироста или общий коэффициент рождаемости, тем ниже доля лиц старших возрастов в общей численности населения. Этазависимостьотраженанарис. 18.2. Режимсмертноститрехпопуляций, расположенныхвверхнейчастирисунка, определяетсяфункциейдожитиятиповойтаблицысмертностиООНсожидаемойпродолжительностьюжизниприрождениидлядвухполов, равной 40 лет. Популяцииразличаютсяпокоэффициентамприростанаселения. Видно, чтосамаямолодаявозрастнаяструктуранаблюдаетсяунаселенияснаибольшимкоэффициентоместественногоприроста, равным r = 2%, самаястарая — устационарногонаселения (r = 0). Аналогичнаязакономерностьнаблюдаетсяутрехнижнихпопуляцийснизкимуровнемсмертности. РежимсмертностивданномслучаезадаетсятиповойтаблицейсмертностиООН сожидаемойпродолжительностьюжизниприрождениидлядвухполов, равной 70 годам. Изрисунка 18.2 видно, чтоприодномитомжеуровнеестественногоприростатепопуляции, гдепродолжительностьжизнивыше, имеютболеенизкуюдолюдетскихиболеевысокуюдолюстаршихвозрастоввобщейчисленностинаселения.

 

Рис. 18.2. Возрастные пирамиды стабильных популяций с высокой

( ^e ₀ ^{жен .} = 40 ) и низкой ( ^e ₀ ^{жен .} = 70 ) смертностью и истинным коэффициентом прироста r = 0%,1%, 2%.