Решение контрольных задач по теме «Теория графов».

Задание 1. Компоненты сильной связности ориентированного графа.

 

С помощью матрицы смежности найти компоненты сильной связности ориентированного графа D.

Cоставляем матрицу смежности A (D) размерности (n − количество вершин) для данного ориентированного графа: она состоит из нулей и единиц, номера строк – индексы вершин, из которых исходят дуги, номера столбцов – индексы вершин, в которые дуги входят (если есть дуга, исходящая из вершины v_i и входящая в v_j, то элемент матрицы смежности, стоящий на пересечении i -той строки и j -того столбца равен 1, иначе – 0.).

Для того, чтобы выделить компоненты сильной связности, необходимо сначала найти матрицу достижимости T (D) ориентированного графа по первой формуле утверждения 3, затем находим матрицу сильной связности S (D) ориентированного графа (она должна быть симметрической) по второй формуле из того же утверждения.

 

Алгоритм выделения компонент сильной связности

1. Присваиваем p =1 (p − количество компонент связности), .

2. Включаем в множество вершин V_p компоненты сильной связности D_p вершины, соответствующие единицам первой строки матрицы S_p. В качестве матрицы A (D_p) возьмем подматрицу матрицы A (D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из V_p.

3. Вычеркиваем из S_p строки и столбцы, соответствующие вершинам из V_p. Если не остается ни одной строки (и столбца), то p - количество компонент сильной связности. В противном случае обозначим оставшуюся после вычеркивания срок и столбцов матрицу как S_p+1, присваиваем p=p +1 и переходим к п. 2.

 

Пример

Выделим компоненты связности ориентированного графа, изображенного на рис. 6. В данной задаче количество вершин n= 5.

Рис. 6.

 

Значит, для данного ориентированного графа матрица смежности будет иметь размерность 5×5 и будет выглядеть следующим образом

.

Найдем матрицу достижимости для данного ориентированного графа по формуле 1) из утверждения 3:

, ,

,

Следовательно,

.

Таким образом, матрица сильной связности, полученная по формуле 2) утверждения 3, будет следующей:

.

Присваиваем p =1 и составляем множество вершин первой компоненты сильной связности D ₁: это те вершины, которым соответствуют единицы в первой строке матрицы S (D). Таким образом, первая компонента сильной связности состоит из одной вершины .

Вычеркиваем из матрицы S ₁(D) строку и столбец, соответствующие вершине v ₁, чтобы получить матрицу S ₂(D):

.

Присваиваем p =2. Множество вершин второй компоненты связности составят те вершины, которым соответствуют единицы в первой строке матрицы S ₂(D), то есть . Составляем матрицу смежности для компоненты сильной связности исходного графа D − в ее качестве возьмем подматрицу матрицы A (D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из V ₂:

.

Вычеркиваем из матрицы S ₂(D) строки и столбцы, соответствующие вершинам из V ₂,чтобы получить матрицу S ₃(D), которая состоит из одного элемента:

и присваиваем p =3. Таким образом, третья компонента сильной связности исходного графа, как и первая, состоит из одной вершины .

Таким образом, выделены 3 компоненты сильной связности ориентированного графа D:

 

D 1:

D 2:

D 3:

 

Задание 2. Расстояния в ориентированном графе

 

С помощью алгоритма фронта волны найти расстояния в ориентированном графе D: диаметр, радиус и центры.

Пусть ориентированный граф с n³2 вершинами и v, w (v ¹ w) – заданные вершины из V.

 

Алгоритм поиска минимального пути из в в ориентированном графе

(алгоритм фронта волны).

1) Помечаем вершину индексом 0, затем помечаем вершины Î образу вершины индексом 1. Обозначаем их FW ₁ (v). Полагаем k =1.

2) Если или k = n -1, и одновременно то вершина не достижима из . Работа алгоритма заканчивается.

В противном случае продолжаем:

3) Если , то переходим к шагу 4.

В противном случае мы нашли минимальный путь из в и его длина равна k. Последовательность вершин

есть этот минимальный путь. Работа завершается.

4) Помечаем индексом k +1 все непомеченные вершины, которые принадлежат образу множества вершин c индексом k. Множество вершин с индексом k +1 обозначаем . Присваиваем k:= k +1 и переходим к 2).

Замечания

· Множество называется фронтом волны k ^го уровня.

