Понятие бинарной алгебраической операции

АЛГЕБРА

(ЧАСТЬ 1)

 

Материалы для практических занятий

и самостоятельной работы

для студентов факультета МиИТ

 

 

Курган 2013

 

 

Кафедра: «Алгебры, геометрии и методики преподавания

математики»

 

Дисциплины: «Алгебра»

(направления 010100.62 «Математика»; 050100.62)

 

Составили: канд. физ.-мат. наук О.Н. Шатных.

 

Утверждены на заседании кафедры «19» ноября 2013 г.

 

 

Рекомендованы методическим советом университета

«23» декабря 2013 г.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение……………………………………………………………………………...4

Раздел 1 Алгебры………………………………………………………………….…5

Тема 1 Понятие алгебры…………………………………………………………….5

1 Понятие бинарной алгебраической операции…………………………………...5

2 Свойства бинарной алгебраической операции…………………………………..5

3 Виды алгебр. ………………………………………………………………………7

Тема 2 Поле комплексных чисел………………………………………………….10

1 Алгебраическая форма комплексного числа…………………………………...11

2 Геометрическая форма комплексного числа…………………………………...13

3 Тригонометрическая форма комплексного числа……………………………...14

3.1 Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме………………………………………………………..15

3.2 Формула Муавра………………………………………………………………..15

3.3 Извлечение корней n-ой степени из комплексного числа…………………...15

4 Двучленные уравнения…………………………………………………………..17

5 Геометрическое решение уравнений……………………………………………18

Раздел 2 Матрицы и определители……………………………….........................19

Тема 1 Матрицы. Определение матрицы, виды матриц, действия над матрицами.…………………………………………………….……………………19

Тема 2 Определители. Перестановки из n элементов. Подстановки n-ой степени. Определение определителя n-го порядка. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца. Следствие из неё……………..……………………………...23

Тема 3 Обратная матрица. Вырожденные и невырожденные матрицы. Обратная матрица и ее вычисление. Матричные уравнения……………………………….27

Раздел 3 Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений…………………………………………………………………………...29

Тема 1 Решение системы n – линейных уравнений с n неизвестными в матричном виде…………………………………………………………………….29

Тема 2 Правило Крамера………..…………………………………………………32

Тема 3 Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).....33

введение

 

Настоящие материалы составлены в соответствии с программой дисциплины «Алгебра» и предназначены для студентов направлений «Математика» и «Педагогическое образование» профиля «Математическое образование».

Разделы «Алгебры», «Поле комплексных чисел», «Матрицы и определители», «Системы линейных уравнений» изучаются в первом семестре. В данной брошюре представлены все темы раздела, которые выносятся на практические занятия. Для каждой темы указаны основные теоретические положения, приведены образцы решения типовых задач и список задач для решения.

 

Раздел 1 Алгебры

Тема 1 Понятие алгебры

Понятие бинарной алгебраической операции

Определение. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется правило (закон), по которому любым двум элементам из М, взятым в определенном порядке (т.е. паре (а,b)), ставится в соответствие единственный элемент с из этого же множества.

Пример. 1 Операция сложения на множестве чисел N, Z, Q, R.

2 Операция умножения на множестве чисел N, Z, Q, R.

 

Задачи для решения

 

1 Какие из арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) являются бинарными операциями:

а) на множестве {1,0,-1};

б) на множестве N;

в) на множестве Z?

2 Является ли бинарной операцией:

а) умножение на множестве иррациональных чисел;

б) сложение на множестве четных чисел;

в) сложение на множестве нечетных чисел;

г) нахождение десятичных логарифмов на множестве ;

д) нахождение среднего геометрического двух чисел на множестве ;

е) нахождение наибольшего общего делителя на множестве N?

3 Являются ли действия, выполняемые по формулам:

а) a ◦ b = (a + b)²;

б) a ◦ b=

в) a ◦ b =

бинарными операциями на множестве Q, и если являются, то почему?

4 Являются ли алгебраической системой множество чисел вида относительно: а) сложения; б) вычитания; в) умножения?

5 Является ли алгебраической системой множество радиусов-векторов, исходящих из начала декартовой системы координат и расположенных в первой четверти координатной плоскости, с операцией: а) сложение векторов; б) вычитание векторов?

 

Задачи для решения

1 Являются ли коммутативными и ассоциативными на множестве Z бинарные операции сложения, умножения и вычитания?

2 Докажите, что на множестве бинарная операция а ◦ b = нахождения среднего геометрического коммутативна, но не ассоциативна.

