Решением волнового уравнения

является уравнение любой волны, например

сферической:

или плоской:

Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, волновое уравнение упрощается:

Напоминаю, что D =

оператор Лапласа:

Скорость звука в твёрдых телах. В неограниченной твёрдой среде распространяются продольные и сдвиговые (поперечные) упругие волны. В изотропном твёрдом теле фазовая скорость для продольной волны

для сдвиговой волны

где Е - модуль Юнга, G - модуль сдвига, - коэф. Пуассона, К - модуль объёмного сжатия. Скорость распространения продольных волн всегда больше, чем скорость сдвиговых волн, причём обычно выполняется соотношение . Значения сl и ct для нек-рых изотропных твёрдых тел приведены в табл. 3.

Табл. 3- Скорость звука в некоторых изотропных твёрдых телах

В монокристаллах С. з. зависит от направления распространения волны в кристалле (см. Кристаллоакустика).В тех направлениях, в к-рых возможно распространение чисто продольных и чисто поперечных волн, в общем случае имеется одно значение сl и два значения ct. Если значения ct различны, то соответствующие волны иногда наз. быстрой и медленной поперечными волнами. В общем случае для каждого направления распространения волны в кристалле могут существовать три смешанные волны с разными скоростями распространения, к-рые определяются соответствующими комбинациями модулей упругости, причём векторы колебат. смещений частиц в этих трёх волнах взаимно перпендикулярны. В табл. 4 приведены значения С. з. для нек-рых монокристаллов в характерных направлениях.

Во мн. веществах С. з. зависит от наличия посторонних примесей. В полупроводниках и диэлектриках С. з. чувствительна к концентрации примесей; так, при легировании полупроводника примесью, увеличивающей число носителей тока, С. з. уменьшается с увеличением концентрации; при увеличении темп-ры С. з. слабо увеличивается.

В металлах и сплавах С. з. существенно зависит от предшествующей механической и термообработки: прокат, ковка, отжиг и т. п. Частично это явление связано с дислокациями, наличие к-рых также влияет на С. з.

Табл. 4 - Скорость звука в некоторых монокристаллах

В металлах, как правило, С. з. уменьшается с ростом темп-ры. При переходе металла в сверхпроводящее состояние характер зависимости иной: величина дс/дТ в точке перехода меняет знак. В сильных магн. полях проявляются нек-рые эффекты в зависимости С. з. от магн. поля, к-рые отражают особенности поведения электронов в монокристалле металла. Так, при распространении звука по нек-рым направлениям в кристалле появляются осцилляции С. з. как ф-ции магн. поля. Измерения зависимости С. з. от магн. поля являются чувствит. методом исследования внутр. структуры металлов.

В пьезоэлектриках и сегнетоэлектриках наличие электромеханич. связи приводит к уменьшению модулей упругости и, следовательно, уменьшает С. з.

Аналогичное явление наблюдается и в магнитострикционных материалах, где наличие магнитоупругой связи приводит, кроме того, к появлению заметной зависимости С. з. от напряжённости магн. поля, обусловленной т. н. -эффектом, т. е. зависимостью модуля Юнга Е от величины магн. поля Н. Изменения С. з. с ростом Н могут достигать неск. процентов (иногда до десятков процентов). Такая же зависимость С. з. от напряжённости электрич. поля наблюдается в сегнетоэлектриках. При действии на твёрдое тело статич. моханич. напряжений С. з. зависит от величины этих напряжений, что является следствием отклонения от линейного закона Гука.

В ограниченных твёрдых телах кроме продольных и поперечных волн имеются и др. типы волн. Так, вдоль свободной поверхности твёрдого тела или вдоль границы его с др. средой распространяются поверхностные акустические волны, скорость к-рых меньше скорости объёмных волн, характерных для данного материала. Для пластин, стержней и др. твёрдых акустич. волноводов характерны нормальные волны,скорость к-рых определяется не только свойствами вещества, но и геометрией тела. Так, напр., С. з. для продольной волны в стержне сст, поперечные размеры к-рого много меньше длины волны звука, отличается от С. з. в неограниченной среде сl (табл. 3):

Методы измерения С.з. можно подразделить на резонансные, интерферометрические, импульсные и оптические (см. Дифракция света на ультразвуке).Наиб. точности измерения достигают с помощью импульсно-фазовых методов. Оптич. методы дают возможность измерять С. з. на гиперзвуковых частотах (вплоть до 1011-1012 Гц). Точность абс. измерений С. з. на лучшей аппаратуре ок. 10-3 %, тогда как точность относит. измерений порядка 10-5 % (напр., при изучении зависимости с от темп-ры или магн. поля пли от концентрации примесей или дефектов).

