Стационарное течение идеальной жидкости. Уравнение неразрывности. Закон Бернулли.

Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным, то течение называется установившимся, или стационарным. При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним и тем же значением v. Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной, и линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц.

скорость движения частиц жидкости одинакова во всех

точках этого сечения. За время прой-

дут все частицы, расстояние которых от S в начальный

момент не превышает значения . За через сечение S пройдет объем жидкости, рав-

ный а за единицу времени через сечение S прой-

дет объем жидкости, равный Возьмем трубку тока,

настолько тонкую, что в каждом ее сечении скорость

можно считать постоянной. Если жидкость несжимаема то количество жидкости между сечениями S{

и S2 (рис. 143) будет оставаться неизменным. Отсюда

следует, что объемы жидкости, протекающие за еди-

ницу времени через сечения Si и S2, должны быть оди-

наковы: - уравнение неразрывности струи.

Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости. Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения. Рассмотрим объём жидкости V, ограниченный стенками трубки токаи и перпендикулярными к линиям тока сечениями S1 и S2. За время Δt этот объём переместится. В силу непрерывности струи:ΔV1 = ΔV2 = ΔV

Энергия каждой частицы жидкости складывается из её кинетической и потенциальной энергии. Вследствие стационарности течения приращение энергии ΔЕ всего рассматриваемого объёма V можно вычислить как разность энергий заштрихованных объёмов ΔV1 и ΔV2.

где ρ – плотность жидкости.

В идеальной жидкости приращение энергии должно равняться работе, совершаемой над выделенным объёмом силами давления:

ΔЕ = А (1)А = P1S1Δl1 – P2S2Δl2 = (P1 – P2)ΔV.Подставляя в (1) и сократив ΔV, получим:

Поскольку сечения S1 и S2 произвольные, то это справедливо в любом сечении трубки тока. В стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие: – уравнение Бернулли.Для горизонтальной линии тока уравнение Бернулли примет вид: ,

т.е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше.

Явление уменьшения давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу действия водоструйного насоса.

 

№21 Вязкая жидкость. Число Рейнольдса. Ламинарное и турбулентное течение. Формула Пуазейля. Движение тел в вязкой жидкости. Закон Стокса. Установившаяся скорость. Лобовое сопротивление и подъемная сила. Эффект Магнуса.

Всем реальным жидкостям и газам присуща вязкость или внутреннее трение. Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. Вязкость зависит от температуры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей | с увеличением температуры уменьшает­ся, у газов, наоборот, увеличивается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения. Особенно сильно от температуры зависит вязкость масел. Например, вязкость касторового масла в интервале 18-40°С падает в четыре раза.

Советский физик П. Л. Капица (1894 — 1984) открыл, что при температуре 2,17 К жидкий гелий переходит в сверхтекучее состояние, в котором его вязкость равна нулю. Английский ученый Рейнольдс установил, что характер течения зависит от значения безразмерной величины: —плотность жидкости (или газа), — средняя (по сечению трубы) скорость потока, — коэффициент вяз- кости жидкости, — характерный для поперечного сечения размер, например, сторона квадрата при квадратном сечении, радиус или диаметр при круглом сечении При малых значениях числа Рейнольдса наблюдается ламинарное течение. Начиная с некоторого определенного значения Re, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Если в качестве характерного размера для круглой трубы взять ее радиус г, то критическое значение числа Рейнольдса оказывается равным2) примерно 1000. В число Рейнольдса входят в виде отношения две величины, зависящие от свойств жидкости, — плотность и коэффициент вязкости кинематической вязкостью. называется динамической вязкостью. Используя кинематическую вязкость, числу Рейнольдса можно придать следующий вид: Характер течения различных жидкостей (или газов) в трубах разных сечений будет совершенно одинаков, если каждому течению соответствует одно и то же значение Re.

Если жидкость разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга, не перемешиваясь, то течение называется ламинарным. Ламинарное течение стационарно. При увеличении скорости или поперечных размеров потока возникает энергичное перемешивание жидкости. Такое течение называется турбулентным. При турбулентном течении скорость частиц в каждом данном месте все время изменяется беспорядочным образом — течение нестационарно

Формула Пуазейля – объемный расход Q при стационарном течении вязкой жидкости по

круглой трубе с радиусом R пропорционален перепаду давления Δ P на длине L трубы и

определяется зависимостью:

, где η - динамическая вязкость жидкости.

В идеальной жидкости равномерное движение тел должно было бы происходить без лобового сопротивления. Не обладая вязкостью, идеальная жидкость должна свободно скользить по поверхности тела, полностью обтекая его. При движении тела в жидкости, обладающей вязкостью. тонкий слой жидкости прилипает к поверхности тела и движется с ним как одно целое, увлекая за собой из-за трения последующие слои. образом, тело оказывается окруженным слоем жидкости, в котором имеется градиент скорости. Этот слой называется пограничным. Действие сил трения в поверхностном слое приводит к тому, что поток отрывается от поверхности тела, в результате чего позади тела возникают вихри. Вихри уносятся потоком и постепенно затухают вследствие трения; при этом энергия вихрей расходуется на нагревание жидкости. При малых Re основную роль играет сопротивление трения, так что сопротивление давления можно не принимать во внимание. При увеличении Re роль сопротивления давления все больше растет. При больших значениях Re в лобовом сопротивлении преобладают силы давления.

ЗАКОН СТОКСА

В 1851 Джордж Стокс получил выражение для силы трения (также называемой силой лобового сопротивления), действующей на сферические объекты с очень маленькими числами Рейнольдса (например, очень маленькие частицы) в непрерывной вязкой жидкости, решая уравнение Навье — Стокса:

где

F — сила трения, так же называемая силой Стокса,

r — радиус сферического объекта,

η — вязкость жидкости,

v — скорость частицы.

Если частицы падают в вязкой жидкости под действием собственного веса, то установившаяся скорость достигается, когда эта сила трения совместно с силой Архимеда точно уравновешиваются силой гравитации. Установившаяся скорость равна

где

Vs — установившаяся скорость частицы (м/с) (частица движется вниз если ρp > ρf, и вверх в случае ρp < ρf),

r — радиус Стокса частицы (м),

g — ускорение свободного падения (м/с²),

ρp — плотность частиц (кг/м³),

ρf — плотность жидкости (кг/м³),

μ — динамическая вязкость жидкости (Па с).