Определение ускорения свободного падения

Определение ускорения свободного падения

С помощью оборотного и математического маятников

ЦЕЛЬ: ознакомиться с закономерностями колебаний математического и физического маятника и с одним из способов определения ускорения свободного падения.

ОБОРУДОВАНИЕ: оборотный (физический) и математический маятник,
секундомер.

 

 

Основные теоретические сведения

 

Колебаниями называют процессы, в той или иной степени повторяющиеся по времени.

 

Свободными, или собственными, называют такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе.

Вынужденными называют колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

 

Гармоническими называют колебания, в которых величина x изменяется по закону:

либо ,

 

где А – амплитуда – наибольшее отклонение системы от положения равновесия,

w – угловая частота колебаний – число колебаний за 2p секунд,

– фаза колебаний, j_о – начальная фаза,

Т =2p/w – период колебаний – время одного полного колебания, за которое фаза получает приращение 2p,

n=1/ Т = 2p/w – частота колебаний – число колебаний за единицу времени.

 

Гармонические колебания происходят в системе, в которой действуют только квазиупругие силы. Квазиупругая сила – сила, независимо от своей природы изменяющаяся по закону

F_x= – kx,

 

где k – коэффициент упругости (жёсткость системы) или другой коэффициент пропорциональности между силой и смещением x;

x – смещение колеблющейся системы от положения равновесия.

Описание установки

 

Рис. 1

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити. Достаточно хорошее приближение – массивный шарик, подвешенный на длинном стальном подвесе. Физический маятник – любое тело, имеющее ось вращения не проходящую через центр его масс. В нашем случае это стальная полоса 1 переменного сечения, на протяжении которого имеется несколько отверстий, с помощью которых маятник крепят на ось вращения. На одном конце имеется отверстие 2, а на другом ряд отверстий 3, расположенных на равном расстоянии друг от друга. Это позволяет получать физический маятник с различными периодами колебаний. Изменить положение центра масс маятника можно с помощью дополнительного груза 4.

Описание метода измерений

В большинстве методов измерения ускорения свободного падения g используется зависимость периода T колебаний маятника от величины g, так как период колебаний можно измерить с высокой точностью.

Для математического маятника

, (1)

где l – длина маятника.

Оборотный маятник является физическим, и период его колебаний

 

, (2)

где I – момент инерции маятника относительно точки подвеса,

I _с – момент инерции относительно центра масс,

m – масса маятника,

l _c – расстояние от центра масс маятника до точки подвеса.

Для физического маятника не удаётся измерить с той же точностью, как период Т, необходимые для расчёта g величины I, l _c. Поэтому разработан метод, позволяющий с помощью оборотного маятника исключить эти величины из расчётной формулы (и в том его достоинство). Допустим, что удалось найти такое положение осей вращения, что периоды колебаний маятника относительно этих осей совпадают: Т ₁= Т ₂= Т _о. Тогда с учётом формулы (2) получим:

; . (3)

Здесь l ₁ и l ₂ – расстояния от первой и второй осей до центра масс маятника, а их сумма l ₁+ l ₂= l _o есть расстояние между осями, которое можно измерить достаточно точно.

Исключая из уравнений (3) величину I _c, получаем расчётную формулу для ускорения g:

. (4)

Этот метод позволяет с высокой точностью определить величину g, если найти такое расположение осей на стержне, при котором периоды колебаний маятника совпадают (Т не изменяется при смене оси, поэтому маятник и называется оборотным).

Задание 1. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

1. Приведите маятник в движение, отклонив его на 5…10^о от положения равновесия. Измерьте время пяти полных колебаний. Запишите длину маятника.

Таблица 1

, м	, с		, с

2. По формуле (1) рассчитайте ускорение свободного падения.

3. Оцените погрешность определения g, сравнив найденное значение с табличным для Нижнего Тагила (g =9,8172 м/с²).

 

Задание 2. Определение ускорения свободного падения

с помощью оборотного маятника

 

1. Повесьте маятник на отверстие (2), расположенное вблизи конца стержня.

2. Отклоните маятник на 5…10^о от положения равновесия и отпустите. Измерив время t для N (пяти) колебаний, определите период Т ₁ колебаний. Результаты запишите в табл. 2.

Примечание. Если секундомер включается и выключается вручную, то измеряйте время десятиколебаний.

 

Таблица 2

с	с	№	м	с	с	N =
				см     с

3. Снимите маятник и измерьте расстояние l между центрами отверстия (2) и крайним из отверстий (3).