· Вершины могут быть выделены неоднозначно, что соответствует случаю, если несколько минимальных путей из в .

Чтобы найти расстояния в ориентированном графе, необходимо составить матрицу минимальных расстояний R (D)между его вершинами. Это квадратная матрица размерности , элементы главной диагонали которой равны нулю (, i =1,.., n).

Сначала составляем матрицу смежности. Затем переносим единицы из матрицы смежности в матрицу минимальных расстояний (, если ). Далее построчно заполняем матрицу следующим образом.

Рассматриваем первую строку, в которой есть единицы. Пусть это строка − i -тая и на пересечении с j -тым столбцом стоит единица (то есть ). Это значит, что из вершины можно попасть в вершину за один шаг. Рассматриваем j -тую сроку (строку стоит вводить в рассмотрение, если она содержит хотя бы одну единицу). Пусть элемент . Тогда из вершины в вершину можно попасть за два шага. Таким образом, можно записать . Следует заметить, что если в рассматриваемых строках две или более единиц, то следует прорабатывать все возможные варианты попадания из одной вершины в другую, записывая в матрицу длину наикратчайшего из них.

Примечание: В контрольной работе самый длинный путь найти при помощи алгоритма фронта волны.

 

Пример

Найдем расстояния в ориентированном графе D, изображенном на рис. 7. В данной задаче количество вершин n= 7, следовательно, матрицы смежности и минимальных расстояний между вершинами ориентированного графа D будут иметь размерность 7×7.

Рис.7.

 

Матрица смежности:

.

Начинаем заполнять матрицу R (D) минимальных расстояний: сначала ставим нули по главной диагоналии r_ij = a_ij, если a_ij =1, (т.е. переносим единицы из матрицы смежности). Рассматриваем первую строку. Здесь есть две единицы, то есть из первой вершины за один шаг можно попасть во вторую и шестую. Из второй вершины можно попасть за один шаг в третью (путь в первую вершину нас не интересует), следовательно, можно записать . Из шестой вершины можем добраться за один шаг в пятую и седьмую, а значит, , . Теперь ищем маршруты, исходящие из первой вершины, состоящие из 3 шагов: за 2 шага идем в третью вершину, оттуда за один шаг попадаем в четвертую, поэтому . В итоге получаем следующую матрицу:

Таким образом, диаметром исследуемого ориентированного графа будет .

Для каждой вершины заданного ориентированного графа найдем максимальное удаление (эксцентриситет) в графе G от вершины нее по формуле, которая была приведена выше : r (v_i) − максимальное из расстояний, стоящих в i -той строке. Таким образом,

r (v ₁)=3, r (v ₂)=3, r (v ₃)=5, r (v ₄)=4, r (v ₅)=2, r (v ₆)=2, r (v ₇)=3.

Значит, радиусомграфа G будет

Соответственно, центрами графа G будут вершины v ₅ и v ₆, так как величины их эксцентриситетов совпадают с величиной радиуса .

Опишем теперь нахождение минимального пути из вершины v ₃ в вершину v ₆ по алгоритму фронта волны. Обозначим вершину v ₃ как V ₀, а вершину v ₆ - как W (см. рис. 8). Множество вершин, принадлежащих образу V ₀, состоит из одного элемента - это вершина v ₄, которую, согласно алгоритму, обозначаем как V ₁: FW ₁(v ₃)={ v ₄}. Поскольку искомая вершина не принадлежит фронту волны первого уровня , продолжаем работу алгоритма. Строим фронт волны второго уровня - это множество вершин, принадлежащих образу вершины V ₁: FW ₂(v ₃)={ v ₇}, обозначаем v ₇≡ V ₂. В образ вершины V ₂ входят две вершины - v ₅ и v ₄, но, так как v ₄ уже была помечена как V ₀, то фронт волны третьего уровня состоит из одного элемента: FW ₃(v ₃)={ v ₅}, v ₅≡ V ₃. Из непомеченных вершин в образ вершины V ₃ входят v ₁ и v ₂, соответственно, FW ₄(v ₃)={ v ₁, v ₂}, v ₁≡ V ₄, v ₂≡ V ₄. Теперь помечены все вершины, кроме v ₆, которая входит в образ вершины , то есть FW ₅(v ₃)={ v ₆≡ W }, работа алгоритма закончена. Минимальный путь (5 шагов) из вершины v ₃ в вершину v ₆ выглядит так: v ₃ v ₄ v ₇ v ₅ v ₁ v ₆.