Измерения С. з. используются для определения мн. свойств вещества, таких, как величина отношения теплоёмкостей для газов, сжимаемости газов и жидкостей, модулей упругости твёрдых тел, дебаевской темп-ры и др. (см. Молекулярная акустика). Определение малых изменений С. з. является чувствит. методом фиксирования примесей в газах и жидкостях. В твёрдых телах измерение С. з. и её зависимости от разл. факторов (темп-ры, магн. поля и др.) позволяет исследовать строение вещества: зонную структуру полупроводников, строение поверхности Ферми в металлах и пр.

Упругие волны в стержне.

1. волновое уравнение.

В предыдущем параграфе мы рассмотрели математическую сторону волнового уравнения. В этом же параграфе я хотел бы на конкретном примере рассмотреть как работает тот математический аппарат.

Применим второй закон Ньютона и закон сложения сил к движению куска стержня, заключенного между двумя плоскостями x и х+ х. Масса этого куска равна р 0 S 0 х, где р 0 и S 0 – соответственно плотность и сечение в отсутствие деформации. Пусть – смещение центра тяжести рассматриваемого куска. Тогда

слева стоит произведение массы куска на ускорение д 2 / д t 2 его центра тяжести, справа – результирующая внешних сил, действующая на кусок.

Разделим уравнение на S 0 :

(2.7)

Перейдя к пределу при , получим уравнение

(2.8)

справедливое в каждой точке стержня. Оно указывает, что ускорение данной точки пропорционально частной производной напряжения по ж в этой точке.

Подставляя в (2.8) соотношение (2.7), получим:

(2.9)

Вспомнив теперь формулу, содержащую определение деформации, и подставив ее в (2.9), получаем:

(2.10)

Это—волновое уравнение. Оно указывает, что смещение распространяется но стержню в виде волн

(2.11)

или образует суперпозицию таких волн. Скорость распространения этих волн (скорость звука в стержне)

(2.12)

(мы опускаем для краткости индекс 0 у р). Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал. Формула (2.12)— одна из основных формул акустики.

Наряду со смещением нас интересуют скорость v = , с которой

.движутся отдельные плоскости х = const (не смешивать с u), деформация и напряжение . Дифференцируя (2.11) по t и но x, получаем:

v= uf’(x ut) (2.13a)

=f"(x ut), (2.13 б)

=Ef’ (x ut). (2.13в)

Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряжение распространяются в виде связанных определенным образом между собой недеформирующихся волн, имеющих одну и ту же скорость и одинаковое направление распространения.

На рис. 5 показан пример “моментальных снимков”, относящихся к одному и тому же моменту времени, смещения, деформации и скорости в одной и той же упругой волне. Там, где смещение имеет максимум или минимум, деформация и скорость равны нулю, так как они обе пропорциональны производной f"{x ut). Физическая интерпретация здесь очевидна: около максимума или минимума смещения соседние (бесконечно близкие) точки одинаково смещены и, следовательно, нет ни растяжения, ни сжатия; в тот момент, когда смещение достигает максимума (минимума), его возрастание сменяется убыванием (или наоборот).

Сравнивая формулы (2.13а), (2.13в) и принимая во внимание (2.12) мы видим, что

(2.14)

где

(2.15)

есть величина, не зависящая от вида функции f и целиком определяемая свойствами материала. Эта величина называетсяудельным акустическим сопротивлением материала. Она является, как мы видим, наряду с u его важнейшей акустической характеристикой. Название величины связано с формальной аналогией между уравнениями (2.14) и законом Ома (раналогично разности потенциалов, v - силе тока).

 

 

34

Уравнение колебаний струны

Решение уравнения свободных колебаний струны, закрепленной на концах.