Внутренние усилия. Правила построения их эпюр.

 

Внешняя нагрузка, действуя на составные части любого строительного сооружения, приводят к возникновению в элементах конструкции внутренние напряжения и деформации. В строительной механике рассчитывают следующие характеристики напряжений и деформаций – внутренние усилия и перемещения.

В элементах стержневой системы на плоскости могут возникать три вида внутренних усилий: продольная сила N, поперечная сила Q, изгибающий момент M. Положительные значения указанных усилий в зависимости от направления внутренних усилийопределяются как на рисунке, приведенном ниже:

 

 

 

 

Правило знаков при построении эпюр

Изгибающий момент (М) – это сумма моментов, создаваемых силами, расположенными слева (или справа) относительно рассматриваемой точки (момент создается относительно оси z).

Поперечная сила (Q) – это сумма проекций всех сосредоточенных сил, расположенных слева (или справа) относительно рассматриваемой точки, на ось y.

Продольная сила ( N) – это сумма проекций всех сосредоточенных сил, расположенных слева (или справа) относительно рассматриваемой точки, на ось x.

При построении эпюр для Q и N ординаты со знаком "+" откладывают вверх от нейтральной оси эпюры, а отрицательные – вниз. Эпюра М всегда изображается на стороне растянутого волокна балки, т.е. значения со знаком "+" откладываются вниз от нейтральной оси эпюры, а отрицательные – вверх.

Между эпюрами изгибающего момента (М) и поперечной силы (Q) существует прямая зависимость – поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения балки (теорема Журавского).

 

Q=dM/dx

 

Правила для проверки правильности построения эпюр:

1. На участках стержня, на которые действует равномерно распределенная нагрузка q эпюра изгибающих моментов М имеет вид выпуклой (вогнутой) кривой (выпуклость этой кривой направлена в ту сторону, куда направлена распределенная нагрузка), эпюра Q – наклонной прямой.

2. В местах расположения на стержне сосредоточенной силы P на эпюре поперечной силы Q всегда будет перепад на величину этой сосредоточенной силы. В месте расположения сосредоточенного момента на эпюре изгибающих моментов М также всегда будет перепад на величину этого сосредоточенного момента.

3. Если эпюра поперечной силы (Q) имеет один знак, то эпюра изгибающего момента (М) или возрастает или убывает (если знак Q "– " ординатами эпюры М слева на право увеличиваются).

4. Величина поперечной силы (Q) равна тангенсу угла между касательной к эпюреизгибающего момента (М) и нейтральной осью эпюры.

5. В точках балки, в которых эпюра поперечной силы (Q) пересекает нейтральную ось (Q=0) на эпюре изгибающего момента (М) располагается максимум или минимум.

6. По виду линии эпюры изгибающего момента (М) можно определить знак эпюрыпоперечной силы (Q). Для этого нейтральную ось эпюры M необходимо повернуть до совпадения с касательной к линии эпюры М. Если поворот будет почасовой стрелке, Q будет со знаком «+», а если против часовой стрелки, то со знаком «–». При этом угол поворота должен быть меньше 90°.

 

Расчет однопролетных балок

 

Задачи по определению внутренних усилий в однопролетных балках входят в курс предметов "Строительная механика" и "Сопротивление материалов".

Количество степеней свободы для плоской стержневой системы определяется по формуле, называемой основной формулой кинематического анализа:

 

W = 3Д – 2Ш – С₀

 

При W=0 –система неизменяема и статически определима (т.е. может быть решена путем составления уравнений равновесия).

Для определения реакций в опорах применяется принцип освобождения от связей – систему можно освободить от связей, если эти связи (например, опоры) заменить реакциями. Далее составив уравнения равновесия для новой полученной системы определяют величины введенных реакций.