3 Обладает ли множество чисел вида а + b , где a и b – любые целые числа, нейтральным элементом относительно обычного умножения? Проверьте, имеются ли в данной алгебраической системе обратные элементы для элементов 2 + и 5 - 2 . Обратима ли на данном множестве операция умножения?

4 Какие из нижеприведенных бинарных операций:

а) a ◦ b = ;

б) a ◦ b = c, где с – наибольший общий делитель чисел а и b;

в) a ◦ b = m, где m – наименьшее общее кратное чисел а и b, коммутативны и какие ассоциативны на множестве N.

5 Покажите, что действие выполняемое по правилу a ◦ b = , является коммутативной, но не ассоциативной бинарной операцией на множестве R.

6 Докажите, что относительно обычного умножения множество А={x x=3k, k Z} не содержит нейтрального элемента. Обратима ли операция умножения на множестве А?

7 Пусть I – множество подмножеств некоторого непустого множества М. Существует ли в I нейтральный элемент (если существует, то какой) относительно операции объединения подмножеств на I; пересечения подмножеств? Какие элементы множества I имеют симметричные относительно операций объединения и пересечения? Обратимы ли указанные операции на множестве I?

8 Докажите, что на множестве Q действие, выполняемое по правилу a◦b = = является бинарной, коммутативной, ассоциативной, но необратимой операцией. Обладает ли алгебраическая система < Z; ◦ > нейтральным элементом, и если обладает, то каким именно?

 

Виды алгебр

Определение. Алгеброй называется любое непустое множество А, на котором задана некоторая система операций

S = {

Обозначается (А, S), где А – множество, S – система операций.

Пример. (N, +), (Q, +, ∙)

Определение. Непустое множество М называется полугруппой, если в нем выполнима одна бинарная алгебраическая операция, которая является ассоциативной.

Пример. (N, +), (Z, ∙).

Определение. Непустое множество G называется группой, если в этом множестве выполнима одна бинарная алгебраическая операция ◦, которая обладает свойствами:

1) ◦ (b ◦ c) = ( ◦ b) ◦ c,

2) ◦ e = e ◦ = ;

3) ◦ ʹ = ʹ ◦ = e.

Группы по сложению называются аддитивными; группы по умножению – мультипликативными.

Определение. Непустое множество G называется группой, если в этом множестве выполнима одна бинарная алгебраическая операция, которая является ассоциативной и обратимой.

Определение. Если в группе G операция коммутативна, то группа G называется абелевой.

Определение. Непустое множество К называется кольцом, если в нем выполнимы две бинарные алгебраические операции – сложение и умножение, удовлетворяющие условиям:

1)

2)

3)

4)

5)

Примеры колец. При обычных операциях сложения и умножения кольцом является множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество действительных чисел.

Определение. Непустое множество Р называется полем, если в нем выполнимы две бинарные алгебраические операции сложение и умножение, удовлетворяющие аксиомам:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Пример 1 Доказать, что на множество Z образует группу относительно действия, заданного формулой

◦

Доказательство

1 Рассматриваемое на Z действие сводится к сложению или вычитанию целых чисел, а т.к. сложение и вычитание элементов из Z дает в результате элемент из Z, то на множестве Z рассматриваемое действие является бинарной операцией.

2 Проанализируем возможные случаи

a) Если a, b – четные числа, а с – любое число из Z, то

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

б) Если a – четное число, b – нечетное, а с – любое число из Z, то

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

в) Если a – нечетное число, b – четное, а с – любое число из Z, то нечетно и потому

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

г) Если a, b – нечетные числа, а с – любое число из Z, то четно и потому

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

Итак, во всех возможных случаях заданная на Z бинарная операция является ассоциативной.

3 Т.к. 0 – четное число, то 0 ◦ Кроме того, если , то ◦ 0 = если же нечетно, то ◦ 0 = . Итак, 0 ◦ ◦ 0, т.е. 0 является в Z нейтральным элементом относительно заданной операции.

4 Для любого элемента в Z существует обратный элемент: для четного обратным будет противоположное число , т.к. ◦ = ; для нечетного обратным будет само число , т.к. ◦ = .

Итак, Z является группой относительно заданной операции.

 

Задачи для решения

 

1 Является ли множество Z полугруппой относительно: а) сложения, б) вычитания?

2 Является ли множество N полугруппой относительно операции нахождения наибольшего общего делителя?

