Тема 5. Изучение процессов в дискретном устройстве

 

Цель: Построение алгебраического представления комбинационной схемы по таблице истинности.

Теоретические сведения

Схемы, выходное состояние которых однозначно определяется только комбинацией входных сигналов, называют комбинационными. Законфункционированиякомбинационнойсхемыопределяетсясистемойпереключательных (логических) функций:

F₁ = f₁ (x₁, x₂,..., x_n),

(5.1)

Схемы, выходное состояние которых однозначно определяется только комбинацией входных сигналов, называют комбинационными. Закон функционирования комбинационной схемы определяется системой переключательных (логических) функций:   F1 = f1 (x1, x2,..., xn), F2 = f2 (x1, x2,..., xn), .......... Fk = fk(x1, x2,..., xn), Синтез комбинационной схемы состоит в построении схемы на основе заданного закона ее функционирования в виде системы переключательных функций или таблиц истинности. При синтезе комбинационной схемы чаще всего необходимо построить схему с использованием минимального числа элементов в заданном элементном базисе, например, на элементах И-НЕ. Задача проектирования комбинационных схем в общем случае не имеет однозначного решения. Наряду с логическими элементами для реализации комбинационных схем применяют схемы со средней и высокой степенью интеграции (ИС-2, ИС-3). Данные схемы сами являются продуктом синтеза, поэтому синтез на их основе комбинационных схем требует иного подхода, чем в случае использования логических элементов. В ряде случаев применение этих схем облегчает задачу синтеза, например, на мультиплексоре или дешифраторе легко реализовать любую функцию от двух, трех или четырех переменных. Существуют специально разработанные микросхемы (программируемые логические матрицы - ПЛМ) для реализации комбинационных схем. Например, на ПЛМ К556РТ1 можно реализовать до восьми логических функций, каждая из которых может иметь до шестнадцати переменных и содержать до сорока восьми конъюнктивных членов. Для реализации комбинационных схем также используют постоянные запоминающие устройства (ПЗУ). На них можно реализовать одновременно столько функций, сколько имеется выходов у схемы ПЗУ, а количество переменных xi определяется количеством адресных входов.   ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОДНОВЫХОДНОЙ КОМБИНАЦИОННОЙ СХЕМЫ Проектирование одновыходной комбинационной схемы на элементах И-НЕ состоит из следующих шагов: • получение минимальной ДНФ переключательной функции, • представление полученной минимальной формы в базисе Шеффера, • построение по полученному выражению комбинационной схемы. Пусть задана функция F1 от четырех переменных в виде десятичных номеров конституент совершенной дизъюнктивной нормальной формы, т.е. тех наборов, на которых функция равна единице (см. вариант 30 в таблице вариантов): F1 (x3, x2, x1, x0) = (0, 2, 4, 6, 10, 12, 14, 15). Эту функцию необходимо реализовать на элементах И-НЕ. Запишем эту функцию в виде логического выражения: . Минимизация функции Произведем минимизацию заданной функции, используя метод диаграмм Вейча (рис.2.1).   Получим следующее минимальное выражение функции: . (2.2) Представление функции в базисе Шеффера Преобразуем полученное выражение (2.2) к виду, удобному для реализации на элементах И-НЕ, т.е. запишем его в базисе Шеффера. Преобразование выполняют по следующим правилам: • все знаки конъюнкции и дизъюнкции заменяют на знаки «штрих Шеффера»; • переменные, входящие в одну импликанту, заключают в скобки; • однобуквенные импликанты инвертируют; • исходное выражение, состоящее только из одной импликанты с числом букв 2 и более, после замены конъюнкции на «штрих Шеффера» инвертируют. Примечание. Обычно легко запоминают первые два пункта правила перехода от ДНФ к функции Шеффера (это наиболее типичный случай) и забывают о частных случаях, отраженных в двух последних пунктах. Проиллюстрируем эти случаи. Пример 1. Пусть полученное минимальное выражение: . Тогда преобразованное выражение будет выглядеть так:   Пример 2. Допустим, исходное выражение имеет вид: . После преобразования выражение будет выглядеть следующим образом:     В нашем примере получим: (2.3) Построение комбинационной схемы Построение комбинационной схемы выполняют в следующей последовательности: a) вначале с помощью элементов НЕ получают инверсные значения переменных; b) затем, используя элементы И-НЕ, реализуют члены логической функции, заключенные в скобки; c) наконец, выходы элементов И-НЕ, использованных в п. b), подают на входы результирующего элемента И-НЕ. Приведенная последовательность построения комбинационной схемы по полученному выражению (2.3) показана на рис. 2.2. Вначале с помощью инверторов D1 и D2 получают инверсные значения переменных х0 и х3. Затем, используя элементы D3 - D6, реализуют члены логической функции, заключенные в скобки. Наконец, с помощью элемента D7 завершают построение схемы.   