 

Рис.8.

 

Задание 3. Минимальный путь в нагруженном ориентированном графе

 

Найти минимальный путь в нагруженном ориентированном графе из вершины в вершину по методу Форда-Беллмана.

Рассмотрим сначала общую задачу – нахождения минимального пути из вершины v_нач в v_кон.

Пусть D =(V, X) – нагруженный ориентированный граф, V ={ v ₁,…, v_n }, n >1. Введем величины , где i =1,…, n, k =0,1,2,…, n– 1.

Для каждого фиксированного i и k величина равна длине минимального пути среди путей из v_нач в v_i содержащих не более k дуг. Если путей нет, то .

Положим также .

Составляем матрицу длин дуг C (D)=[ c_ij ] порядка n:

Утверждение. При i =2,…, n, k ³0 выполняется равенство

. (3.1)

 

Алгоритм Форда-Беллмана нахождения минимального пути в нагруженном ориентированном графе D из v_нач в v_кон.(v_нач ≠ v_кон).

( записываем в виде матрицы, i - строка, k -столбец).

1) Составляем таблицу , i =1,…, n, k =0,…, n -1. Если , то пути из v_нач в v_кон нет. Конец алгоритма.

2) Если то это число выражает длину любого минимального пути из v_нач в v_кон. Найдем минимальное k ₁³1, при котором . По определению получим, что k ₁- минимальное число дуг в пути среди всех минимальных путей из v_нач в v_кон.

3) Затем определяем номера i ₂,…, такие, что

,

,

,

то есть восстанавливаем по составленной таблице и матрице стоимости искомый минимальный путь из v_нач в v_кон.

 

Пример

Найдем минимальный путь из вершины v ₂ в v ₆ в ориентированном нагруженном графе D, изображенном на рис. 9. В рассматриваемом графе количество вершин n= 7, следовательно, матрица длин дуг ориентированного графа D будет иметь размерность 7×7.

 

Рис. 9.

 

Матрица длин дуг для рассматриваемого графа будет выглядеть следующим образом:

.

Согласно алгоритму, составляем таблицу стоимости минимальных путей из вершины v ₂ в вершину v_i не более, чем за k шагов, k =0,… n -1 (n =7, следовательно, k =0,…6). Как было определено выше, , и для всех остальных вершин v_i ≠ v ₂, то есть первый столбец таблицы состоит из элементов, равных , кроме элемента . Второй столбец таблицы повторяет вторую строку матрицы стоимости, поскольку представляет собой стоимость возможных путей из вершины v ₂ за один шаг. Далее по формуле (3.1) находим по столбцам все оставшиеся элементы таблицы. Например, чтобы найти элемент , складываем элементы столбца и первого столбца матрицы стоимости и выбираем минимальное из получившихся чисел: .

В конечном итоге получаем следующую таблицу:

Теперь необходимо по построенной таблице и по матрице C (D) восстановить минимальный путь из вершины v ₂ в v ₆, который будет строиться с конца, то есть, начиная с вершины v 6. Для этого выбираем минимальное из чисел, стоящих в строке, соответствующей v ₆ в таблице. Это число – 21 – длина минимального искомого пути. В первый раз такая длина была получена при количестве шагов, равном 4. В вершину v ₆ мы можем попасть за один шаг из вершин v ₁ и v ₇ (длина соответствующих дуг 8 и 5 соответственно – данные из матрицы C (D)). Выбираем минимальную по длине из этих дуг. Далее, в вершину v ₇ можно попасть из v ₄ и v ₅(длина соответствующих дуг 7 и 3 соответственно). Продолжая аналогичным образом, найдем искомый путь за 4 шага минимальной длины из вершины v ₂ в v ₆: v ₂ v ₃ v ₅ v ₇ v ₆.

 

Задание 4. Эйлеровы циклы и цепи

 

Найти Эйлерову цепь в неориентированном графе.

Исходя из утверждений 1 и 2, чтобы найти Эйлерову цепь, нужно соединить две вершины с нечетными степенями фиктивным ребром. Тогда задача сводится к нахождению Эйлерова цикла по приведенному ниже алгоритму. Из найденного цикла удаляется фиктивное ребро, тем самым находится искомая Эйлерова цепь.