3 Почему множество R не является полугруппой относительно действия, выполняемого по правилу ◦ b = для любых , b

4 Выясните, какие из нижеприведенных множеств являются группами относительно нижеуказанных операций:

а) множество Z относительно вычитания;

б) множество четных чисел относительно умножения;

в) множество целых чисел, кратных любому заданному натуральному числу n, относительно сложения;

г) множество относительно умножения;

д) множество Q относительно умножения;

е) множество Q \ {0} относительно умножения;

ж) множество R \ {0} относительно умножения;

з) множество трехмерных (n-мерных) арифметических векторов относительно сложения;

и) множество чисел вида а + b относительно сложения, если а и b – любые рациональные числа;

к) множество многочленов одной и той же степени n от одного аргумента относительно сложения;

л) множество многочленов степени не выше n относительно сложения;

м) множество многочленов от одного аргумента относительно сложения;

5 На множестве Q {0} определено действие ◦ b = . Докажите, что относительно указанного действия данное множество является группой.

6 Является ли кольцом множество L чисел вида относительно обычных операций сложения и умножения?

7 Докажите, что если на Z задана операция a ʘ b = -ab, то алгебраическая система <Z; +, ʘ> является коммутативным кольцом с единицей. Каков единичный элемент этого кольца?

8 Докажите, что множество А чисел вида 2а + 2b где a, b – любые целые числа, является числовым кольцом.

9 Для каких чисел n = 2, 3, 4, 5, 6, 7 существует поле из n элементов?

10 Почему кольцо {0} не является полем?

11 На множестве М = {a, b} сложение и умножение определены следующим образом:

Выясните, обладает ли это множество нулем и единицей и является ли система <M, > полем относительно заданных бинарных операций.

Задачи для решения

 

1 Вычислить в алгебраической форме:

а) (3 + 6 i) + (- 3 - 5 i),

б) (- 9 - 4 i) + (- 2 - 3 i),

в) (- 3-i)³,

г) (1 + 6 i) + (1 - 6 i)² - (4 + i)³ + (- 4 + i),

д) (7 + 4 i)² + + (5 + i) ∙ (5 - i),

е) (1+ i)³ + (6 + 4 i) ∙ (- 6 + 4 i),

ж) (2 + 3 i) + (5 - 3 i),

з) ,

и) ,

к) ,

л) - (9 - i) ∙ (7 + 2 i) ∙ (7 + 3 i) - .

 

2 Решить уравнение в действительных числах:

а) (2 x - 5 yi) + (3 y + 2 xi) = 13 - i,

б) 7 (3 x + 2 yi) + (2 y - i) = 19 + 3.

3 Найти z, если:

а) z ∙ (2 + i)=15, б) (2 + 2 i) ∙ z = 8 i.

4 Доказать равенство:

.

5 Вычислить:

а) ;

б) .

 

Задачи для решения

 

1 Записать комплексные числа, сопряженные данным. Изобразить данные и сопряженные к ним комплексные числа точками на плоскости:

а) 1+ i; б) 4 - 7 i; в) 3;

г) 3 i; д) -1- 3 i; е) 3 + 6 i;

ж) - 3 - 5 i; з) 2 + 3 i; и) - 9 - 4 i; к) 15- i.

 

Формула Муавра

 

При любом натуральном n

= = ,

или

=

– это так называемая формула Муавра позволяющая находить целую степень комплексного числа.

 

Задачи для решения

1 Записать данные комплексные числа в тригонометрической форме, определив их модули и аргументы:

a) z = 2 + 2 i, б) z = + i,

в) z =1- i, г) z = -4,

д) z = 3 i, е) z = -2 i.

ж) z = -10; з) z = 6-6i;

и) z = -1 i; к) z =1 i.

2 Найти произведение и частное комплексных чисел и в тригонометрической форме:

а)

б)

3 Вычислить:

а) + б) ;

в) г)

д) ж) ;

з) и)

к) ; л) ;

м) н)

о)

4 Найти значения при n = 2, 3, 4, 6.

 

Двучленные уравнения

Определение. Уравнения вида называются двучленными, где

Решение этого уравнения находится в виде:

.

Решение двучленных уравнений сводится к извлечению корней n-ой степени из комплексных чисел.

Пример Решить уравнение = 0.

Решение

Перепишем уравнение в виде будем рассматривать 32 как комплексное число и представим его в тригонометрической форме:

.

Теперь по правилу извлечения корня из комплексного числа найдем

где k следует придать значения 0, 1, 2, 3, 4. Получим пять корней нашего уравнения:

Уравнение имеет один действительный корень и четыре комплексных.

