I. Геометрические характеристики плоских фигур.

РАСЧЕТ

ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ

НА ПРОЧНОСТЬ

 

 

Методические указания

по выполнению расчетно-графических работ

 

 

Омск - 2001

 

Составители: С.А.Девятов, З.Н.Соколовский, Е.П.Степанова

 

 

Одной из основных задач курсов «Сопротивление материалов» и «Прикладная механика» является приобретение студентами навыков выполнения проектных и проверочных расчетов деталей машин и механизмов на прочность. Для выполнения таких расчетов требуется определять напряжения, возникающие в сечениях стержней под действием внешних нагрузок различного типа. При вычислении напряжений следует оценивать не только характер внешней нагрузки, но и форму поперечного сечения.

Методические указания рекомендуются для студентов механических специальностей. Указания составлены с учетом того, что могут быть использованы студентами заочного отделения.

 

 

 

Комплексная расчетно-графическая работа «Расчет прямых стержней на прочность» имеет целью ознакомление с методами расчета на прочность по допускаемым напряжениям при различных видах напряженного состояния. Для решения задачи необходимо уметь определять геометрические характеристики поперечных сечений, интегральные характеристики напряжений и пользоваться формулами для определения напряжений. Работа включает как задачи по определению размеров поперечного сечения, так и задачи по проверке прочности стержней. В задачи включены также вопросы по исследованию напряженного и деформированного состояния.

Решение задач по определению напряжений и расчета на прочность можно разбить на следующие основные этапы:

1. Определение геометрических характеристик сечений.

2. Определение интегральных характеристик напряжений.

3. Вычисление напряжений и расчет на прочность.

Такое построение расчетно – графической работы позволяет решать задачи поэтапно по мере изложения лекционного материала и проведения практических занятий, что помогает студентам лучше закрепить пройденный материал и рационально использовать время, отведенное для самостоятельной работы.

Рекомендуется для студентов механических специальностей, изучающих курс «Сопротивление материалов» и «Прикладная механика».

 

Рекомендации по оформлению пояснительной записки

1. Записка оформляется на листах формата А4.

2. Каждая часть задачи делается на отдельном листе, что позволяет выполнять работу в течение семестра.

3. Все решения должны сопровождаться необходимыми пояснениями. Сокращение слов в записке не допускается.

4. На обложке указывается название учебного заведения, наименование кафедры, тема расчетно-графической работы, фамилия студента и учебная группа.

5. Каждую задачу следует начинать с новой страницы с указанием условия и исходных данных.

6. При расчетах следует удерживать не более 3-х значащих цифр.

7. Для всех величин должна быть указана размерность.

8. Все чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно в масштабе с указанием необходимых размеров.

9. Схемы нагружения, поперечные сечения стержней и числовые значения выбираются в соответствии с вариантом, выданным преподавателем.

10. Нумерация страниц сквозная от титульного листа до последней страницы.

 

 

Краткие сведения из теории

 

 

Рис.8

 

После записи уравнений интегральных характеристик и вычисления начальных параметров можно построить их графики (эпюры). Эти графики строятся на осях, параллельных оси стержня, по нормали к которым откладываются значения функций. Эпюры позволяют наглядно представить изменение интегральных характеристик напряжений вдоль оси стержня и определить то сечение, где функции достигают наибольшего значения.

 

Обобщенный закон Гука

Напряженное состояние в точке деформированного тела определяется составляющими по трем координатным площадкам s_х, s_у, s_z, t_xy, t_xz, t_yz. В той же точке деформированное состояние задается составляющими e_x, e_y, e_z,, g_ху, g_yz, g_zx, где e_x, e_y, e_z – линейные деформации в данной точке вдоль координатных осей; g_ху, g_yz, g_zx – угловые деформации или углы сдвига в координатных плоскостях.