Рис. 2.2. Реализация комбинационной схемы на элементах И-НЕ Временная диаграмма работы спроектированной комбинационной схемы приведена на рис. 2.3.   Рис. 2.3. Временная диаграмма работы комбинационной схемы Из ее рассмотрения можно сделать вывод о соответствии функционирования схемы заданному закону. На вход схемы поступает последовательность сигналов, задающая все 16 наборов, на которых определена функция. Из рис. 2.3 видно, что выход схемы принимает значение 1 на наборах 0, 2, 4, 6, 10, 12, 14 и 15, т.е. спроектированная схема правильно реализует заданную функцию. Динамические параметры комбинационной схемы К динамическим параметрам комбинационной схемы относят задержки переключения выходного сигнала из 0 в 1 и из 1 в 0. Данные задержки определяют по временной диаграмме в такой последовательности: • предварительно на схеме находят наиболее длинный путь (или пути) прохождения сигнала от входа до выхода (длина пути определяется числом последовательно соединенных элементов); • затем на временной диаграмме определяют входные состояния, переход к которым вызывает последовательное переключение всех элементов в найденном пути. Переход к одному из этих состояний должен вызывать переключение выходного сигнала из 0 в 1, переход к другому - переключение выходного сигнала из 1 в 0; • после чего записывают выражения для подсчета задержек переключения выходного сигнала из 0 в 1 и из 1 в 0. Выражения представляют собой сумму соответствующих задержек логических элементов, входящих в путь; • наконец, определяют числовое значение задержек комбинационной схемы, подставляя в найденные выражения значения задержек логических элементов. Для спроектированной комбинационной схемы (см. рис. 2.2) наиболее длинный путь содержит три элемента. Таких путей в схеме несколько: D1D3D7, D1D4D7, D1D5D7 и D2D6D7. На временной диаграмме существует несколько состояний, переход к которым активизирует некоторые из этих путей. Можно выбрать любые из них для оценки задержек переключения комбинационной схемы. Два перехода с обозначением задержек элементов показаны на рис. 2.3. Непосредственно из рис. 2.3 можно записать выражения для задержек переключения выходного сигнала комбинационной схемы: , . Подставляя в найденные выражения паспортные значения задержек логических элементов [1], получим числовое значение задержек комбинационной схемы.   СИНТЕЗ КОМБИНАЦИОННЫХ МНОГОВЫХОДНЫХ СХЕМ На практике относительно редко встречаются комбинационные схемы с одним выходом, т.е. реализующие одну функцию. Обычно схемы имеют несколько выходов, причем значения сигналов на всех выходах зависят от одних и тех же входных сигналов. Работа комбинационной схемы, имеющей п входов и k выходов, описывается совокупностью k функций (2.1), каждая из которых определяет закон функционирования схемы по одному выходу. Если провести минимизацию переключательных функций, входящих в совокупность, независимо друг от друга, то схема с многими выходами, реализующая эти функции, будет содержать k изолированных цепей. Однако в общем случае схему можно существенно упростить за счет объединения участков схемы, реализующих одинаковые члены (или группы членов), содержащиеся в нескольких переключательных функциях. Например, реализация двух функций в МДНФ ;   потребует применения четырех элементов Ии двух элементов ИЛИ. Если же пер-вую из них представить в виде , то, отказываясь от минимального представления, но не изменяя значения функции (это легко проверить, например, по диаграмме Вейча), можно упростить реализацию, поскольку первый член является общим для обеих функций. В этом случае потребуется три элемента Ии два элемента ИЛИ. Из этого примера следует, что задача минимизации для системы переключательных функций не может быть сведена к задаче минимизации отдельных функций. Общая идея минимизации схем с многими выходами сводится к получению таких выражений для совокупности переключательных функций, в которых оптимально используются члены, общие для нескольких функций.

