Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексным числом называется выражение вида

z = x + iy, (10)

где х, у – действительные числа, а i – мнимая единица, т.е. число, для которого выполнено равенство .

Если х = 0, то комплексное число z = 0 + iy называется чисто мнимым.

Если у = 0, то комплексное число z = x + i 0 = х является действительным, в частности, если х = у = 0, то z = 0.

На множестве комплексных чисел алгебраическое уравнение n -й степени вида , где a_k – числа, ,имеет ровно n корней.

Пример1. Решим уравнение: х ² + 9 = 0.

.

Следовательно, уравнение имеет 2 корня: .

 

На координатной плоскости Оху комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой М (х; у) или радиус-вектором этой точки (рис. 12), где х = Re z – действительная часть числа z, у = Im z – мнимая часть числа.

Число называется сопряженным комплексному числу . Геометрически точки z и симметричны относительно оси Ох (рис. 12).

Модулем комплексного числа называется действительное неотрицательное число . Геометрически модуль комплексного числа – это модуль вектора (рис. 12).

Комплексное число можно задать либо парой действительных чисел (декартовы координаты точки (х; у)), либо его модулем и величиной угла φ между вектором и положительным направлением оси Ох (полярные координаты точки (r; φ)). Величина угла φ называется аргументом комплексного числа.

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого . Значение аргумента, заключенное в промежутке , называется главным значением аргумента и обозначается arg z, тогда можно записать: (11)

Для комплексного числа z = 0 аргумент не определен, его модуль r = 0.

Запись комплексного числа в виде (10) называют алгебраической формой комплексного числа.

Если использовать формулы связи между декартовыми и полярными координатами , то можно записать тригонометрическую форму комплексного числа: , (12)

где , , . (13)

Для определения главного значения аргумента можно использовать формулы:

(14)

Пример 2. Получим тригонометрическую форму комплексного числа

z = – 2 – 2 i,

используя формулы (13) и (14).

,

,

следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа z для имеет вид:

.

Действия над комплексными числами

Равенство двух комплексных чисел z ₁= x ₁ + iy ₁ и z ₂ = x ₂ + iy ₂ означает равенство их действительных и мнимых частей: .

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме определяются следующим образом. Если z ₁= x ₁ + iy ₁,

z ₂ = x ₂ + iy ₂, то

1) z ₁ + z ₂ = (x ₁ + x ₂) + i (y ₁ + y ₂);

2) z ₁ – z ₂ = (x ₁ – x ₂) + i (y ₁ – y ₂);

3) z ₁ z ₂ = (x ₁ x ₂ – y ₁ y ₂) + i (x ₁ y ₂ + х ₂ y ₁);

4) .

Пример 3. Даны числа z ₁= 4 – i и z ₂ = 1 + 3 i. Вычислить .

Найдем , затем выполняем деление при помощи домножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:

(при вычислениях учтено, что ).

Умножение, деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме определяются следующим образом:

если , , то

1) ;

2) ;

если , , то

3) ; (15)

4) .

В ответ записываются главные значения аргумента полученного результата, заключенные в промежутке .