Неумение учащихся замечать закономерности.

По мнению Д. Пойа, догадка – важнейший инструмент в доказательстве, ведь доказательство открывают с помощью догадки. При этом он отмечал, что нет единственного верного метода для догадок, однако, но не утверждал, что научить догадываться невозможно. Существуют основные методы обработки информации, применение которых может помочь учащимся в освоении метода догадок.

Сравнение. Метод, который, по мнению таких педагогов как К.Д. Ушинский, Я.А. Коменский, Л.С. Выготский, является самым универсальным. Было установлено, что ребенок осознает различие между объектами раньше, чем сходство, так как «само осознание отношения сходства требует более сложной и позже развивающейся структуры обобщения и понятий, чем осознание отношений различия».

Для овладения методом сравнения необходимо уметь выделять признаки у объектов, устанавливать общие и существенные признаки, выделять основание для сравнения (один из существенных признаков), сопоставлять объекты по данному основанию.

Аналогия, т.е. сходство нетождественных объектов в некоторых отношениях. Этот метод полезен при выдвижении гипотез, уяснении проблем и их решений.

Обобщение, т.е. мысленное выделение каких-либо общих существенных признаков изучаемых объектов. Тренироваться в обобщении можно с помощью задач на нахождение общего существенного признака, включение понятий в определенную систему, отнесение понятий к соответствующему классу предметов, определение понятий.

Абстрагирование, т.е. мысленное выделение общих существенных признаков, выявленных в результате обобщения, и превращение и х в новый объект исследования. Очевидно, что абстрагирование —метод, тесно связанный с обобщением, и не осуществляемый без него.

Приведем примеры заданий, решение которых поможет учащимся научиться подмечать закономерности:

1. Продолжите числовой ряд: 3, 6, 9, 12,... (Ответ: 15);

2. Вставьте пропущенное число: 5,..., 20, 40 (Ответ: 10);

3. Установите закономерность и вставьте пропущенное число: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..., 19 (Ответ: ряд состоит из простых чисел, пропущено 17);

4. Найдите лишний ряд: а) 3, 11, 19, 27; б) 2, 4, 8, 16; в) 4, 12, 20, 28; г) 7, 15, 23, 31. (Ответ: б);

5. Вставьте слово, которое будет окончанием первого слова и началом второго: дик (...) ец (Ответ: образ);

6. Как разрезать прямоугольник на четыре равных треугольника? шесть равных треугольников? четыре равных прямоугольника? пять равных прямоугольников? три равнобедренных треугольника? четыре равнобедренных треугольника? И т.д.

1.2 Непонимание необходимости доказательств:

Справедливо будет отметить, что обучение доказательствам должно начинаться до того, как появится необходимость доказывать теоремы. Самое оптимальное время для этого — 5-6 классы основной школы, но, конечно, в идеале, такую подготовку следует реализовывать еще в начальной школе.

Как уже было сказано, учителю следует демонстрировать необходимость доказательства на примерах, показывающих несовершенство человеческих органов чувств. Научить детей анализировать задачу, а не доверять первому впечатлению, можно, демонстрируя ученикам различные невозможные фигуры, оптические иллюзии и т.д. (Приложение 1).

1. На рисунке 1 изображены черные квадраты, основания которых лежат на прямых, на первый взгляд, не параллельных, но присмотревшись, можно убедиться, что эта иллюзия создается из-за того, что боковые стороны лежат на ломаных прямых, и изображенные горизонтальные прямые параллельны между собой.

2. На рисунке 2 создается та же иллюзия.

3. На рисунках 3-7 изображены отрезки, длины которых необходимо сравнить. При первом взгляде на отрезки кажется, что один из них действительно длиннее другого, так как зрительно занимает больше места на чертеже.

4. Аналогичное впечатление производит рисунок 8: два одинаковых круга заключены в окружности разного диаметра, и при взгляде на левое изображение мы подсознательно сравниваем большую окружность и круг внутри нее, из-за чего круг кажется нам меньше, чем на самом деле. Это связано с тем, что восприятие направления, расстояния, размера, формы фигуры искажается под влиянием других, близко размещенных с ней фигур.

5. На рисунках 9-11 представлены так называемые невозможные фигуры: на первый взгляд, это треугольник, куб и эллипс, но посмотрев внимательнее, можно убедиться, что ребра этих фигур соединены между собой неестественным образом. На вопрос, могут ли такие фигуры существовать в пространстве, большинство дает ожидаемый ответ — нет, однако, сконструировать такие фигуры возможно, но увидеть их такими можно только с определенного ракурса.

Важно во время демонстрации оптических иллюзий необходимо сообщать учащимся причины их возникновения.

1.3 Неумение учащихся выделять условие и заключение в математических утверждениях: