Понятие средних величин, их виды и способы расчета степенных средних

Текст лекции

Тема: «Средние величины в статистике»

(лекция – 2,0 ч.)

 

Для студентов всех специальностей

 

 

Автор: к.э.н., доцент Демидова Л.Н.

 

 

 

План лекции	стр.
1. Понятие средних величин, их виды и способы расчета степенных средних
2. Структурные средние величины, их смысл и значение
Контрольные вопросы
Список использованной литературы

 

Понятие средних величин, их виды и способы расчета степенных средних

Для изучения закономерностей развития социально-экономических явлений в статистике применяются средние величины.

Широкое применение средних величин обусловлено их незаменимостью в анализе явлений общественной жизни. Так, например, одной из задач органов статистики является характеристика уровня жизни населения в целом, и в частности, уровень его доходов в разрезе различных социальных групп. Сравнение индивидуальных доходов каждой семьи рабочего, служащего является невозможным. Не представляет интереса и сравнение суммарных доходов отдельных социальных групп, так как эти группы различаются по численности (например, численность рабочих и численность лиц, занятых в предпринимательстве), поэтому при анализе лучше использовать средние величины, а именно, среднюю величину доходов на одного человека или на одну семью по каждой группе.

Средняя величина – это обобщающий показатель, который дает количественную характеристику признака в статистической совокупности в условиях конкретного места и времени.

Для того, чтобы средняя величина была действительно типичной для изучаемой совокупности и давала количественную характеристику признака, ее необходимо исчислять с учетом ряда условий.

Условия правильного применения средней величины:

· средняя величина должна исчисляться лишь для совокупностей, состоящих из однородных единиц;

· совокупность неоднородную в качественном отношении, необходимо разделять на однородные группы и вычислять для них групповые, типичные средние, характеризующие каждую из этих групп. В этом проявляется связь между методами группировок и средних величин;

· средняя величина сглаживает индивидуальные значения и тем самым может элиминировать различные тенденции в развитии, скрыть передовое и отстающее. Поэтому кроме средней величины, следует исчислять другие показатели;

· среднюю величину целесообразно исчислять не для отдельных единичных фактов, взятых изолированно друг от друга, а для совокупности фактов.

Средние величины делятся на две основные категории в зависимости от поставленной цели исследования, вида и взаимосвязи изучаемых признаков.

Виды средних величин:

Степенные

а) Арифметическая;

б) Гармоническая;

в) Геометрическая;

г) Квадратическая;

д) Кубическая;

е) Биквадратическая.

Структурные

а) Мода;

б) Медиана;

в) Децили;

г) Квартили;

д) Перцентили;

е) Квинтили.

Элементы степенной средней:

· Варианта (Х) - признак, для которого исчисляется средняя величина является варьирующим, осредняемым. Единицы варьирующего признака, принимающие определённое числовое выражение, есть варианта;

· Число единиц (n) - количество вариант в исследуемой совокупности;

· Веса, частоты (f) - показатели повторяемости вариант в исследуемой совокупности.

 

Средняя степенная простая

,

где К – показатель степени.

Применяется в случае, если каждая варианта Х встречается в совокупности один или одинаковое число раз.

Виды степенных средних

Средняя гармоническая

К= - 1

или

Средняя гармоническая применяется в случае, если известны варьирующие обратные значения признака.

Средняя геометрическая

К=0

, где

- знак умножения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

Средняя арифметическая

К=1

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объём варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака отдельных её единиц.

Средняя квадратическая

К=2

Средняя кубическая

К=3

Средняя биквадратическая

К=4

и другие.

 

Для одной и той же совокупности имеют место строго определённые соотношения между различными видами средних. Эти соотношения называют правилом мажорантностисредних:

При исчислении средней величины в вариационном ряду с равными интервалами часто используют «способ моментов».

;

 

m₁- величина момента первого порядка;

i - величина интервала;

А – центральная варианта ряда (условный 0

Наиболее распространённым видом средних величин является средняя арифметическая, которая обладает рядом математических свойств. Они более полно раскрывают ее сущность и в ряде случаев используются для упрощения ее расчетов.

Мода

В интервальных рядах с равными интервалами мода вычисляется по формуле

,

где

Х₀ - минимальная граница модального интервала;

i- величина модального интервала;

f_м- частота модального интервала;

f_м-1 - частота интервала предшествующего модальному интервалу;

f_м+1 - частота интервала, следующего за модальным

Модальный интервал в интервальном ряду определяется по наибольшей частоте.

Медиана

· в дискретном вариационном ряду определение медианного значения признака сводится к определению номера медианной единицы ряда по формуле:

, где

n- объём совокупности.