Задачи для решения

1 Решить уравнения:

а) б)

в) г)

д) е) 8

ж) 16 з)

и) - ; к) 3

 

Задачи для решения

1 Найти решение систем:

Действия над матрицами

I Суммой матриц A + B называется матрица , элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и B, т. е. c_ij = a_ij + b_ij.

Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковой размерности (число строк и столбцов у них должно быть одинаково).

Пример 1: , .

Решение:

II Произведением матрицы А на число λ называется матрица В, которая получается из матрицы А умножением всех ее элементов на λ, т.е.

Пример 2: , .

.

III Разность двух матриц одинаковой размерности можно определить через операцию сложения матриц и через умножение матрицы на число:

Пример 3: , .

Решение: .

VI Матрицу можно умножить на матрицу тогда и только тогда, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй. При этом получается матрица, имеющая столько строк, сколько в первой, и столько столбцов, сколько во второй.

Произведением двух матриц и называется матрица , элементы которой вычисляются по правилу умножения ой строки матрицы на ый столбец матрицы .

Пример: Умножить матрицу А на матрицу В:

 

Задачи для решения

 

1 Найти сумму матриц A и B:

a) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , ;

е) , ;

2 Умножить матрицу A на число :

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , ;

д) , ; е) , ;

3 Найти разность матриц A и B:

a) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , ;

e) , ;

4 Найдите произведение матриц A и B:

a) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , ;

е) , .

 

 

5 Даны матрицы:

, ,

Найти: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ;

6 Выполните действия:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

7 Найти значение многочлена от матрицы А:

а) ; ;

б) ; .

 

Тема 2 Определители. Перестановки из n элементов. Подстановки n-ой степени. Определение определителя n-го порядка. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца. Следствие из неё

Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. Число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно .

Если в некоторой перестановке мы поменяем местами какие-либо два символа, а все остальные символы оставим на месте, то мы получим новую перестановку. Это преобразование перестановки называется транспозицией. И нверсию образуют два числа в перестановке, когда меньшее из них расположено правее большего.

Каждой перестановке можно сопоставить число инверсий в ней, которое подсчитывается следующим образом: для каждого из чисел определяют количество стоящих правее его меньших чисел, и полученные результаты складываются.

Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.

Произвольное взаимно-однозначное отображение множества первых натуральных чисел на себя называется подстановкой -го порядка. Подстановка может быть записана с помощью двух перестановок.

Пример перестановки: (1 2 3 4) (2 4 1 3);

Пример транспозиции: (1 2 3 4) (4 2 3 1);

Пример инверсии: перестановка (2 4 1 3) содержит три инверсии элементов 2 и 1, 4 и 1, 4 и 3.

 

Задачи для решения

 

1 Указать транспозиции, с помощью которых можно

а) от перестановки (10 1 2 8 7 4 3 6 9 5) перейти к перестановке (8 9 5 1 10 7 2 3 6 4)

б) от перестановки (9 5 1 8 3 7 4 6 2) перейти к перестановке (9 8 7 6 5 4 3 2 1)

в) от перестановки (2 4 6 … 2n 1 3 5… 2n-1) перейти к перестановке (2n 2n-1…. 4 3 2 1).

2 Найти число инверсий в следующих перестановках

а)(8 1 5 9 7 4 3 6 2);

б) (10 5 3 8 4 7 2 6 1 9);

в) музыка, если в качестве исходной принимается перестановка букв (а з к м у ы).

Определителем n-го порядка называется алгебраическая сумма n! членов, составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце, причем член берется с плюсом, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус - в противоположном случае.

Пусть дана квадратная матрица А второго порядка .

Определитель квадратной матрицы А второго порядка равен числу . Диагональ – главная, – побочная.

Пусть дана квадратная матрица А третьего порядка .

Определителем квадратной матрицы А третьего порядка называется число, равное

Минором называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием -ой строки и -го столбца.

Число называется алгебраическим дополнением к элементу a_ij.

Теорема 1 (разложение определителя по строке или столбцу):

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Теорема 2: Сумма произведений элементов некоторой строки квадратной матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Теорема 100: Определитель, в котором все элементы одной из строк (столбцов), кроме одного, равны нулю равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение.

Пример 1 Найти определитель матрицы A:

Решение:

 

Задачи для решения

 

1 Найдите определитель 2-го порядка:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

2 Найдите определитель 3-го порядка:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е)

ж) ; з) ; и) ;

к) л) м)

3 Найдите определитель 4-го порядка:

а)