Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2018-01-07 | 339 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Ранее рассмотрели теоремы о пределах суммы, разности, произведения, частного, где пределы рассмотренных компонент существовали и были конечны. Рассмотрим случаи, когда пределы бесконечны или случай, когда предел делителя равен нулю.
I. Неопределенность вида
Пусть
1) Пусть рациональная дробь (отношение двух многочленов).
Выделить множитель и сократить дробь на него. Такое сокращение возможно, т.к. но , т.е.
Пример 9.1.
2) Пусть дробь, содержащая иррациональные выражения.
«Избавиться» от иррациональности, домножив числитель и знаменатель на соответствующее сопряженное выражение.
Пример 9.2.
3) Для раскрытия неопределенности , содержащей тригонометрические выражения, применяют 1-й замечательный предел.
II. Неопределенность вида
Для того, чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на наибольшую степень переменного.
Пример 9.3.
Пример 9.4.
Пример 9.5.
Замечание. , ,
III. Неопределенность вида
Неопределенность вида преобразуется к неопределенности вида или путем умножения и деления на сопряженную величину или приведения к общему знаменателю.
Пример 9.6.
Пример 9.7.
IV. Неопределенность вида
Неопределенность вида сводится к неопределенности или .
Пример 9.8.
Первый признак существования предела
def. Переменная (числовая последовательность ) называется
· неубывающей, если
· возрастающей, если
· невозрастающей, если
· убывающей, если
Возрастающие и убывающие переменные называются монотонными.
def. Переменная называется ограниченной сверху, если все ее значения не превосходят некоторого числа M, т.е.
|
def. Переменная называется ограниченной снизу, если
Теорема. Первый признак существования предела
Если переменная возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел.
Если переменная убывает и ограничена снизу, то она имеет конечный предел.
Второй признак существования предела переменной
Теорема (о сжатой переменной). Если для переменных выполняется неравенство , и при этом , то .
Доказательство:
Первый замечательный предел
Функция не определена при .
Рассмотрим и докажем, что
первый замечательный предел.
Доказательство:
Пример 12.1.
Пример 12.2.
Второй замечательный предел
Рассмотрим переменную
…………………….
Значения возрастают. Можно доказать, что
Переменная возрастает и ограничена сверху. По 1-му признаку существования переменной существует предел , а именно
.
Логарифмы по основанию е называются натуральными и обозначаются
Докажем, что второй замечательный предел.
Неопределенность вида .
Доказательство.
и принимает целые и дробные, положит-ые и отрицат-ые значения.
Рассмотрим случай, когда . Для любого положительного числа имеет место неравенство (*) (можно считать, что
Перейдем к обратным величинам
прибавим по 1,
или .
Возведем в степени с показателями из (*). Неравенство усилится
Найдем пределы крайних членов неравенства ().
По теореме о сжатой переменной
Можно доказать, что
Таким образом, второй замечательный предел.
Положим тогда . Если то
другая форма второго замечательного предела.
Пример 13.1.
Пример 13.2.
Пример 13.3.
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!