История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2018-01-04 | 2233 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема 4. Пусть , функции и интегрируемы на промежутке и при всех справедливо неравенство
. (11)
Тогда
(12)
Доказательство. Рассмотрим разность интересующих нас интегралов как интеграл разности данных функций. В силу (9)
Последний интеграл запишем по формуле (4), т.е. следуя определению определённого интеграла. Тогда получим
Здесь все парные произведения интегральной суммы неотрицательны. Действительно, по условию (11) при всех , а при всех , поскольку .
Значит и сама интегральная сумма неотрицательна. Тогда по теореме о предельном переходе в неравенстве неотрицателен и ее предел. Таким образом, получаем:
Теорема доказана.
Следствие. Пусть , функция интегрируема на промежутке и при всех справедливо неравенство . Тогда .
Теорема 5. Если функция интегрируема на промежутке , то функция также интегрируема на промежутке и при справедливо неравенство
(13)
Доказательство. Проведем его только для непрерывных функций. Заметим, что
(14)
для всех . К цепочке неравенств (14) применим теорему 4. Получим
,
Что равносильно неравенству (13).
Теорема о среднем значении
Теорема 6. Пусть функции и непрерывны на промежутке и пусть функция не меняет знака на этом промежутке. Тогда найдется такая точка , что справедливо равенство
(15)
Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что , а при . Рассмотрим два случая.
1). Пусть при всех . Тогда равенство (15) выполнено очевидным образом.
2). Пусть не является тождественно равной нулю. Тогда в силу непрерывности функции можем утверждать, что
Поскольку функция непрерывна на замкнутом промежутке , то она достигает на этом промежутке своего наибольшего значения и своего наименьшего значения , т.е. при всех справедливы неравенства
|
. (16)
Домножим неравенства (16) на положительные значения функции и получим справедливые при всех неравенства
(17)
К цепочке неравенств (17) применим теорему 4 и получим справедливые неравенства
(18)
Разделим все части цепочки неравенств (18) на положительное число . Получим
Поскольку непрерывная функция принимает на промежутке все значения между своим наибольшим и наименьшим , существует такая точка , что
Отсюда следует, что
Таким образом, теорема 6 доказана.
Следствие. Если функция непрерывна на промежутке , то можно указать такое значение , что
(19)
Доказательство. Будем считать при . Тогда согласно теореме 6 найдется такая точка , что
В случае, когда при всех , формула (19) имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линиями . Согласно равенству(19) площадь этой криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой (рис. 4).
Теорема Барроу
Рассмотрим определенный интеграл с переменным верхним пределом
(20)
Здесь – число, – переменная. Таким образом, является функцией верхнего предела .
В силу геометрического смысла определённого интеграла, если , , то величина является площадью криволинейной трапеции, ограниченной справа прямой . Т.к. – переменная, то и интеграл (20) изображает трапецию с переменной площадью (рис. 5).
Справедливо следующее важное утверждение.
Теорема Барроу. Если функция непрерывна, то
т.е. производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в точке дифференцирования.
Доказательство. По определению производной
,
где
. (21)
Во втором слагаемом правой части (21) поменяем пределы интегрирования по формуле (6) и на основании теоремы 3 получим:
Величина является площадью заштрихованной криволинейной трапеции (рис. 5). Поскольку функция непрерывна, по теореме 6 о среднем значении найдется такая точка , для которой справедливо
|
Тогда
Теорема доказана.
Приведем примеры применения теоремы Барроу.
Пример 6.1.
Пример 6.2.
Пример 6.3. , т.к. определенный интеграл с постоянными пределами – это постоянная величина.
Пример 6.4. . Здесь мы имеем дело со сложной функцией: , где , .
Следствие. Любая непрерывная на промежутке функция имеет на этом промежутке первообразную.
Действительно, если – непрерывна, то существует . Но по теореме Барроу , т.е. – первообразная для . Таким образом, – первообразная для .
Замечание. Первообразная непрерывной функции не всегда может быть выражена в терминах элементарных функций.
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!