История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2018-01-07 | 232 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Интегральное исчисление функций одной переменной.
Понятие неопределенного интеграла
Определение 3.5.1. Функция F (x) называется первообразной функцией для данной функции f (x) на данном промежутке, если на этом промежутке .
Теорема 3.5.1. Если F 1(x) и F 2(x) – две первообразные для функции f (x) на некотором промежутке, то разность между ними на этом промежутке равна постоянному числу.
Определение 3.5.2. Выражение F (x)+С, где F (x) – первообразная функции f (x) и С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом , причем f (x) называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования; – знак неопределенного интеграла.
Таким образом, по определению , если .
Теорема 3.5.2. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то на этом отрезке у функции f (x) существует первообразная.
Свойства неопределенного интеграла
1. или .
2. или .
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
.
4. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:
.
Таблица основных интегралов
1. ; | 5. ; | ||
2. ; | 6. ; | ||
3. ; | 7. ; | ||
4. ; | 8. ; | ||
9. ; | |||
10. ; | |||
11. ; | |||
12. ; | |||
13. . | |||
Пример 3.5.1. Приведем примеры непосредственного интегрирования.
1.
.
2.
Основные методы интегрирования
Замена переменной интегрирования
Делая подстановку х = φ (t), где φ (t) – функция, имеющая непрерывную производную, получим и
– формула замены переменной в неопределенном интеграле.
Пример 3.5.2. найдем подстановкой х = t 2. Тогда dx=2tdt и .
Иногда вместо подстановки х = φ (t) лучше выполнить замену переменной вида t=ψ (x).
|
Пример 3.5.3. Найти .
○ Полагая , получаем: ,
и
.●
Интегрирование по частям
Пусть u = u (x) и v = v (x) – непрерывно дифференцируемые функции, тогда – формула интегрирования по частям (произвольная постоянная интегрирования С здесь включена в слагаемое ).
Пример 3.5.4. Найти .
○ .●
Пример 3.5.5. Найти .
○ .●
Примечание. Иногда бывает необходимо повторное интегрирование по частям.
Пример 3.5.6. Найти .
○
●
Отметим три основных класса функций, интегралы от которых берутся по частям:
I | где – многочлен n -ой степени, n, k, α ÎN | Интегрирование по частям применять n раз. | |
II | – рациональная или иррациональная функция, в частности, º1. | Интегрирование по частям применять k раз. | |
III | u – любая из функций | Применяя двукратное интегрирование по частям получим линейное уравнение, относительно искомого интеграла. Из этого уравнения и находится данный интеграл. |
Замена переменной в определенном интеграле
Формула замены переменной в определенном интеграле:
,
где , α и β определяются из условий соответственно.
Пример 3.5.12. Вычислить .
○
●
Теорема 3.5.6. (Теорема о среднем) Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то в интервале (a; b) найдется такая точка с, что
.
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть u = u (x), v = v (x) – непрерывно дифференцируемые на отрезке [ a; b ] функции. Тогда
.
Несобственные интегралы
Интегралы с одним или обоими бесконечными пределами получили название несобственных интегралов первого рода. Здесь также, как при вычислении определенных интегралов, можно на практике использовать формулу Ньютона-Лейбница, однако следует помнить, что символ ∞ – не число, а условное обозначение неограниченного возрастания (или убывания) аргумента в процессе его изменения. То есть, со строгих позиций, вычисление несобственного интеграла первого рода – это вычисление некоторого предела, с постоянным использованием теорем о бесконечно малых и бесконечно больших величинах.
|
Таким образом:
;
;
.
То есть, символы бесконечности условно заменяются буквенными параметрами, применяется формула Ньютона-Лейбница, после чего обычным образом вычисляются указанные пределы. Если в результате такого расчета получится конечное число А (включая 0), то ответ следует записать в форме: интеграл сходится к значению А. Если же результатом будет +∞ (или –∞) или предел не существует, то ответ: интеграл расходится.
В практических вычислениях, вполне допустимо не использовать в явной форме операторы lim, но не следует забывать о том, что на самом деле вычисляются пределы, а не конкретные числовые значения.
Следующим видом несобственных интегралов являются интегралы от функций с разрывом на одном конце (или обоих концах) интервала интегрирования или с разрывом внутри интервала интегрирования. Например: , и т.п. Такие интегралы носят название несобственных интегралов второго рода. Эти интегралы очень опасны, т.к. часто выглядят вполне безобидно (по невнимательности забываем особые точки подынтегральной функции), но применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к неверным результатам.
Вычисление несобственных интегралов второго рода осуществляется приведением к интегралам первого рода (или сумме таких интегралов), то есть, ставится задача вычисления предела относительно точки, в которой подынтегральная функция разрывна.
Интегральное исчисление функций одной переменной.
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!