Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2018-01-07 | 121 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Краткие теоретические сведения
Функция F (x) называется первообразной функцией функции f (x) на промежутке X, если для любого x из данного промежутка X верно равенство: F ¢(x) = f (x).
Неопределенным интегралом отфункции f(x) называется множество всех первообразных функций F (x) + C для функции f(x).
Записывают: .
Основные свойства неопределенного интеграла:
1.
2.
3.
4. ;
5. , где k R, k 0.
Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной): .
Метод интегрирования по частям: ;
Если существует конечный предел суммы при , не зависящей ни от способа разбиения отрезка [ a, b ] на части, ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f (x) на отрезке [ a, b ].
Обозначается: = , а – нижний предел, b – верхний предел интегрирования, х – переменная интегрирования, [ a, b ] – отрезок интегрирования.
Основные свойства определенного интеграла:
1) Для любых a, b, c верно ;
2)
3)
4) Если f (x) £ j (x) на отрезке [ a, b ] то
5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на отрезке [ a, b ], то: ;
6) Теорема о среднем. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то на
этом отрезке существует точка c такая, что .
Формула Ньютона – Лейбница: Если функция F (x) – какая - либо перво-образная от непрерывной функции f (x), то .
Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной):
, здесь j (a) = а, j (b) = b.
Метод интегрирования по частям:
Геометрический смысл определенного интеграла: Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.
Задания к расчетно-графической работе
Задание 5.1. Найдите неопределенные интегралы.
Вариант | Вариант | ||
а) ; б) ; в) ; г) ; д) . | а) ; б) ; в) ; г) ; д) . | ||
а) ; б) ; в) ; г) ; д) . | а) ; б) ; в) ; г) ; д) . | ||
а) ; б) ; в) ; г) ; д) . | а) ; б) ; в) ; г) ; д) . | ||
а) ; б) ; в) ; г) ; д) . | а) ; б) ; в) ; г) ; д) . | ||
а) ; б) ; в) ; г) ; д) . | а) ; б) ; в) ; г) ; д) . |
Задание 5.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
Вариант | Задание | Вариант | Задание |
Пример выполнения заданий по теме 5
Задание 5.1. Найдите неопределенные интегралы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е)
ж) ;
Решение.
а) Сделаем замену t = sinx. Тогда dt = cosxdt и:
=
б) Выполним замену: Получаем:
в) Воспользуемся методом интегрирования по частям:
г) Применим метод интегрирования по частям дважды:
д) Представим дробь в виде суммы простейших дробей.
Так как то = .
Тогда = . Откуда следует, что 2 x + 5 = A (x – 1) + + B (x + 3). Положим x = -3, тогда -1 = -4 A, то есть A = ; Положим x = 1, тогда 7 = 4 B, то есть B = . Следовательно, = . Тогда =
=
е) Для нахождения данного интеграла воспользуемся подстановкой t = . Тогда , откуда и . Таким образом, .
Так как под знаком интеграла получилась неправильная дробь , то разложим неправильную дробь на сумму правильной дроби и многочлена. Выполнив деление числителя на знаменатель, получим: = 2 - . Тогда . Сделав обратную замену t = , получим, что = .
ж) Для нахождения данного интеграла воспользуемся формулой:
sin sin = .
Тогда:
= = = = =
Задание 5.2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.
Решение.
График функции y = x – прямая, являющаяся осью симметрии первого и третьего координатных углов; график функции y = x2 - парабола с вершиной в точке (0;0), а графиком линии x = 2 является прямая, перпендикулярная оси абсцисс и проходящая через точку (2; 0).
Построим графики функций: y = x, y = x2, x = 2.
Искомая фигура заштрихована на рисунке:
Тогда
S = (ед2)
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!