Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2018-01-05 | 441 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Введение.
Дифференциал (от лат. differentia «разность», «различие») – это линейная часть приращения функции.
Вопрос I. Обозначения.
Обычно дифференциал функции {\displaystyle f} f обозначается {\displaystyle df} df. Некоторые авторы предпочитают обозначать {\displaystyle {\rm {d} {f} {{\rm {d} {f} шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.
Дифференциал в точке {\displaystyle x_{0}} x_{0} обозначается {\displaystyle d_{x_{0} {f} d_{{x_{0}}}f, а иногда {\displaystyle df_{x_{0}}} df_{{x_{0}}} или {\displaystyle df[x_{0}]} df[x_{0}], а также {\displaystyle df} df, если значение {\displaystyle x_{0}} x_{0} ясно из контекста.
Соответственно, значение дифференциала в точке {\displaystyle x_{0}} x_{0} от {\displaystyle h} h может обозначаться как {\displaystyle d_{x_{0}}f(h)} d_{{x_{0}}}f(h), а иногда {\displaystyle df_{x_{0}}(h)} df_{{x_{0}}}(h) или {\displaystyle df[x_{0}](h)} df[x_{0}](h), а также {\displaystyle df(h)} df(h), если значение {\displaystyle x_{0}} x_{0} ясно из контекста.
Вопрос II. Использование знака дифференциала.
1. Знак дифференциала используется в выражении для интеграла {\displaystyle \int f(x)\,dx} \int f(x)\, dx. При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал {\displaystyle dx} dx вводится как часть определения интеграла.
2. Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной {\displaystyle f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})} f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0}). Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции {\displaystyle f} f и тождественной функции {\displaystyle x} x верно соотношение
{\displaystyle d_{x_{0}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{x_{0}}x.} d_{{x_{0}}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{{x_{0}}}x.
Вопрос III. Определения.
Для функций.
Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция {\displaystyle d_{x_{0}}f(h)} d_{{x_{0}}}f(h), линейно зависящая от {\displaystyle h} h, и для которой верно следующее соотношение
|
Вопрос V. Свойства.
Матрица линейного оператора {\displaystyle d_{x_{0}}f} d_{{x_{0}}}f равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные {\displaystyle f} f.
Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
Вопрос VI. История.
Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально {\displaystyle dx} dx применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю.
Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.
Вопрос VII. Вариации и обобщения.
Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения.
Его можно обобщать получая различные важные объекты в функциональном анализе, дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.
Отсюда получаем, что
Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь – это отношение дифференциалов функции и аргумента.
Введение.
Дифференциал (от лат. differentia «разность», «различие») – это линейная часть приращения функции.
Вопрос I. Обозначения.
Обычно дифференциал функции {\displaystyle f} f обозначается {\displaystyle df} df. Некоторые авторы предпочитают обозначать {\displaystyle {\rm {d} {f} {{\rm {d} {f} шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.
Дифференциал в точке {\displaystyle x_{0}} x_{0} обозначается {\displaystyle d_{x_{0} {f} d_{{x_{0}}}f, а иногда {\displaystyle df_{x_{0}}} df_{{x_{0}}} или {\displaystyle df[x_{0}]} df[x_{0}], а также {\displaystyle df} df, если значение {\displaystyle x_{0}} x_{0} ясно из контекста.
Соответственно, значение дифференциала в точке {\displaystyle x_{0}} x_{0} от {\displaystyle h} h может обозначаться как {\displaystyle d_{x_{0}}f(h)} d_{{x_{0}}}f(h), а иногда {\displaystyle df_{x_{0}}(h)} df_{{x_{0}}}(h) или {\displaystyle df[x_{0}](h)} df[x_{0}](h), а также {\displaystyle df(h)} df(h), если значение {\displaystyle x_{0}} x_{0} ясно из контекста.
Вопрос II. Использование знака дифференциала.
|
1. Знак дифференциала используется в выражении для интеграла {\displaystyle \int f(x)\,dx} \int f(x)\, dx. При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал {\displaystyle dx} dx вводится как часть определения интеграла.
2. Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной {\displaystyle f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})} f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0}). Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции {\displaystyle f} f и тождественной функции {\displaystyle x} x верно соотношение
{\displaystyle d_{x_{0}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{x_{0}}x.} d_{{x_{0}}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{{x_{0}}}x.
Вопрос III. Определения.
Для функций.
Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция {\displaystyle d_{x_{0}}f(h)} d_{{x_{0}}}f(h), линейно зависящая от {\displaystyle h} h, и для которой верно следующее соотношение
Вопрос V. Свойства.
Матрица линейного оператора {\displaystyle d_{x_{0}}f} d_{{x_{0}}}f равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные {\displaystyle f} f.
Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
Вопрос VI. История.
Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально {\displaystyle dx} dx применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю.
Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!