На основании гипотезы об идеальной упругости материала детали связь между этими составляющими описывается следующими выражениями:

e_x = [s_x - m×(s_y +s_z)]/E,

e_y = [s_y - m×(s_x + s_z)]/E,

e_z = [s_z - m×(s_y + s_x)]/E,

g_xy = t_xy/G, g_zy = t_zy/G, g_xz = t_xz/G.

 

Эти шесть формул носят название обобщенного закона Гука для изотропного тела в общем случае трехосного напряженного состояния.

Упругие постоянные материала детали:

Е – модуль упругости первого рода или модуль Юнга,

G – модуль упругости второго рода или модуль сдвига,

m - коэффициент Пуассона.

Для стали можно считать

Е = 2×10¹¹ Па; G = 8×10¹⁰ Па; m = 0,3.

 

Решение

 

Так как материал стержня работает только на растяжение-сжатие, то в точках стержня имеет место одноосное напряженное состояние, и условие прочности можно записать в виде

 

s_zmax £ [s] или s_zmax = N_max/F £ [s].

 

Площадь поперечного сечения стержня F = 3pd²/4.

 

Следовательно, s_zmax = 4N_max/ 3pd² £ [s],

 

откуда d ³ . (11)

 

Для нахождения наибольшего значения продольной силы N_max, запишем выражение для этой функции

 

N(z) = N(0) - q₁z + q₁(z-l₁) - q₂(z-l₁).

 

Для заданных условий закрепления на правом конце стержня граничное условие будет

 

N(l₁ + l₂) = Р ® N(0) - q₁(l₁ + l₂) + q₁l₂ - q₂l₂ = Р,

откуда

N(0) = 50×2-30×1 + 20 = 90 кН.

 

Окончательно получаем:

 

N(z) = 90 - 50×z + 50×(z - 2) + 30×(z - 2).

 

Вычисляем значение продольной силы на границах участков

 

N(0) =90 кН N(l₁) = -10 кН

N(l₁) = -10 кН N(l₁ + l₂) = 20 кН.

 

По полученным значениям строим эпюру N (рис. 12), из которой видно, что N_max = 90 кН. Подставляя в формулу (11), получаем

 

D ³ .

 

Из нормального ряда диаметров принимаем размер d = 20 мм.

 

 

q₁ q₂

P

l1 l2

N(z)

 

 

Рис. 12

 

П р и м е р 2. По заданной схеме нагружения (рис.13) для стального стержня необходимо:

1. Подобрать диаметр d круглого поперечного сечения из расчета на прочность по теории наибольших касательных напряжений.

2. Вычислить главные линейные деформации в опасной точке стержня.

 

Рис. 13

 

Исходные данные:

L = 4 кН×м; m = 8 кН×м/м; l = 1 м; [s] = 160 МПа.

 

Решение

 

При кручении в стержнях возникает двухосное напряженное состояние – чистый сдвиг. В точках поперечного сечения, лежащих на контуре, возникают наибольшие касательные напряжения:

 

t_max = M_к/W_r.

 

Условие прочности при сложном напряженном состоянии

 

s_экв £ [s].

 

По теории наибольших касательных напряжений

 

s_экв = s₁ - s₃.

 

При чистом сдвиге s₁ = t, s₂ = 0, s₃ = -t.

Следовательно

 

s_экв = s₁ - s₃ = 2t_max = 2 M_к/W_r.

 

Для стержня круглого поперечного сечения полярный момент сопротивления W_r = 0,2d³.

 

Условие прочности примет вид:

 

s_экв = M_к/0,1d³ £ [s].

 

Откуда

 

d ³ .

 

Для определения наибольшего значения крутящего момента необходимо построить график этой функции.

1. Уравнение крутящего момента

 

М_к(z) = М_к(0) - m(z-l).

 

На левом конце стержня М_к(0) = L, тогда М_к(z) = 4 – 8(z – 1). Вычисляем значения крутящего момента на границах участка

 

М_к(0) = 4кН×м,

М_к(l) = 4кН×м,

М_к(2,5l) = -8кН×м

 

и строим эпюру М_к(z).

 

 

M_k(z)

 

	8

 

Рис. 14

 

М_кmax = 8кН×м

 

Подставляя численные значения, находим

 

d ³ .

 

Принимаем диаметр стержня d = 80 мм.

2.Вычисляем наибольшие касательные напряжения в опасном сечении

 

t_max = M_кmaх/0,2d³ = 8/0,2×8³×10^-6 = 78 МПа.

 

Главные напряжения в опасных точках этого сечения s₁ = 78 МПа;

s₂ = 0 МПа; s₃ = - 78 МПа.

Главные линейные деформации для упругого тела определяем по формулам обобщенного закона Гука, приняв для стали модуль Юнга Е=2×10⁵ МПа, коэффициент Пуассона m=0,3

 

e₁ = [s₁ - m(s₂ + s₃)]/Е = (78 + 0,3×78)/2×10⁶ = 50,7×10^-6

 

e₂ = [s₂ - m(s₃ + s₁)]/Е = 0;

 

e₃ = [s₃-m(s₂ + s₁)]/Е = -50,7×10⁶.

 

Следовательно, и деформированное состояние при кручении будет двухосное.

 

П р и м е р 3. По заданной схеме нагружения для стержня подобрать двутавровое поперечное сечение из расчета на прочность. Для выбранного стержня построить эпюры нормальных и касательных напряжений и проверить прочность стержня в опасных точках по третьей теории прочности.

 

 

Рис.15

 

Исходные данные: Р = 72 кН, L = 16 кН×м, l = 0,5 м, [s] = 160 МПа.

 

Решение

 

Составим уравнение изгибающих моментов М_х и поперечных сил Q_y

 

Q_y(z) = Q_y(0) + P,

 

М_х(z) = М_х(0) + Q_У(0)z + P(z-l).

 

Для определения постоянных интегрирования Q_y(0) и М_х(0) для заданных условий закрепления концов стержня граничные условия запишутся в следующем виде:

 

М_х(0) = 0, М_х(2l) = L.

 

Из второго условия имеем

 

Q_У(0)×2l + Pl = L.

 

Откуда

Q_У(0) = L/2l - P/2 = 16/2×0,5 - 72/2 = -20 кН.

 

Окончательно получаем

 

Q_У(z) = -20 + 72,

М_х(z) = -20×z + 72(z - 0,5).

 

Вычисляем значения поперечных сил и изгибающих моментов на границах участков

0 < z < l,

Q_y = -20 кН; М_х(0) = 0; М_х(l) = -10 кНм.

l < z < 2l,

Q_y = -20 + 72 = 52 кН; М_х(l) = -10 кНм; М_х(2l) = 19 кНм.

 

По полученным значениям строим эпюры М_х и Q_y (рис. 16).

Опасным сечением будет сечение на правой опоре, где М_х = 16 кН×м и Q_y = 52 кН.

Условиe прочности при изгибе запишем в виде

 

s_{z max} = M_x/W_х £ [s].

 

Откуда

W_х ³ M_x /[s] = 16/160×10³ = 100 см³.

 

 

 

Q_y(z)

 

M_x(z)

 

 

Рис. 16

 

 

По таблицам «Сортамент прокатной стали» выбираем двутавр, имеющий ближайший больший осевой момент сопротивления. Таковым является двутавр №16, имеющий W_х = 109 см³, и осевой момент инерции

J_х = 873 см⁴.

Построим эпюры нормальных и касательных напряжений по высоте опасного поперечного сечения. Для этого вычислим величины s_z и t_zy в следующих трех точках сечения:

 

Точка 1 - крайние точки у = ±h/2.

В этих точках нормальные напряжения достигают наибольшей величины и равны

 

s_z(1) = M_x/W_х= 16/109×10^-6 = 147 МПа.

 

Касательные напряжения в этих точках равны нулю t_zy(1) = 0.

Следовательно, в данной точке имеет место одноосное напряженное состояние, и условие прочности в этой точке выполняется.

 

s_z(1) = 147 МПа < [s].

 

Точка 2 – верхняя точка стенки двутавра (рис.17) с ординатой

у = ±(h/2-t).

 

 

 

 

Рис.17.

 

Из таблицы сортаментов выписываем значения размеров двутавра №16: h = 160 мм, b = 81 мм, d = 5 мм, t = 7,8 мм.

Нормальное напряжение в этой точке будет:

 

s_z(2) = M_x(h/2 - t)/J_x = 16(80 – 7,8)/873×10^-8 = 132 МПа.

 

В этой же точке будут возникать касательные напряжения, которые при поперечном изгибе можно определить по формуле Журавского:

 

t_zy=Q_y×S_x*/J_x×b(y).

 

Отсеченной будет одна из частей сечения, если через точку 2 проведем линию, параллельную оси Х. В данном случае удобней взять верхнюю часть, то есть полку двутавра F₁. Рассматривая ее как прямоугольник, найдем

 

S_x*=F₁×y₁=b×t×(h/2-t/2)=8,1×0,78×(8-0,39)=48,1 cм³.

 

Ширину сечения в точке 2, не учитывая закругления, примем

 

b(y) = d = 0,5 см.

 

Тогда

t_zy(2) = 52×48,1×10⁷/873×0,5 = 57 МПа.

 

Точка 3 - лежит на оси Х.

В этой точке нормальные напряжения равны 0. Отсеченной будет половина поперечного сечения, статический момент ее найдем как сумму статических моментов двух прямоугольников

 

S_x* = F₁×y₁ + F₂×y₂ = b×t×(h/2 - t/2) + (h/2-t) ×d×(h/2 - t)/2 =

= 8,1×0,78(8 - 0,39) + (8 - 0,78) ×0,5(8 - 0,78)/2 = 61 cм³.

 

Ширина сечения

 

b(y) = d = 0,5 см.

 

Касательные напряжения в точке 3

 

t_zy(3) = 52×61×10⁷/873×0,5 = 81 МПа.

 

По найденным значениям s_z и t_zy строим их эпюры (рис.18)

 

s_z(y) t_zy(y)

 

Рис. 18

 

Проверяем условия прочности в этих точках.

 

Точка 1. s_z = 147 МПа и t_zy = 0 МПа.

В рассматриваемой точке будет одноосное напряженное состояние, и условие прочности можно записать в виде

 

s_z £ [s].

 

В данном случае s_z =147 МПа < [s], следовательно, условие прочности в точке 1 выполняется.

 

Точка 2. s_z = 132 МПа и t_zy = 57 МПа.

В данной точке будет иметь место двухосное напряженное состояние s₂ = 0

s_1,3 = (s_z ± = (132 ± ,

s₁ = 153 МПа, s₃ = -11 МПа.

 

Условие прочности для сложного напряженного состояния

 

s_экв £ [s].

 

По теории наибольших касательных напряжений

 

s_экв = s₁ - s₃ = 153 + 11 = 164 МПа.

 

Эквивалентное напряжение в точке получилось несколько выше допускаемого напряжения, но перегрузка составляет

 

[(164 - 160)/160]% = 2,5 %,

 

что лежит в допускаемых пределах.

 

Точка 3. s_z = 0, t_zy = 81 МПа.

Такой вид напряженного состояния называется чистым сдвигом. Главные напряжения в т.3 будут равны

 

s₁ = t_zy = 81 МПа; s₂ = 0; s₃ = -t_zy = -81 МПа.

 

Эквивалентное напряжение будет

 

s_экв = s₁ - s₃ = 81 + 81 = 162 МПа.

 

Здесь тоже эквивалентное напряжение оказалось выше допускаемого, но это превышение тоже лежит в допускаемых пределах.

Можно сделать заключение, что условие прочности во всех точках опасного сечения выполняется.

 

П р и м е р 4. Стержень АВ имеет на правом конце кронштейн ВС, в верхней точке которого приложена горизонтальная сила Р.

 

 

Рис. 19

 

Найти наибольшие напряжения в стержне АВ, если Р = 50 кН,

l = 0,2 м, r = 1 см.

Проверить прочность стержня, приняв допускаемое напряжение

[s] = 200 МПа.

Решение

 

Приведем силу Р к оси стержня АВ и построим эпюры внутренних сил. При параллельном переносе силы Р из точки С в точку В она приведется к силе Р и паре сил L = Pl.

Уравнения внутренних сил

 

N(z) = N(0); Q_y(z) = Q_y(0); M_x(z) = M_x(0) + Q_y(0)×z.

 

Граничные условия

 

N(0) = 0; M_x(0) = 0; M_x(4l) = L,

 

откуда Q_y(0) = L/4l = P/4.

 

Окончательно получаем

 

N(z) = P; Q_y(z) = P/4; M_x(z) = P×z/4.

 

Эпюры внутренних сил приведены на рис.20.

 

N(z)

12,5

Q_y(z)

 

 

M_x(z)

 

Рис. 20

 

Таким образом, для стержня АВ вид нагружения будет – растяжение с изгибом. И нормальные напряжения в точках поперечного сечения можно найти по формуле

 

s_z = + y

 

Вычислим необходимые геометрические характеристики поперечного сечения стержня АВ (рис.21)

 

 

Xc

Рис. 21

 

Сложную фигуру можно представить как составленную из более простых фигур: прямоугольник и два полукруга, для которых известны площади положения центров тяжести и моменты инерции относительно своих центральных осей.

Предварительно определим геометрические характеристики каждой фигуры:

 

1 фигура – полукруг радиусом r.

Площадь фигуры F₁ = pr²/2; осевые центральные моменты инерции J_x1 = 0,112⁴; J_y = pr⁴/8, расстояние до центра тяжести У₀ = 4r/3p.

 

2 фигура – прямоугольник с основанием b = 2r и высотой h = 4r.

Площадь фигуры F₂ = bh = 8r².

Центральные осевые моменты инерции

 

J_x2 = bh³/12 = 2r×(4r)³/12 = 10,7r⁴; J_y = hb³/12 = 2,67r⁴.

 

3 фигура – полукруг радиусом r имеет те же характеристики, что и фигура 1.

Площадь поперечного сечения стержня

 

F = SF_i = F₁ + F₂ - F₃ = F₂ = 8r².

 

Для определения положения центра тяжести сечения выберем вспомогательные оси ХУ. Ось У является осью симметрии фигуры, и поэтому она будет центральной, а центр тяжести фигуры находится на этой же оси, т.е. абсцисса x_с = 0. Ординату центра тяжести найдем по формуле

 

y_c = SS_xi/SF_i = (S + S + S )/F = (F₁y₁ + F₂y₂ + F₃y₃)/F,

 

где y₁, y₂, y₃ – ординаты центров тяжести отдельных фигур относительно оси Х.

Соответственно

 

y₁ = 4r + 4r/3p; y₂ = 2r; y₃ = 4r/3p.

 

Теперь

 

y_c = (pr²/2) × (4r + 4r/3p) + 8r² × 2r - (pr²/2) × 4r/3p = 2,8r.

 

Проведем через точку С ось Х_с, перпендикулярную оси У_с.

Эта ось будет являться не только центральной, но и главной, опять в силу того, что ось Y является осью симметрии. Таким образом, оси Х_сY_c есть главные центральные оси сечения.

Вычислим главные центральные моменты инерции сечения, используя формулы параллельного переноса осей.

Предварительно найдем расстояния между осью Х_с и центральными осями отдельных фигур

 

a₁ = y₁ - y_c = 4r + 4r/3p - 2,8r = 1,3r;

a₂ = -(y_c - y₂) = -(2,8r - 2r) = -0,8r;

a₃ = -(y_c - y₃) = -(2,8r - 4r/3p) = -2,38r.

 

Используя формулы параллельного переноса осей, получаем

 

J_xc = J + J + J = (J_x1 + a F₁) + (J_x2 + a F₂) - (J_x3 + a F₃) =

= 0,11r⁴ + (1,3)² × pr²/2 + 10,7r⁴ + (0,8r)² × 8r² - 0,11r⁴ - (2,38r)² × pr²/2 =

= 9,36r⁴ = 9,36 cм⁴.

 

Наибольшие параллельные напряжения будут возникать в поперечном сечении стержня В на правой опоре, где

 

N=P=50 кН, М_х=P×l=10кН×м.

 

Вычислим напряжения в крайних точках этого сечения.

Крайняя верхняя точка 1: y = 2,2 см.

 

s_z(1) = 50/8 × 10⁴ + 50 × 0,2/9,36 × 2,2 × 10⁶ = 2413 МПа.

 

Крайняя нижняя точка 2: y = -2,8 см.

 

s_z(2) = 50/8 × 10⁴ + 50 × 0,2/9,36 × (-2,8) × 10⁶ = -2929 МПа.

 

В обеих точках s_z > [s], следовательно, условия прочности не выполняются.

 

П р и м е р 5. Проверить прочность балки (рис.21), нагруженной поперечными нагрузками, действующими в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Стержень изготовлен из швеллера №16 и равнополочного уголка №10с жестко соединенных между собой по всей длине.

Исходные данные: q = 5 кН/м, l = 0,6 м, Р_х = Р_у = Р = ql = 3 кН,

L = ql² = 1,8 кНм, [s] = 160 МПа.

 

Рис. 22

Решение

 

Выписываем из таблиц прокатного сортамента необходимые данные для фигур, составляющих поперечное сечение:

 

Швеллер №16: h₁ = 16 см, В₁ = 6,4 см, F₁ = 18,1 см², J_x1 = 747 см⁴,

J_y1 = 63,3 см⁴, z₁ = 1,8 см.

Уголок №10: В₂ = 10 см, F₂ = 15,6 см², J_x2 = J_y2 = 147 см⁴, J_u = 233 см⁴,

J_v = 61 см⁴, z₂ = 2,75 см..

 

При пользовании таблицами сортамента следует обратить внимание на возможное несовпадение в обозначении осей фигуры, выбранных в задаче и принятых в таблицах. Поэтому все характеристики, взятые из таблиц, необходимо снабдить индексами осей, принятыми в задаче.

 

 

 

Рис.23

 

Для определения положения центра тяжести сечения выбираем вспомогательные оси Х₁У₁, совпадающие с центральными осями швеллера. Вычисляем координаты центра тяжести всего сечения

 

y_c = см,

 

x_c = см.

 

Отмеряя по осям Х₁У₁, соответственно 2,11 см и 2,43 см, находим положение центра тяжести С поперечного сечения стержня. Проводим через эту точку вспомогательные центральные оси Х_сУ_с, параллельные центральным осям швеллера и уголка. Для вычисления центральных осевых и центробежных моментов инерции определим координаты центров тяжести С₁ и С₂ в системе осей Х_сУ_с:

 

a₁ = -y_c = -2,43 см; b₁ = -x_c = -2,11 см;

 

a₂ = (h₁/2 - y_c - z₂) = (8 - 2,43 - 2,75) = 2,82 см;

 

b₂ = z₁ + z₂ -x_c = 2,75 + 1,6 - 2,11 = 2,44 см.

Используя формулы преобразования, при параллельном переносе осей получаем

 

J_xc = S(J_xc)_i = (J_x1 + a F₁) + (J_x2 + a F₂) =

=(747 + 2,43² × 18,1) + (147 + 2,82 × 15,6) = 1125 см⁴,

 

J_yc = S(J_yc)_i = (J_y1 + b F₂) + (J_y2 + b F₂) =

= (63,3 + 2,11² × 18,1) + (147 + 2,44² × 15,6) = 384 см⁴.

 

Центробежный момент инерции швеллера J_x1y1=0, так как ось Х₁ одновременно является осью симметрии. Для уголка главными осями инерции являются оси U и V, повернутые на угол a = 45° по отношению к осям Х₂ У₂. Для определения центробежного момента относительно этих осей воспользуемся формулами поворота

 

J_x2y2 = [(J_u - J_v)sin2a]/2 = [(233 - 61)sinp/2]/2=86 см⁴.

 

Теперь вычисляем центробежный момент инерции всего сечения относительно центральных осей Х_сУ

 

J_xcyc = J_x1y1 + a₁b₁F₁ + J_x2y2 + a₂b₂F₂ = 0 + (-2,43) × (-2,11) × 18,1 + 86 +

+ 2,82 × 2,44 × 16,6 = 286 cм⁴.

 

Вычислим главные моменты инерции по формуле

 

J_max,min=0,5[J_xc+J_yc

 

Принимаем J_x0 = J_max = 1222 см⁴, J_у0 = J_min = 287 см⁴.

Определим положение главных центральных осей Х₀У₀ по формулам:

tqa₁ = tq(X_c, X₀) = (J_xc – J_x0)/J_xcyc = -0,339; a₁ = -18,8°.

 

tqa₂ = tq(Y_c, Y₀) = (J_xc – J_y0)/J_xcyc = 2,93; a₂ = 71,2°.

 

Перейдем к построению эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Q_y(z) = Q_y(0) – [-P – q(z – 2l)],

 

M_x(z) = M_x(0) + Q_y(0)z – [-P(2 - l) – 0,5q(z – 2l)²].

 

Граничные условия Q_y(3l) = 0; M_x(3l) = 0,

 

откуда Q_y(0) = -P - ql = -3 - 5×0,8 = - 7 кН,

M_x(0) = -Q_y(0) × 3l – P – 0,5 × q ×l² =

=7 × 3 × 0,6 – 0,5 × 5 × 0,8² = 6,3 кН×м.

 

Окончательно Q_y(z) = - 7 + 3 + 5(z - 1,2),

M_x(z) = 6,3 – 7z + 3(z - 0,6) + 0,5(z – 1,2)².

 

Вычисляем значения функций на границах участков

0 < Z < l; Q_y(0) = -7 кН; M_x(0) = 6,3 кНм,

Q_y(l) = -7 кН; M_x(l) = 2,7 кНм.

l < Z < 2l; Q_y(l) = -4 кН; M_x(l) = 2,7 кНм;

Q_y(2l) = -4 кН; M_x(2l) = 0,9 кНм.

2l < Z < 3l; Q_y(2l) = -4 кН; M_x(2l) = 0,9 кНм;

Q_y(3l) = 0; M_x(3l) = 0.

 

В перпендикулярной плоскости

Q_x(z) = Q_x(0); M_y(z) = M_y(0) – Q_x(0)z - L

Граничные условия Q_x(3l) = P; M_x(3l) = 0.

 

Откуда Q_x(0) = P; M_x(0) = Q_x(0)×3l + L = 3 × 1,8 + 1,8 = 7,2 кНм.

 

Окончательно Q_x(z) = 3; M_x(z) = 7,2 – 3z - 1,8.

 

Поперечная сила постоянна по всей длине стержня и равна 3 кН. Вычислим изгибающий момент на границах участков

0 < Z < l; M_y(0) = 7,2 кНм; M_y(l) = 5,4 кНм.

l < Z < 3l; M_y(l) = 3,6 кНм; M_x(3l) = 0.

 

По вычисленным значениям строим эпюры (рис. 24).

