Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Новые материалы

Топ:

Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...

Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...

Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...

Интересное:

Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...

Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...

Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

Практическое занятие 3. Исследованием свойств нормального распределения.

2018-01-04

146

0.00 из 5.00 0 оценок

Заказать работу

Практическое занятие 3. Исследованием свойств нормального распределения.

1. Определение свойств нормального распределения.

2. Расчет доверительных интервалов.

3. Использование правила «3 стандартов».

4. Расчет коэффициента Стьюдента.

Задача 1. Распределение случайной величины X подчиненно нормальному закону с параметрами a=15 и .Записать f(x), F(x), вычислить P(3;30), .

Решение.

4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал (3;30):

5. Этот же результат можно получить, используя табулированную (просчитанную и заранее занесенную в таблицы) функцию Лапласа:

6. Вероятность того, что абсолютнаявеличина отклонения меньше числа :

где X – непрерывная случайная величина,

а – математическое ожидание случайной величины,

– граница отклонения абсолютной величины случайной величины,

Ф(x) – функция Лапласа,

– среднеквадратическое отклонение.

Значение функции Лапласа равно

Задача 2. Диаметр валика – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами M(X)=10 мм, .Найти интервал, в который с вероятностью P=0.9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

Решение:

1. По условию задачи:

а=M(X)=10 мм,

2. Обозначим А событие «абсолютная величина отклонения не превзойдет величины мм». Вероятность события А:

3. Следовательно, интервал, в который с вероятность 0,9973 будут заключены диаметры изготовляемых валиков:

мм.

Решение 2:

1. Величина вероятности 0,9973 соответствует правила «3сигм»:

2. Следовательно,

3. Искомый интервал

мм.

Задача3 Из генеральной совокупности извлечена выборка объемаn=10:

Вариант	xi	-2
частота	ni

оценить с надежностью y=0.95 математическое ожиданиеa нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Решение:

1. Найдем

2. Найдем значение S:

3. По таблице :

4. Доверительный интервал:

5. Находим при =2, и он равен

Или

Задача 4.

Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=25 найдено исправленное среднеквадратическое отклонение s=0.8.

Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднеквадратическое отклонение с надежностью 0.95.

Решение:

2. Искомый доверительный интервал таков:

Задача 5. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины с надежностью , если , , .

Решение:

1. По таблицам распределения Стьюдента для степеней свободы находим коэффициент Стьюдента уровня : .

2. Таким образом, с вероятностью :

или .

Таблица значений функции Лапласа

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,00	0,00000	0,50	0,19146	1,00	0,34134	1,50	0,43319	2,00	0,47725	3,00	0,49865
0,01	0,00399	0,51	0,19497	1,01	0,34375	1,51	0,43448	2,02	0,47831	3,05	0,49886
0,02	0,00798	0,52	0,19847	1,02	0,34614	1,52	0,43574	2,04	0,47932	3,10	0,49903
0,03	0,01197	0,53	0,20194	1,03	0,34849	1,53	0,43699	2,06	0,48030	3,15	0,49918
0,04	0,01595	0,54	0,20540	1,04	0,35083	1,54	0,43822	2,08	0,48124	3,20	0,49931
0,05	0,01994	0,55	0,20884	1,05	0,35314	1,55	0,43943	2,10	0,48214	3,25	0,49942
0,06	0,02392	0,56	0,21226	1,06	0,35543	1,56	0,44062	2,12	0,48300	3,30	0,49952
0,07	0,02790	0,57	0,21566	1,07	0,35769	1,57	0,44179	2,14	0,48382	3,35	0,49960
0,08	0,03188	0,58	0,21904	1,08	0,35993	1,58	0,44295	2,16	0,48461	3,40	0,49966
0,09	0,03586	0,59	0,22240	1,09	0,36214	1,59	0,44408	2,18	0,48537	3,45	0,49972
0,10	0,03983	0,60	0,22575	1,10	0,36433	1,60	0,44520	2,20	0,48610	3,50	0,49977
0,11	0,04380	0,61	0,22907	1,11	0,36650	1,61	0,44630	2,22	0,48679	3,55	0,49981
0,12	0,04776	0,62	0,23237	1,12	0,36864	1,62	0,44738	2,24	0,48745	3,60	0,49984
0,13	0,05172	0,63	0,23565	1,13	0,37076	1,63	0,44845	2,26	0,48809	3,65	0,49987
0,14	0,05567	0,64	0,23891	1,14	0,37286	1,64	0,44950	2,28	0,48870	3,70	0,49989
0,15	0,05962	0,65	0,24215	1,15	0,37493	1,65	0,45053	2,30	0,48928	3,75	0,49991
0,16	0,06356	0,66	0,24537	1,16	0,37698	1,66	0,45154	2,32	0,48983	3,80	0,49993
0,17	0,06749	0,67	0,24857	1,17	0,37900	1,67	0,45254	2,34	0,49036	3,85	0,49994
0,18	0,07142	0,68	0,25175	1,18	0,38100	1,68	0,45352	2,36	0,49086	3,90	0,49995
0,19	0,07535	0,69	0,25490	1,19	0,38298	1,69	0,45449	2,38	0,49134	3,95	0,49996
0,20	0,07926	0,70	0,25804	1,20	0,38493	1,70	0,45543	2,40	0,49180	4,00	0,49997
0,21	0,08317	0,71	0,26115	1,21	0,38686	1,71	0,45637	2,42	0,49224	4,05	0,49997
0,22	0,08706	0,72	0,26424	1,22	0,38877	1,72	0,45728	2,44	0,49266	4,10	0,49998
0,23	0,09095	0,73	0,26730	1,23	0,39065	1,73	0,45818	2,46	0,49305	4,15	0,49998
0,24	0,09483	0,74	0,27035	1,24	0,39251	1,74	0,45907	2,48	0,49343	4,20	0,49999
0,25	0,09871	0,75	0,27337	1,25	0,39435	1,75	0,45994	2,50	0,49379	4,25	0,49999
0,26	0,10257	0,76	0,27637	1,26	0,39617	1,76	0,46080	2,52	0,49413	4,30	0,49999
0,27	0,10642	0,77	0,27935	1,27	0,39796	1,77	0,46164	2,54	0,49446	4,35	0,49999
0,28	0,11026	0,78	0,28230	1,28	0,39973	1,78	0,46246	2,56	0,49477	4,40	0,49999
0,29	0,11409	0,79	0,28524	1,29	0,40147	1,79	0,46327	2,58	0,49506	4,45	0,50000
0,30	0,11791	0,80	0,28814	1,30	0,40320	1,80	0,46407	2,60	0,49534	4,50	0,50000
0,31	0,12172	0,81	0,29103	1,31	0,40490	1,81	0,46485	2,62	0,49560	4,55	0,50000
0,32	0,12552	0,82	0,29389	1,32	0,40658	1,82	0,46562	2,64	0,49585	4,60	0,50000
0,33	0,12930	0,83	0,29673	1,33	0,40824	1,83	0,46638	2,66	0,49609	4,65	0,50000
0,34	0,13307	0,84	0,29955	1,34	0,40988	1,84	0,46712	2,68	0,49632	4,70	0,50000
0,35	0,13683	0,85	0,30234	1,35	0,41149	1,85	0,46784	2,70	0,49653	4,75	0,50000
0,36	0,14058	0,86	0,30511	1,36	0,41309	1,86	0,46856	2,72	0,49674	4,80	0,50000
0,37	0,14431	0,87	0,30785	1,37	0,41466	1,87	0,46926	2,74	0,49693	4,85	0,50000
0,38	0,14803	0,88	0,31057	1,38	0,41621	1,88	0,46995	2,76	0,49711	4,90	0,50000
0,39	0,15173	0,89	0,31327	1,39	0,41774	1,89	0,47062	2,78	0,49728	4,95	0,50000
0,40	0,15542	0,90	0,31594	1,40	0,41924	1,90	0,47128	2,80	0,49744	5,00	0,50000
0,41	0,15910	0,91	0,31859	1,41	0,42073	1,91	0,47193	2,82	0,49760
0,42	0,16276	0,92	0,32121	1,42	0,42220	1,92	0,47257	2,84	0,49774
0,43	0,16640	0,93	0,32381	1,43	0,42364	1,93	0,47320	2,86	0,49788
0,44	0,17003	0,94	0,32639	1,44	0,42507	1,94	0,47381	2,88	0,49801
0,45	0,17364	0,95	0,32894	1,45	0,42647	1,95	0,47441	2,90	0,49813
0,46	0,17724	0,96	0,33147	1,46	0,42785	1,96	0,47500	2,92	0,49825
0,47	0,18082	0,97	0,33398	1,47	0,42922	1,97	0,47558	2,94	0,49836
0,48	0,18439	0,98	0,33646	1,48	0,43056	1,98	0,47615	2,96	0,49846
0,49	0,18793	0,99	0,33891	1,49	0,43189	1,99	0,47670	2,98	0,49856

Таблица Стьюдента

Практическое занятие 3. Исследованием свойств нормального распределения.

Вариант №1

1. Определение свойств нормального распределения.

2. Расчет доверительных интервалов.

3. Использование правила «3 стандартов».

4. Расчет коэффициента Стьюдента.

Задача 1. Распределение случайной величины X подчиненно нормальному закону с параметрами a=11 и . Записать f(x), F(x), вычислить P(12;15), .

Задача 2. Длина пожарного рукава – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами M(X)=1,5 см, . Найти интервал, в который с вероятностью P=0.9545 будут заключены длины рукавов.

Задача 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=10:

Вариант	xi
частота	ni

Оценить с надежностью y=0.95 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Задача 4. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=100 найдено исправленное среднеквадратическое отклонение s=0.7. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднеквадратическое отклонение с надежностью 0.95.

Задача 5. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины с надежностью , Если .

Вариант №2

1. Определение свойств нормального распределения.

2. Расчет доверительных интервалов.

3. Использование правила «3 стандартов».

4. Расчет коэффициента Стьюдента.

Задача 1. Распределение случайной величины X подчиненно нормальному закону с параметрами a=5 и . Записать f(x), F(x), вычислить P(10;12), .

Задача 2. Масса огнетушителя – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами M(X)=0,2 кг, . Найти интервал, в который с вероятностью P=0.987 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

Задача 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=5:

Вариант	xi	-2	-2	-5	-6
частота	ni

Оценить с надежностью y=0.99 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Задача 4. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=30 найдено исправленное среднеквадратическое отклонение s=0.71. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднеквадратическое отклонение с надежностью 0.99.

Вариант №3

1. Определение свойств нормального распределения.

2. Расчет доверительных интервалов.

3. Использование правила «3 стандартов».

4. Расчет коэффициента Стьюдента.

Задача 1. Распределение случайной величины X подчиненно нормальному закону с параметрами a=6 и . Записать f(x), F(x), вычислить P(7;14), .

Задача 2. Длина лестницы-штурмовки – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами M(X)=5 см, . Найти интервал, в который с вероятностью P=0.952 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

Задача 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=30:

Вариант	xi
частота	ni

Оценить с надежностью y=0.999 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Задача 4. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=50 найдено исправленное среднеквадратическое отклонение s=0.6. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднеквадратическое отклонение с надежностью 0.95.

Задача 5. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины с надежностью , Если .

Вариант №4

1. Определение свойств нормального распределения.

2. Расчет доверительных интервалов.

3. Использование правила «3 стандартов».

4. Расчет коэффициента Стьюдента.

Задача 1. Распределение случайной величины X подчиненно нормальному закону с параметрами a=7 и . Записать f(x), F(x), вычислить P(2;10), .

Задача 2. Номинальное давление насосной станции – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами M(X)=8 МПа, . Найти интервал, в который с вероятностью P=0.9157 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

Задача 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=70:

Вариант	xi	-2
частота	ni

Задача 4. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=120 найдено исправленное среднеквадратическое отклонение s=0.75. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднеквадратическое отклонение с надежностью 0.999.

Вариант №5

1. Определение свойств нормального распределения.

2. Расчет доверительных интервалов.

3. Использование правила «3 стандартов».

4. Расчет коэффициента Стьюдента.

Задача 1. Распределение случайной величины X подчиненно нормальному закону с параметрами a=100 и . Записать f(x), F(x), вычислить P(2;10), .

Задача 2. Номинальное давление насосной станции – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами M(X)=100 МПа, . Найти интервал, в который с вероятностью P=0.95 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

Задача 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=10:

Вариант	xi	-2
частота	ni

Задача 4. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=250 найдено исправленное среднеквадратическое отклонение s=0.85. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднеквадратическое отклонение с надежностью 0.999.

Практическое занятие 3. Исследованием свойств нормального распределения.

1. Определение свойств нормального распределения.

2. Расчет доверительных интервалов.

3. Использование правила «3 стандартов».

4. Расчет коэффициента Стьюдента.

Решение.

4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал (3;30):

6. Вероятность того, что абсолютнаявеличина отклонения меньше числа :

где X – непрерывная случайная величина,

а – математическое ожидание случайной величины,

– граница отклонения абсолютной величины случайной величины,

Ф(x) – функция Лапласа,

– среднеквадратическое отклонение.

Значение функции Лапласа равно

Решение:

1. По условию задачи:

а=M(X)=10 мм,

2. Обозначим А событие «абсолютная величина отклонения не превзойдет величины мм». Вероятность события А:

3. Следовательно, интервал, в который с вероятность 0,9973 будут заключены диаметры изготовляемых валиков:

мм.

Решение 2:

1. Величина вероятности 0,9973 соответствует правила «3сигм»:

2. Следовательно,

3. Искомый интервал

мм.

Задача3 Из генеральной совокупности извлечена выборка объемаn=10:

Вариант	xi	-2
частота	ni

Решение:

1. Найдем

2. Найдем значение S:

3. По таблице :

4. Доверительный интервал:

5. Находим при =2, и он равен

Или

Задача 4.

Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднеквадратическое отклонение с надежностью 0.95.

Решение:

2. Искомый доверительный интервал таков:

Решение:

1. По таблицам распределения Стьюдента для степеней свободы находим коэффициент Стьюдента уровня : .

2. Таким образом, с вероятностью :

или .

Таблица значений функции Лапласа

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,00	0,00000	0,50	0,19146	1,00	0,34134	1,50	0,43319	2,00	0,47725	3,00	0,49865
0,01	0,00399	0,51	0,19497	1,01	0,34375	1,51	0,43448	2,02	0,47831	3,05	0,49886
0,02	0,00798	0,52	0,19847	1,02	0,34614	1,52	0,43574	2,04	0,47932	3,10	0,49903
0,03	0,01197	0,53	0,20194	1,03	0,34849	1,53	0,43699	2,06	0,48030	3,15	0,49918
0,04	0,01595	0,54	0,20540	1,04	0,35083	1,54	0,43822	2,08	0,48124	3,20	0,49931
0,05	0,01994	0,55	0,20884	1,05	0,35314	1,55	0,43943	2,10	0,48214	3,25	0,49942
0,06	0,02392	0,56	0,21226	1,06	0,35543	1,56	0,44062	2,12	0,48300	3,30	0,49952
0,07	0,02790	0,57	0,21566	1,07	0,35769	1,57	0,44179	2,14	0,48382	3,35	0,49960
0,08	0,03188	0,58	0,21904	1,08	0,35993	1,58	0,44295	2,16	0,48461	3,40	0,49966
0,09	0,03586	0,59	0,22240	1,09	0,36214	1,59	0,44408	2,18	0,48537	3,45	0,49972
0,10	0,03983	0,60	0,22575	1,10	0,36433	1,60	0,44520	2,20	0,48610	3,50	0,49977
0,11	0,04380	0,61	0,22907	1,11	0,36650	1,61	0,44630	2,22	0,48679	3,55	0,49981
0,12	0,04776	0,62	0,23237	1,12	0,36864	1,62	0,44738	2,24	0,48745	3,60	0,49984
0,13	0,05172	0,63	0,23565	1,13	0,37076	1,63	0,44845	2,26	0,48809	3,65	0,49987
0,14	0,05567	0,64	0,23891	1,14	0,37286	1,64	0,44950	2,28	0,48870	3,70	0,49989
0,15	0,05962	0,65	0,24215	1,15	0,37493	1,65	0,45053	2,30	0,48928	3,75	0,49991
0,16	0,06356	0,66	0,24537	1,16	0,37698	1,66	0,45154	2,32	0,48983	3,80	0,49993
0,17	0,06749	0,67	0,24857	1,17	0,37900	1,67	0,45254	2,34	0,49036	3,85	0,49994
0,18	0,07142	0,68	0,25175	1,18	0,38100	1,68	0,45352	2,36	0,49086	3,90	0,49995
0,19	0,07535	0,69	0,25490	1,19	0,38298	1,69	0,45449	2,38	0,49134	3,95	0,49996
0,20	0,07926	0,70	0,25804	1,20	0,38493	1,70	0,45543	2,40	0,49180	4,00	0,49997
0,21	0,08317	0,71	0,26115	1,21	0,38686	1,71	0,45637	2,42	0,49224	4,05	0,49997
0,22	0,08706	0,72	0,26424	1,22	0,38877	1,72	0,45728	2,44	0,49266	4,10	0,49998
0,23	0,09095	0,73	0,26730	1,23	0,39065	1,73	0,45818	2,46	0,49305	4,15	0,49998
0,24	0,09483	0,74	0,27035	1,24	0,39251	1,74	0,45907	2,48	0,49343	4,20	0,49999
0,25	0,09871	0,75	0,27337	1,25	0,39435	1,75	0,45994	2,50	0,49379	4,25	0,49999
0,26	0,10257	0,76	0,27637	1,26	0,39617	1,76	0,46080	2,52	0,49413	4,30	0,49999
0,27	0,10642	0,77	0,27935	1,27	0,39796	1,77	0,46164	2,54	0,49446	4,35	0,49999
0,28	0,11026	0,78	0,28230	1,28	0,39973	1,78	0,46246	2,56	0,49477	4,40	0,49999
0,29	0,11409	0,79	0,28524	1,29	0,40147	1,79	0,46327	2,58	0,49506	4,45	0,50000
0,30	0,11791	0,80	0,28814	1,30	0,40320	1,80	0,46407	2,60	0,49534	4,50	0,50000
0,31	0,12172	0,81	0,29103	1,31	0,40490	1,81	0,46485	2,62	0,49560	4,55	0,50000
0,32	0,12552	0,82	0,29389	1,32	0,40658	1,82	0,46562	2,64	0,49585	4,60	0,50000
0,33	0,12930	0,83	0,29673	1,33	0,40824	1,83	0,46638	2,66	0,49609	4,65	0,50000
0,34	0,13307	0,84	0,29955	1,34	0,40988	1,84	0,46712	2,68	0,49632	4,70	0,50000
0,35	0,13683	0,85	0,30234	1,35	0,41149	1,85	0,46784	2,70	0,49653	4,75	0,50000
0,36	0,14058	0,86	0,30511	1,36	0,41309	1,86	0,46856	2,72	0,49674	4,80	0,50000
0,37	0,14431	0,87	0,30785	1,37	0,41466	1,87	0,46926	2,74	0,49693	4,85	0,50000
0,38	0,14803	0,88	0,31057	1,38	0,41621	1,88	0,46995	2,76	0,49711	4,90	0,50000
0,39	0,15173	0,89	0,31327	1,39	0,41774	1,89	0,47062	2,78	0,49728	4,95	0,50000
0,40	0,15542	0,90	0,31594	1,40	0,41924	1,90	0,47128	2,80	0,49744	5,00	0,50000
0,41	0,15910	0,91	0,31859	1,41	0,42073	1,91	0,47193	2,82	0,49760
0,42	0,16276	0,92	0,32121	1,42	0,42220	1,92	0,47257	2,84	0,49774
0,43	0,16640	0,93	0,32381	1,43	0,42364	1,93	0,47320	2,86	0,49788
0,44	0,17003	0,94	0,32639	1,44	0,42507	1,94	0,47381	2,88	0,49801
0,45	0,17364	0,95	0,32894	1,45	0,42647	1,95	0,47441	2,90	0,49813
0,46	0,17724	0,96	0,33147	1,46	0,42785	1,96	0,47500	2,92	0,49825
0,47	0,18082	0,97	0,33398	1,47	0,42922	1,97	0,47558	2,94	0,49836
0,48	0,18439	0,98	0,33646	1,48	0,43056	1,98	0,47615	2,96	0,49846
0,49	0,18793	0,99	0,33891	1,49	0,43189	1,99	0,47670	2,98	0,49856

Таблица Стьюдента

Поделиться с друзьями:

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...

Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...

Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...

История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...