4. Повесьте маятник на крайнее из отверстий 3. Измерьте время t _c для 5 (или 10)колебаний и определите период колебаний Т ₂.

5. Повторите измерение l и периода Т ₂ ещё несколько раз, перемещая ось каждый раз на 1 отверстие. Период колебаний Т ₁ при этом не изменяется. Чтобы убедиться в этом, проведите его измерение в конце опыта.

 

6. Постройте график (рис. 2) зависимости периодов колебаний Т 1 и Т 2 от расстояния между осями. Определите координаты Т 0 и l 0 точки пересечения графиков. l 0и есть то самое расстояние между призмами, при котором периоды колебаний оборотного маятника вокруг осей, проходящих через первую и вторую призму, одинаковы, т. е. Т 1= Т 2= Т 0.

7. Рассчитайте среднее значение по формуле (4).

8. Оцените точность определения этого значения g, полагая, что для него относительная случайная погрешность согласно расчётной формуле (4) . Точность же определения координаты точки пересечения двух линий определяется, как минимум, их толщиной h, а это означает, что равна отношению h к длине оси Т.

9. Запишите результат в виде интервала, в котором :

.

10. Оцените отклонение найденной величины g от табличного значения для Нижнего Тагила (g =9,8172 м/с²); если оно заметно выше, чем найденная случайная погрешность D _g, укажите причины систематической погрешности.

12. В выводе сделайте анализ возможностей измерения различных физических величин с помощью механических колебаний.

 

Построение графиков

1. Выбор координатных осей. График выполняют на листе миллиметровой бумаги. По горизонтальной оси принято откладывать аргумент, т. е. величину, значение которой задаёт сам экспериментатор, а по вертикальной оси – функцию. В конце каждой оси указывают символ величины, десятичный множитель и единицу величины. При этом множитель 10^±n, как и в таблицах, позволяет опустить нули при нанесении делений, например, позволяет писать 1, 2, 3... вместо 0,001; 0,002 Н и т.д., указав в конце оси 10^–3 Н, или мН.

2. Выбор интервалов. Интервалы изменения переменных на каждой оси выбирают независимо друг от друга так, чтобы график занял всё поле чертежа. Для этого границы интервалов берут близкими к наименьшему и наибольшему из измеренных значений. Подчеркнём, что интервал на оси совсем не обязательно начинать с нуля. Нулевую точку помещают на график лишь в том случае, если она близка к экспериментально исследованной области (рис. 1) или если необходима экстраполяция на нулевое значение.

3. Выбор масштабов и шкал. Масштаб должен быть простым и удобным для нанесения точек и чтения графика. Предпочтительнее масштабы, в которых за единицу масштаба принимают отрезок оси, кратный 10 или 50 мм, что позволяет легко отсчитывать доли отрезка. Такому отрезку соотносят "круглое" число (1, 2, 5) единиц измеряемой величины (см. табл. 2). Деления шкалы на каждой оси подбирают независимо, в соответствии с масштабом, причём, надписи делений наносят вдоль всей оси. Чтобы шкала легче читалась, достаточно указать на ней от 3 до 5 делений с числами.

Таблица 2

Пригодность масштабов

Кратность	Пригодность
	Самый удачный
	Возможный
4 и 2	Не лучшие
	Категорически не рекомендуем

 

4. Нанесение точек. Опытные данные наносят на поле графика в виде чётких значков, не подписывая их численные значения – они даны в таблице. Разные значки (светлые и тёмные кружки, треугольники и др.) используют для обозначения данных, относящихся к различным условиям опыта.

5. Проведение экспериментальной кривой. Кривую проводят плавнойнепрерывной линией. Такой характер типичен для физических зависимостей. Опытную кривую проводят так, чтобы точки располагались равномерно по обе стороны кривой и как можно ближе к ней. Если вид зависимости известен из теории, то проводят эту теоретическую кривую. В случае линейной зависимости прямую проводят через среднюю точку (на рис. 2 она в рамке), координаты которой вычисляют по формулам:

; , (7)

где N –число опытных точек на графике.

6. Заголовок графика – это названиие изучаемой зависимости, в котором поясняют символы переменных, указанные в конце осей (не принято писать в названии слово "график"). При необходимости в названии поясняют обозначения опытных точек и кривых. Заголовок принято располагать выше графика либо под графиком.

Примеры заголовков

1. Зависимость углового ускорения a маятника от момента силы M
(о – для шкива радиуса r ₁, n – для r ₂) (работа № 3).

Определение ускорения свободного падения