F₂ = f₂ (x₁, x₂,..., x_n),

..........

F_k = f_k (x₁, x₂,..., x_n),

 

Синтез комбинационной схемы состоит в построении схемы на основе заданного закона ее функционирования в виде системы переключательных функций или таблиц истинности. При синтезе комбинационной схемы чаще всего необходимо построить схему с использованием минимального числа элементов в заданном элементном базисе, например, на элементах И-НЕ. Задача проектирования комбинационных схем в общем случае не имеет однозначного решения.

Наряду с логическими элементами для реализации комбинационных схем применяют схемы со средней и высокой степенью интеграции (ИС-2, ИС-3). Данные схемы сами являются продуктом синтеза, поэтому синтез на их основе комбинационных схем требует иного подхода, чем в случае использования логических элементов. В ряде случаев применение этих схем облегчает задачу синтеза, например, на мультиплексоре или дешифраторе легко реализовать любую функцию от двух, трех или четырех переменных.

Существуют специально разработанные микросхемы (программируемые логические матрицы - ПЛМ) для реализации комбинационных схем. Например, на ПЛМ К556РТ1 можно реализовать до восьми логических функций, каждая из которых может иметь до шестнадцати переменных и содержать до сорока восьми конъюнктивных членов.

Для реализации комбинационных схем также используют постоянные запоминающие устройства (ПЗУ). На них можно реализовать одновременно столько функций, сколько имеется выходов у схемы ПЗУ, а количество переменных x_i определяется количеством адресных входов.

Проектирование одновыходной комбинационной схемы на элементах И-НЕ состоит из следующих шагов:

· получение минимальной ДНФ переключательной функции,

· представление полученной минимальной формы в базисе Шеффера,

· построение по полученному выражению комбинационной схемы.

Пусть задана функция F₁ от четырех переменных в виде десятичных номеров конституент совершенной дизъюнктивной нормальной формы, т.е. тех наборов, на которых функция равна единице:

 

F₁ (x₃, x₂, x₁, x₀ ) = S(0, 2, 4, 6, 10, 12, 14, 15) (5.2)

 

Эту функцию необходимо реализовать на элементах И-НЕ. Запишем эту функцию в виде логического выражения:

(5.3)

Произведем минимизацию заданной функции, используя метод диаграмм Вейча (рис. 5.1).

Рис. 5.1 – Минимизация функции при помощи диаграммы Вейча

 

 

Получим следующее минимальное выражение функции:

. (5.4)

Преобразуем полученное выражение (5.2) к виду, удобному для реализации на элементах И-НЕ, т.е. запишем его в базисе Шеффера.

Преобразование выполняют по следующим правилам:

- все знаки конъюнкции и дизъюнкции заменяют на знаки «штрих Шеффера»;

- переменные, входящие в одну импликанту, заключают в скобки;

- однобуквенныеимпликантыинвертируют;

- исходное выражение, состоящее только из одной импликанты с числом букв 2 и более, после замены конъюнкции на «штрих Шеффера» инвертируют.

Примечание. Обычно легко запоминают первые два пункта правила перехода от ДНФ к функции Шеффера (это наиболее типичный случай) и забывают о частных случаях, отраженных в двух последних пунктах.

Построение комбинационной схемы выполняют в следующей последовательности:

 

a) вначале с помощью элементов НЕ получают инверсные значения переменных;

b) затем, используя элементы И-НЕ, реализуют члены логической функции, заключенные в скобки;

c) наконец, выходы элементов И-НЕ, использованных в п. b), подают на входы результирующего элемента И-НЕ.

Приведенная последовательность построения комбинационной схемы по полученному выражению (5.3) показана на рис. 5.2. Вначале с помощью инверторов D1 и D2 получают инверсные значения переменных х₀ и х₃. Затем, используя элементы D3 - D6, реализуют члены логической функции, заключенные в скобки. Наконец, с помощьюэлемента D7 завершаютпостроениесхемы.

Рис. 5.2–Реализация комбинационной схемы на элементах И-НЕ

Временная диаграмма работы спроектированной комбинационной схемы приведена на рис. 5.3.

Рис. 5.3 – Временная диаграмма работы комбинационной схемы

Из ее рассмотрения можно сделать вывод о соответствии функционирования схемы заданному закону. На вход схемы поступает последовательность сигналов, задающая все 16 наборов, на которых определена функция. Из рис. 5.3 видно, что выход схемы принимает значение 1 на наборах 0, 2, 4, 6, 10, 12, 14 и 15, т.е. спроектированная схема правильно реализует заданную функцию.

 

Задание для самостоятельной работы

Произвести синтез одновыходной комбинационной схемы по заданным конституентам единицы на элементах И-НЕ (функция f1 в табл.5.1). Составить принципиальную схему синтезированного устройства на элементах И-НЕ. Построить временную диаграмму работы устройства. Оценить время задержки срабатывания устройства, используя значение среднего времени задержки одного логического элемента 20 нс.

 

Табл.5.1 – Варианты заданий

Вариант	Функция f1: десятичные номера наборов входных переменных	Функция f2: десятичные номера наборов входных переменных
	для единичныхзначенийфункции	длянеопределенныхзначенийфункции	дляединичныхзначенийфункции	длянеопределенныхзначенийфункции
	0, 1, 3, 5, 12, 13	4, 6, 7, 11, 14	6, 7, 8, 9, 12, 14	2, 4, 5, 11, 13
	1, 2, 5, 7, 11, 12	0, 3, 4, 8, 13	10, 11, 12, 13, 14	5, 6, 7, 8, 9, 15
	2, 3, 5, 8, 10, 13	0, 1, 4, 9, 12, 14	9, 10, 11, 12, 13	0, 1, 2, 7, 8, 14
	7, 8, 9, 11, 12, 14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13	2, 3, 4, 5, 6	8, 9, 10, 11, 12