Критерий согласия Колмогорова

Критерий Колмогорова позволяет проверить гипотезу о виде функции распределения случайной величины и ее параметрах. Выдвинем следующую гипотезу: случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами:

=4,205 и =3,244.

В качестве значений параметров берем рассчитанные ранее значения реализаций точечных оценок этих параметров.

Рассчитаем значение реализации статистики проверки гипотезы t:

,

где x _i –элемент выборки, .

Расчет значения функции F₀(x) можно осуществлять по формуле:

x, используя при этом встроенную функцию MS Excel НОРМРАСП, параметры которой соответственно равны значению x_i, точечной оценке математического ожидания , точечной оценке среднеквадратического отклонения , значение четвертого параметра равно 1, что соответствует возвращению встроенной функцией значения функции распределения нормального закона.

Алгоритм проверки гипотезы:

1. Провести измерения Х и получить выборку х ⁿ;

2. Построить вариационный ряд;

3. Исключить грубые ошибки;

4. Построить статистическую функцию распределения;

5. Задать гипотезу, что F ₀(x) есть функция распределения Х;

6. Подсчитать t, при этом для вычисления значений функции распределения F ₀(x) требуется нормализовать выборку значений случайной величины Х, т.е. перейти к случайной величине Y, которая является нормированной случайной величиной Х: y _i=(x_i- )/ S.;

7. Задать а и с помощью таблицы Колмогорова найти t _α;

8. Принять или отклонить гипотезу;

Зададим вероятность а =0,01 практически невозможного события, заключающегося в том, что оценка функции распределения отклонится от значения функции принятой в качестве гипотезы, на величину большую, чем t _α P(.

Если выполняется условие: t < t _α, то гипотеза принимается.

Значение параметра t _α возьмем из таблицы Колмогорова, исходя из значений вероятности а и объема выборки n: t _α=0,23798.

После выполнения алгоритма проверки гипотезы получили t =0,005163, которое не превышает значение параметра t _α. Следовательно, гипотеза о нормальном распределении случайной выборки принимается.

Результаты расчетов приведены в Приложении 4.

Выводы

 

В результате выполненных расчетов было установлено следующее:

1. При проведении опыта были выявлены грубые ошибки измерений:9,01 с.

2. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии соответственно равны:

=4,205;

=3,244;

3. В результате проведенной проверки соответствия закона распределения случайной величины времени включения браузера Mozilla Firefox 4.0 по нормальному закону, было установлено, что с вероятностью = 0,99 практически достоверного события выборочные данные согласуются с гипотезой о нормальном законе распределения исследуемой случайной величины по критерию Колмогорова, но не согласуется по критерию Пирсона. Следовательно, нужно увеличить объем выборки и провести измерения заново.

Список литературы

 

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 6-е, стер. – М.: Высш. шк., 2001.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов.-8-е изд., стер.- М.: Машиностроение, 2002.

3. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика: Учеб. пособие для втузов.- М.: Высш. шк., 1984.

4. Кожевников Ю.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. М.: Машиностроение, 2002.

5. Ю. В. Кожевников «Введение в математическую статистику» КГТУ им. А. Н. Туполева, 1996.

6. Роднищев Н.Е. Курс теории вероятностей и математической статистики: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001.

Приложения

Приложение 1. Исключение грубых ошибок

1 этап

Вариационный ряд

№	Xi	(Xi-Xcр)^2
	1,58	7,454087
	1,95	5,57062613
	1,99	5,38340874
	2,14	4,70984353
	2,17	4,58053048
	2,24	4,28580005
	2,25	4,2444957
	2,29	4,08127831
	2,29	4,08127831
	2,35	3,84245222
	2,41	3,61082613
	2,67	2,69031309
	3,01	1,69056526
	3,07	1,53813918
	3,17	1,3000957
	3,21	1,21047831
	3,25	1,12406092
	3,27	1,08205222
	3,27	1,08205222
	3,41	0,81039135
	3,6	0,50440874
	4,1	0,04419135
	4,15	0,02566961
	4,19	0,01445222
	4,23	0,00643483
	4,23	0,00643483
	4,25	0,00362613
	4,47	0,02553048
	4,87	0,31335657
		0,47580005
		0,47580005
	5,03	0,518087
	5,14	0,68853918
	5,18	0,75652179
	5,21	0,80960874
	5,58	1,61234787
	5,69	1,90380005
	5,87	2,43292179
	6,27	3,84074787
	6,55	5,01662613
	7,29	8,8791044
	7,41	9,60865222
	7,52	10,3027044
	8,12	14,5144435
	8,32	16,0783566
	9,01	22,0879566
X ср	4,310217	n=
Параметр s	1,916704
Xср-s*tα	-0,99905	Xmin>Xср-s*tα
Xср+s*tα	9,619487	1,58 > -0,997 Xmin не является грубой ошибкой
tα(при а=0,01)	2,77	Xmax>Xср+s*tα
∑(xi-xср)	165,3189	9,63 >9,617 Xmax является грубой ошибкой
Xmin=	1,58
Xmax=	9,01

