Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2018-01-30 | 150 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции, то есть при выполняется неравенство < >
Для исследования функций применяются следующие признаки:
1. Если дифференцируемая функция на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке неотрицательна (неположительна), то есть
2. Если непрерывная на отрезке и дифференцируемая внутри него функция имеет положительную (отрицательную) производную, то она возрастает (убывает) на этом отрезке.
Функция называется неубывающей (невозрастающей) в некотором интервале, если для любых из этого интервала .
Интервалы, в которых функция не убывает или не возрастает, называются интервалами монотонности функции. Характер монотонности функции может изменяться только в тех точках ее области определения, в которых меняется знак первой производной. Точки, в которых первая производная функции обращается в ноль или терпит разрыв, называются критическими или стационарными.
Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство > < . Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции – ее экстремальными значениями.
Для исследования функций на экстремум применяются следующие теоремы.
Теорема. Если функция имеет в точке экстремум, то либо , либо не существует.
Для отыскания экстремумов функции находят все критические точки, а затем исследуют каждую из них по отдельности, чтобы выяснить будет ли в этой точке максимум или минимум, или же в ней нет экстремума.
|
Теорема. Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, возможно, самой точки ). Если при положительна, а при отрицательна, то при функция , имеет максимум. Если же при отрицательна, а при положительна, то при данная функция имеет минимум.
На отрезке функция может достигать наименьшего и наибольшего значения либо в критических точках функции, лежащих в интервале (), либо на концах отрезка .
Пример. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке .
Решение. Производная данной функции . Тогда приравнивая производную функции к нулю, получаем уравнение , решая которое, находим критические точки и .
Точка не принадлежит исследуемому интервалу, поэтому ее исключаем из рассмотрения.
Вычисляем значение функции в критической точке и на концах отрезка:
,
,
Сравнивая полученные числа, получаем, что наименьшее значение на отрезке функция принимает в точке , а наибольшее значение − в точке .
Итак, на отрезке , .
Ответ: , .
Кривая, заданная функцией , называется выпуклой в интервале , если все точки кривой лежат не выше любой ее касательной в этом интервале, и вогнутой в интервале , если все ее точки лежат не ниже любой ее касательной в этом интервале.
Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости графика функции и точек перегиба пременяются следующие теоремы.
Теорема. Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна (положительна), то есть , то кривая в этом интервале выпукла (вогнута).
Прямая называется асимптотой данной кривой , если расстояние от точки кривой до прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.
Если существуют числа (), при которых , то есть функция имеет бесконечные разрывы, то прямые называются вертикальными асимптомами кривой .
|
Наклонная асимптома задается уравнением , гдe, , , если оба предела существуют и конечны. При получается частный случай наклонной асимптоты – горизонтальная.
Алгоритм полного исследования функции и построения графика:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность – нечетность.
3. Найти точки разрыва функции, и вертикальные асимптомы (если они существуют).
4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
5. Найти наклонные асимптомы графика функции.
6. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
7. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
8. При необходимости выполнить дополнительные вычисления.
9. Построить график функции.
Пример. Провести полное исследование функции и построить ее график.
Решение. 1. Функция не определена в тех точках, в которых знаменатель равен 0, то есть при . Область определения ; ; .
2. Функция является четной, если и нечетной, если , при условии, что область определения функции симметрична относительно начала координат.
.
Данная функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Точка является точкой разрыва функции. Так как левосторонний предел функции при и правосторонний предел функции при бесконечны, то есть и , то прямая (ось ) является вертикальной асимптотой.
4. Чтобы найти точки пересечения с осью приравниваем функцию к нулю и решаем полученное уравнение:
.
График функции пересекает ось в точке . Для нахождения точки пересечения графика функции с осью необходимо вычислить значение функции при . Так как исследуемая функция не определена при , то нет точек пересечения с осью .
5. График функции имеет наклонную асимптому , если существуют пределы для и . Вычислим их для данной функции:
,
.
Следовательно, уравнение наклонной асимптоты
6. Находим производную функции:
при и не существует в точке Эти точки разбивают всю область определения функции на интервалы , . Внутри каждого из полученных интервалов производная сохраняет знак, а именно: на интервалах и на интервале . Это означает, что функция возрастает на интервале убывает на интервале и возрастает на интервале . В точке функция не определена, она не является точкой экстремума, а точка является точкой минимума функции.
|
7. Находим вторую производную:
Вторая производная не равна 0 ни при каких значениях , поэтому график функции не имеет точек перегиба. Точка , в которой не определена исследуемая функция, разбивает ее область определения на интервалы и . на обоих интервалах, поэтому кривая вогнута на всей области определения.
8. Для более точного построения графика функции вычислим ее значения в нескольких точках:
9. По результатам исследования строим график функции.
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!