По полученным эпюрам выбираем опасное сечение стержня. В данном случае таковым будет являться левое концевое сечение (в заделке), так как именно в этом сечении оба изгибающих момента достигают наибольшей величины: М_х = 6,3 кНм, М_у = 7,2 кНм. Нормальные напряжения при косом изгибе определяются по формуле:

s_z = M_x×y/J_x – M_y×x/J_y,

 

где J_x и J_y – главные центральные моменты инерции, т.е. J_x=J_x0=1222 см⁴, J_x=J_у0=287 см⁴. Изгибающие моменты должны быть определены тоже относительно главных центральных осей.

 

 

 

3

3

Q_y(z)

2,7

 

M_x(z)

 

Q_x(z)

 

 

M_y(z)

 

 

Рис. 24

 

Поскольку внешние заданные нагрузки действуют в вертикальной и горизонтальной плоскостях, то на рис. 25 имеем эпюры изгибающих моментов, действующих в этих плоскостях, т.е. моменты относительно осей Х_сУ_с. В используемой формуле необходимы моменты относительно главных центральных осей: М_хс = М_х = 6,3 кНм, М_{у с} = М_у = 7,2 кНм.

 

Y_c Y₀

 

M_yc M_y0

 

M_xc

X_c

C a^°

 

M_x0

X₀

Рис. 25

Найдем требуемые моменты как сумму проекций М_хс, М_ус на главные центральные оси сечения

 

M_x0 = M_xc×cosa₀ – M_yc×sina₀ = 6,3 ×0,947 – 7,2 ×0,323 = 3,64 кНм,

M_y0 = M_yc×cosa₀ + M_xc×sina₀ = 7,2 ×0,323 + 6,3 ×0,947 = 8,29 кНм.

 

Следует иметь ввиду, что в данном случае формулы преобразования получены для отрицательного угла a₀.

Таким образом, для принятых обозначений осей в решении задачи формулу можно переписать в виде

 

s_z = y - x.

 

Наибольшие нормальные напряжения будут возникать в точках, наиболее удаленных от нулевой линии. Уравнение нулевой линии в системе главных центральных осей

 

y₀ = ×x₀,

 

где x₀, y₀ –координаты точек, лежащих на нулевой линии.

 

y₀ = 8,29/3,64 × 1222/287 × x₀ =9,7 x₀.

 

Согласно полученному уравнению проводим нулевую линию и находим точки, наиболее удаленные от нее. Это точка А с координатами

x_А = -8,7 см, y_А = 2,9 см.

Нормальные напряжения в этой точке

 

s_z(A) = [3,64/1222 × 2,9 – 8,29/287 × (-8,7)] × 10⁶ = 259 МПа > [s].

 

Условие прочности для стержня не выполняется.

 

П р и м е р 6. Стержень круглого поперечного сечения нагружен горизонтальными и вертикальными нагрузками и крутящим моментом (рис. 26).

Определить диаметр поперечного сечения из расчета на прочность. Исходные данные: Р₁ = 6 кН, Р₂ = 10 кН, q = 4 кН/м, L = 5 кН×м,

l = 1 м, [s] = 160 МПа.

 

	L

 

 

Рис. 26

 

Решение

 

Построение эпюр начнем с рассмотрения сил, действующих в вертикальной плоскости

Q_y(z) = Q_y(0) + P₂,

M_x(z) = M_x(0) + Q_y(0) × z + P₂ × (z – l).

 

Граничные условия

 

Q_y(0) = -P₁, M_x(0) = 0.

 

Окончательно получаем:

 

Q_y(z) = -6 + 10, M_x(z) = - 6 × z + 10 × (z – 1).

 

Под действием сил, действующих в горизонтальной плоскости:

Q_x(z) = Q_x(0) + q × z – q × (z – 1,5l),

M_y(z) = M_y(0) - Q_x(0) × z - q × z²/2 + q × (z – 1,5l)²/2.

 

Соответствующие граничные условия:

 

Q_x(0) = 0, M_y(0) = 0.

 

Окончательно получаем:

 

Q_x(z) = 4 × z – 4 × (z – 1,5),

M_y(z) = - 4 × z²/2 + 4