Использование линий влияния для расчета конструкций

Линии влияния можно использовать для решения различных задач при проектировании конструкций.

1. Загружение конструкции системой сил, приложенных на линии перемещения единичной силы и направленных параллельно этой силе. Рассмотрим балку, к которой при­ложены силы и , а также распределенная нагрузка от собственного веса q(рис. 2.10, а). Необходимо определить изгибающий момент в сечении С-С от всех нагрузок.

Построим линию влияния изгибающего момента М_с в сече­нии С-С, перемещая единичную силу по балке (рис. 2.10, б). Ордината линии влияния ц₁ равна изгибающему моменту в сечении С-С от единичной нагрузки, приложенной в ме­сте расположения этой ординаты. С учетом линейности свойств данной системы можем утверждать, что момент в сечении С-С от силы F_ltприложенной там же, будет в раз больше, т. е. . Здесь F₁по суще­ству безразмерная величина, показывающая, во сколько раз сила больше, чем , и равная числовому значению силы Наосновании принципа суперпозиций (независимости действия сил) значение изгибающего мо­мента от нескольких сил находится как (2.1)

Определим по линии влияния изгибающий момент от распределенной нагрузки. Бесконечно малый участок рас­пределенной нагрузки qdxможно рассматривать как со­средоточенную силу (рис. 2.10, а). Следовательно, изгиба­ющий момент, создаваемый этой силой, . Изгибающий момент от всей распределенной нагрузки най­дем интегрированием:

График не является интегрируемой функцией, поэто­му записываем сумму интегралов по участкам. Если

Рис. 2.10. Схема к расчету конструкций по лини­ям влияния

 

то эту величину можно вынести за знак интеграла, после чего получится

где — площадь под линией влияния, вычисленная алгебраически.

Суммарный изгибающий момент в сечении С-С от сосредоточенных сил и распределенной нагрузки

Суммирование здесь производится алгебраически, с учетом знаков ординат и направления нагрузок F_tи q.Если нагрузка направлена в ту же сторону, что и единичная сила, то она считается положительной.

Аналогичным образом по соответствующим линиям влияния могут быть найдены опорные реакции, перерезыва­ющие и продольные силы в любом сечении конструкции от системы нагрузок.

2. Наиболее неблагоприятное расположение системы связанных грузов. По конструкции передвигается тележка, опирающаяся, например, на два колеса. Необходимо найти такое положение тележки, при котором какой-либо силовой фактор (например, изгибающий момент в заданном сечении) достигает максимального значения. Для при-

Рис. 2.11. Схема поиска наиболее неблагоприятного для сечения С-С положения тележки

 

мера рассмотрим нахождение максимального изгибающе­го момента в сечении С-С (рис. 2.11).

Построим линию влияния момента М_с в сечении С-С. При произвольном положении тележки изгибающий момент от двух сил F}и F2 равен сумме (2.7): Пока тележка движется по участку , момент M_CFизменяется линейно и, следовательно, при этом экстремум невозможен. Перелом на графике M_CF(x)может произойти только при переходе одного из колес через вершину линии влияния. Таким образом, для определения максимального значения следует проверить значение момента M_CF(x)при двух положениях тележки (поз. 1 и 2), при (рис. 2.11). Кроме того, следует проверить экстремум на консоли (в данном примере на правой), т. е. значение мо­мента M_CF(x)при (поз. 3).

3. Определение наиболее загруженного сечения двухопорной балки без консолей. Рассмотрим балку, по кото­рой движется тележка на двух колесах, загруженных силами F.Найдем положение сечения, в котором при дви­жении тележки возникает наибольший изгибающий мо­мент. Это необходимо для расчета балки на прочность.

Как уже показано в предыдущем примере, наибольший момент в сечении получается при расположении одного из колес над этим сечением (рис. 2.12, а). Изгибающий момент,создаваемый двумя колесами в сечении под правым колесом, согласно (2.5), (2.7) и рис. 2.12, б

Для определения наиболее загруженного сечения про­дифференцируем это выражение пос:

Из условия найдем координаты сечения

(2.8)

Таким образом, наибольший изгибающий момент в бал­ке возникает под правым колесом при расположении его на расстоянии 0,25b правее центра пролета. Не сложно пока­зать, что такой же момент возникнет под левым колесом при расположении его на расстоянии 0,256 левее центра пролета.