2 этап

Вариационный ряд

№	Xi	(Xi-Xcр)^2
	1,58	6,894709
	1,95	5,088533
	1,99	4,909671
	2,14	4,267438
	2,17	4,144391
	2,24	3,864282
	2,25	3,825067
	2,29	3,670204
	2,29	3,670204
	2,35	3,443911
	2,41	3,224818
	2,67	2,358613
	3,01	1,429884
	3,07	1,289991
	3,17	1,072836
	3,21	0,991573
	3,25	0,913511
	3,27	0,87568
	3,27	0,87568
	3,41	0,633262
	3,6	0,366967
	4,1	0,011189
	4,15	0,003111
	4,19	0,000249
	4,23	0,000587
	4,23	0,000587
	4,25	0,001956
	4,47	0,069813
	4,87	0,441191
		0,630789
		0,630789
	5,03	0,679342
	5,14	0,872771
	5,18	0,949109
	5,21	1,008462
	5,58	1,888487
	5,69	2,202916
	5,87	2,769636
	6,27	4,261013
	6,55	5,495378
	7,29	9,512427
	7,41	10,26704
	7,52	10,98407
	8,12	15,32114
	8,32	16,92682
X ср	4,205778	n=
Параметр s	1,801137
Xср-s*tα	-0,76896	Xmin>Xср-s*tα
Xср+s*tα	9,180517	1,58 > -0,76896 Xmin не является грубой ошибкой
tα(при а=0,01)	2,762	Xmax<Xср+s*tα
∑(xi-xср)	142,7401	8,32 <9,1805 Xmax не является грубой ошибкой
Xmin=	1,58
Xmax=	8,32
δ^2=	3,244093

 

Приложение 2. Интервальная таблица

Номер интервала
Границы интервалов	1,58;2,542	2,542;3,504	3,504;4,466	4,466;5,428	5,428;6,39	6,39;7,352	7,352;8,314
Длина интервала	0,962	0,962	0,962	0,962	0,962	0,962	0,962
Частота интервала
Относительная частота интервалов	0,25	0,204545	0,159091	0,181818	0,090909	0,045455	0,068182
Плотность относительной частоты =	0,259875	0,212625	0,165375	0,189	0,0945	0,04725	0,070875
Середина интервала	2,061	3,023	3,985	4,947	5,909	6,871	7,833
F**(x)	0,25	0,454545	0,613636	0,795455	0,886364	0,931818

Приложение 3. Точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии

№	Xi		(Xi-Xcр)^2
	1,58		6,422919
	1,95		4,684402
	1,99		4,512854
	2,14		3,898049
	2,17		3,780488
	2,24		3,51318
	2,25		3,475793
	2,29		3,328245		B	0,99
	2,29		3,328245		n
	2,35		3,112923		tb	2,7
	2,41		2,904802		m1	3,38845
	2,67		2,086141		m2	4,840246
	3,01		1,219584		a1	0,005
	3,07		1,090662		a2	0,995
	3,17		0,891793		t1	71,89234
	3,21		0,817845		t2	23,5836
	3,25		0,747097		δ1^2	1,990703
	3,27		0,712923		δ2^2	6,068466
	3,27		0,712923
	3,41		0,496106
	3,6		0,264554
	4,1		0,000206
	4,15		0,001271
	4,19		0,005723
	4,23		0,013375
	4,23		0,013375
	4,25		0,018402
	4,47		0,126488
	4,87		0,57101
			0,78438
			0,78438
	5,03		0,838419
	5,14		1,051962
	5,18		1,135615
	5,21		1,200454
	5,58		2,148136
	5,69		2,48268
	5,87		3,082315
	6,27		4,646836
	6,55		5,932402
	7,29		10,08477
	7,41		10,86132
	7,52		11,59847
	8,12		16,04525
	8,32		17,68751
			СТЕПЕНЬ(D2-D42;2)
X ср	4,1143478	δ^2=	3,180362	СУММ(D2;D42)/(41-1)
	СРЗНАЧ(B2;B42)	s=	1,783357	КОРЕНЬ(D44)

 

 