Полученное значение показывает, где точно находится номер медианной единицы (номер середины ряда). Медианное значение характеризуется тем, что его кумулятивная частота (сумма накопленных частот по группам) равна или превышает половину суммы всех частот;

· в интервальном ряду с равными интервалами медиана рассчитывается по формуле:

,

где

Х₀ - начальное значение медианного интервала;

i - величина медианного интервала;

Σf - сумма частот ряда;

S_м-1 - сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

f_м - частота медианного интервала.

Для определения медианного интервала необходимо рассчитать суммы накопленных частот. Медианный интервал характерен тем, что его кумулятивная частота равна или превышает полусумму всех частот ряда.

Квартили

Значения признака, делящие ранжированную совокупность на четыре равные части. Различают нижний квартиль (Q₁), отделяющий ¼ часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (Q₃), отсекающий ¼ часть с наибольшими значениями признака. Средний квартиль (Q₂) совпадает с медианой (Ме). Для расчёта квартилей по интервальному вариационному ряду используют формулы

,

где

- нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (верхний) квартиль;

- величина интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль (верхний) квартиль;

- частота интервала, содержащего нижний квартиль (верхний) квартиль.

Децили

Варианты, делящие ранжированный ряд на десять равных частей; они вычисляются по той же схеме, что и квартили

и т. д..

Квинтили

Значения признака, делящие ряд на пять равных частей. Они вычисляются по той же схеме, что квартили и децили.

Перцентили

Значения признака, делящие ряд на сто равных частей.

 

Контрольные вопросы для самоподготовки:

1. Понятие средних величин в рядах распределения. Виды средних и способы их вычисления.

2. Степенная средняя для дискретных и непрерывных величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая.

3. Выбор весов для средних: простая и взвешенная средняя.

4. Структурные средние: мода и медиана, квартили и децили. Взаимосвязь метода средних и метода группировок.

5. Математические свойства средней арифметической.

 

Список литературы

Базовый учебник

1. Статистика: Учебно-практич. пособие / Под.ред. М.Г. Назарова.- М.:КНОРУС,2006*;

2. Социально-экономическая статистика. Практикум / под ред. С.А. Орехова. – М.: Эксмо, 2007. – 384 с.*

 

Основная литература

1. Теория статистики: Учебник / Под ред. Р.А. Шмойловой.-5-е изд.- М.: Финансы и статистика, 2005;*

2. Практикум по теории статистики. Учебное пособие. /Под ред. Шмойловой Р.А. - М.: Финансы и статистика, 2002*;

3. Статистика финансов: Учеб. Пособие / под ред.М.Г. Назарова. – М: Омега-Л, 2005. – 380 с.*

4. Статистика: Учебник / Под ред. В.Г. Ионина.-3-е изд., перераб. и доп.-М.: ИНФРА-М, 2006*

Дополнительная литература

1. Статистика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой.-М.: Высшее образование, 2006*;

2. Гусаров В.М. Статистика: Учеб.пособие для вузов. - М: ЮНИТИ-ДАНА, 2001*;

3. Статистика: Учебник / Под ред. B.C. Мхитаряна.-М.: Экономистъ, 2005*;

4. Статистика: Учеб.пособие / Под ред. В.М. Симчеры.- М.: Финансы и статистика, 2005*;

5. Салин В.Н., Чурилова Э.Ю. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2006*;

6. Журнал «Вопросы статистики».

Текст лекции

Тема: «Средние величины в статистике»

(лекция – 2,0 ч.)

 

Для студентов всех специальностей

 

 

Автор: к.э.н., доцент Демидова Л.Н.

 

 

 

План лекции	стр.
1. Понятие средних величин, их виды и способы расчета степенных средних
2. Структурные средние величины, их смысл и значение
Контрольные вопросы
Список использованной литературы

 

Понятие средних величин, их виды и способы расчета степенных средних

Для изучения закономерностей развития социально-экономических явлений в статистике применяются средние величины.

Широкое применение средних величин обусловлено их незаменимостью в анализе явлений общественной жизни. Так, например, одной из задач органов статистики является характеристика уровня жизни населения в целом, и в частности, уровень его доходов в разрезе различных социальных групп. Сравнение индивидуальных доходов каждой семьи рабочего, служащего является невозможным. Не представляет интереса и сравнение суммарных доходов отдельных социальных групп, так как эти группы различаются по численности (например, численность рабочих и численность лиц, занятых в предпринимательстве), поэтому при анализе лучше использовать средние величины, а именно, среднюю величину доходов на одного человека или на одну семью по каждой группе.

Средняя величина – это обобщающий показатель, который дает количественную характеристику признака в статистической совокупности в условиях конкретного места и времени.