При этом максимальный изгибающий момент в балке

(2.9)

Максимальная ордината линии влияния перерезывающей силы (2.6). Следовательно, сечение, в котором действует наибольшая перерезывающая сила в двухопорной балке, располагается вблизи опоры прис —>L(рис. 2.12, в).

4. Наибольший размах напряжений в балке. При расче­те конструкций на сопротивление усталости встает вопрос о положении сечения, в котором при движении нагрузки возникает наибольший размах напряжений .

Найдем положение этого сечения для рамы с консолью, счи­тая, что по ригелю перемещается одна сила F(рис. 2.13, а).

Поскольку напряжения в сечении С-С пропорциональны значениям изгибающего момента, можем также воспользоваться линией влияния изгибающих моментов М_с (рис. 2.13, б). Размах момента . Подставим значения ординат линии влияния из (2.5) при и получим

 

 

IС

б)

Для нахождения максимума продифференцируем эту функцию пос:

И из условия найдем координату сечения, в котором возникает наибольший размах напряжений,

(2.10)

Для примера, приведенного на рис. 2.13, приК = 0,5Lполучается, что наибольший размах напряжений имеет ме­сто в сечении, расположенном на расстоянии от опоры (рис. 2.13, в).

5. Наибольшее усилие в оттяжке. В стреловых кранах с переменной грузоподъемностью максимальная допустимая нагрузка на тележку F(x) меняется в зависимости от ее по­ложения на стреле. Рассмотрим методику определения наи­большего усилия в оттяжке балочной стрелы (рис. 2.14, а). По ней движется тележка, загруженная весом груза F(x). Зададим зависимость F{x)от вылета х формулой (рис. 2.14, б, кривая 1):

 

где F_max— максимальная грузоподъемность; М — грузовой момент; а и b— параметры конструкции крана. В данном примере принято: F_max= 100 кН; М = 1000 к-Нм; а = 13 м; b= 3 м; с - 20 м.

Усилие в оттяжке от единичной силы, приложенной на расстоянии х от корня стрелы, вычисляется из условия равновесия стрелы

Отсюда уравнение линии влияния получается как (кривая 2)

Рис. 2.14. Определение наи­большего усилия в оттяжке: 1 — график грузоподъемности F(x); 2 — линия влияния усилия в оттяжке; 3 — график зависи­мости усилия в оттяжке от поло­жения груза S(x)

Усилие в оттяжке от переменной нагрузки F(x),действующей на тележку (рис. 2.14, б, кривая 3),

Как видно из приведенных графиков, при постоянном весе груза наибольшее усилие в оттяжке получается при расположении тележки на максимальном вылете (кри­вая 2). Но в данном случае при переменной грузоподъем­ности максимум S(x)возникает при расположении тележ­ки на границе участка, которому соответствует максималь­ная нагрузка F_max,то есть при х = а (кривая 3).

6. Узловая передача нагрузки. Эта задача возникает в тех случаях, когда нагрузка перемещается не непосредственно по конструкции, а по рельсовому пути, представляющему собой ряд дополнительных однопролетных балок (рис. 2.15, а). Этот же подход используют при необходимости определить про­дольные усилия в стержнях ферм без учета местного изги­ба (п. 2.3.3).

Пусть произвольный график (рис. 2.15, б) есть линия влияния какого-либо силового фактора Uпри движении единичной нагрузки непосредственно по основной балке. Требуется построить линию влияния (U₂) того же фактора при перемещении нагрузки по дополнительным балкам (по

Рис. 2.15. Линии влияния при узловой передаче нагрузки

 

верхнему пути). В этом случае при расположении единичной силы в точкахС, D, Е и Fполучится ,так как сила через дополнительные опоры передается на нижнюю балку без изменения (рис. 2.15, б). Теперь необходимо установить, как пойдет линия влияния U₂между этими точками.

Если сила находится на расстоянии х от опоры D(рис. 2.15, в), то реакции D= 1 - х/а, Е = х/а. Следова­тельно, основная балка будет загружена такими же по аб­солютному значению, но направленными в противополож­ную сторону силами. При этом силовой фактор Uсогласно (2.7) вычисляется как

где , - ординаты линии влияния под силами Dи Е. Это выражение является линейной зависимостью, проходящей через точки (рис. 2.15, б). Такую линейную зависимость называют передаточной прямой.

Таким образом, линия влияния любого силового факто­ра при узловой передаче нагрузки (U₂) получается из ли­нии влияния, построенной при непосредственном загружении основной конструкции (U₁), путем соединения переда­точными прямыми точек исходной линии влияния, распо­ложенных под опорами дополнительных балок.