Приложение 4. Критерий Колмогорова

№	X	Y=(X-Xср)/S	Fo(x)	F*(x)	|F*(x)-Fo(x)|
	1,58	0,87724169	0,68689	0,022222	-0,66467	Xcp=
	1,95	1,0826717	0,726117	0,044444	-0,68167	S=	1,8011
	1,99	1,10488035	0,730207	0,066667	-0,66354	δ^2=	3,244
	2,14	1,18816279	0,74527	0,088889	-0,65638
	2,17	1,20481928	0,748229	0,111111	-0,63712
	2,24	1,24368442	0,755062	0,133333	-0,62173
	2,25	1,24923658	0,75603	0,155556	-0,60047
	2,29	1,27144523	0,759881	0,2	-0,55988
	2,29	1,27144523	0,759881	0,2	-0,55988
	2,35	1,3047582	0,765594	0,222222	-0,54337
	2,41	1,33807118	0,771232	0,244444	-0,52679
	2,67	1,48242741	0,794762	0,266667	-0,5281
	3,01	1,67120093	0,823262	0,288889	-0,53437
	3,07	1,70451391	0,828018	0,311111	-0,51691
	3,17	1,76003553	0,835762	0,333333	-0,50243
	3,21	1,78224418	0,838795	0,355556	-0,48324
	3,25	1,80445283	0,841792	0,377778	-0,46401
	3,27	1,81555716	0,843276	0,422222	-0,42105
	3,27	1,81555716	0,843276	0,422222	-0,42105
	3,41	1,89328744	0,85341	0,444444	-0,40897
	3,6	1,99877852	0,866445	0,466667	-0,39978
	4,1	2,27638665	0,896862	0,488889	-0,40797
	4,15	2,30414747	0,899602	0,511111	-0,38849
	4,19	2,32635612	0,901755	0,533333	-0,36842
	4,23	2,34856477	0,903874	0,577778	-0,3261
	4,23	2,34856477	0,903874	0,577778	-0,3261
	4,25	2,35966909	0,904921	0,6	-0,30492
	4,47	2,48181667	0,915887	0,622222	-0,29367
	4,87	2,70390317	0,933352	0,644444	-0,28891
		2,77608128	0,938379	0,688889	-0,24949
		2,77608128	0,938379	0,688889	-0,24949
	5,03	2,79273777	0,939496	0,711111	-0,22838
	5,14	2,85381156	0,943456	0,733333	-0,21012
	5,18	2,87602021	0,944844	0,755556	-0,18929
	5,21	2,8926767	0,945868	0,777778	-0,16809
	5,58	3,09810671	0,957293	0,8	-0,15729
	5,69	3,1591805	0,960285	0,822222	-0,13806
	5,87	3,25911943	0,964813	0,844444	-0,12037
	6,27	3,48120593	0,97337	0,866667	-0,1067
	6,55	3,63666648	0,978262	0,888889	-0,08937
	7,29	4,04752651	0,987687	0,911111	-0,07658
	7,41	4,11415246	0,988821	0,933333	-0,05549
	7,52	4,17522625	0,989779	0,955556	-0,03422
	8,12	4,508356	0,993844	0,977778	-0,01607
	8,32	4,61939926	0,994837		0,005163
				max	0,005163
				t	0,005163
				tα	0,23798
				0,23798
				Гипотеза принимается

 

Приложение 5. Критерий Пирсона

X	X+1	Xср	nj	Xср*nj	Xср-x	(Xср-x)^2*nj
1,58	2,542	2,061		22,671	2,6257	75,8373054
2,542	3,504	3,023		27,207	1,6637	24,9110792
3,504	4,466	3,985		27,895	0,7017	3,44668023
4,466	5,428	4,947		39,576	-0,2603	0,54204872
5,428	6,39	5,909		23,636	-1,2223	5,97606916
6,39	7,352	6,871		13,742	-2,1843	9,54233298
7,352	8,314	7,833		23,499	-3,1463	29,6976111
			x=	4,2057	δ^2=	3,244
l	f	pj*	npj*	(nj-npj*)^2/npj*	∑(nj-npj)^2/npj
0,962	0,098836	0,095080463	4,18354	11,106412	17,781257
0,962	0,115071	0,110698381	4,870729	3,5006837
0,962	0,122694	0,118031852	5,193401	0,628451
0,962	0,119809	0,115256424	5,071283	1,6913641
0,962	0,107143	0,103071602	4,53515	0,0631481
0,962	0,08775	0,084415244	3,714271	0,7911982
0,962	0,065817	0,063315597	2,785886	0,0164561
	НОРМРАСП(C2;E10;G10;0)	A12*B12	46*C12	СТЕПЕНЬ((D2-D12);2)/D12	СУММ(E12:E18)
	t=	17,781257		tα	13,2767
				t >tα Гипотеза не принимается