Уравнения равновесия для плоской системы можно составить в следующих видах:

 

 

В элементах стержневой системы на плоскости могут возникать три вида внутренних усилий: продольная сила N, поперечная сила Q, изгибающий момент M. Положительные значения указанных усилий в зависимости от направления внутренних усилий определяются как на рис. 1:

 

 

Рисунок 1. Правило знаков для внутренних усилий

 

Методы определения усилий в статически определимых системах

Для определения усилий в строительной механике применяются различные методы: простых сечений, совместных сечений, вырезания узла и замены связей.

 

Метод простых сечений

 

При расчете этим метод внутреннее усилие рассматривают как внешнюю нагрузку и определяют его путем составления и решения уравнения равновесия.

Например, внутренние усилия балки (рис. 1, а).

 

Рисунок 1. Метод простых сечений

 

 

Алгоритм расчета данным методом:

1) провести через любую точку стержня разрез;

2) отбросить более сложную часть (где больше сил) и для дальнейшего расчета используют более простую часть стержня;

3) составить уравнения равновесия;

4) решая полученные уравнения, определить внутренние усилия M, Q, N;

5) построить эпюры M, Q, N по найденным значениям внутренних усилий.

 

Метод совместных сечений

 

 

Данный метод применяется при расчете составных систем.

Например, при расчете трехдисковой рамы (рис. 2, а) проводятся три совместных сечения I, II, III. В точках рассечения междисковых связей появляются 9 реакций (рис. 2, б): реакции в опорах R₁, R₂, H и реакции X₁, X₂, X₃,Y₁, Y₂, Y₃. Величины данных реакций определяются посредством составления уравнений равновесия.

 

Рисунок 2. Метод совметсных сечений

 

Алгоритм расчета данным методом:

1) провести через несколько точкек для рассматриваемой системы разрезы, деля данную конструкцию на составные части;

2) отметить возникшие реакции в рассеченных связях;

3) для каждой полученной составной части диска составить уравнения равновесия;

4) рассчитать систему полученных уравнений;

5) построить эпюры для каждой составной части заданной конструкции;

6) построить совместные эпюры для всей системы.

 

Метод вырезания узла

 

 

Данный метод применяется при расчете внутренних усилий в простых системах.

Алгоритм расчета данным методом:

1) можно вырезать узел только с двумя стержнями, сходящимися в нем, внутренние усилия в которых неизвестны;

2) продольные силы, действующие в узле, проецируются на соответствующие оси (для плоской системы x и y);

3) решая составленные уравнения, определяют неизвестные внутренние усилия.

Метод замены связей

 

 

Данный метод применяется при определении внутренних усилий в сложных статически определимых систем, для расчета которых использовать выше перечисленные способы трудно.

Алгоритм расчета данным методом:

1) сложная система преобразуется в более простую посредством перемещения связей;

2) из условия равенства изначально заданной и заменяющей систем определяется внутреннее усилие в переставленной связи;

3) полученная система рассчитывается одним из выше описанных способов.

 

Примеры задач с решениями.

 

С. Задача 1

 

Построить эпюры внутренних усилий для балки.

 

Подробнее: С. Задача 1

С. Задача 2

 

Построить эпюры внутренних усилий для балки.

 

Подробнее: С. Задача 2

 

 

С. Задача 3

 

Построить эпюры внутренних усилий для однопролетной ломаной балки.

 

Подробнее: С. Задача 3

С. Задача 4

 

Построить эпюры внутренних усилий для консольной ломаной балки.

 

Подробнее: С. Задача 4

 

Примеры с решениями.

 

 

С. Задача 1

 

Построить эпюры внутренних усилий для балки.

 

Однопролетная балка

 

 

1) Определяем реакции в опорах:

 

 

Т.к., значение реакции R_A получилось отрицательным, то меняем ее направление на расчетной схеме (новое направление обозначаем пунктирной линией), учитывая в дальнейшем новое направление и положительное значение этой реакции.

Проверка:

 

 

2) Строим эпюру изгибающих моментов М (построение эпюры ведется с любого "свободного" конца балки):

 

3) Строим эпюру поперечных сил Q. Производим построение эпюры поперечных сил (Q), используя формулу Журавского:

 

 

где М_пр, М_лев – ординаты изгибающего момента на правом и левом концах рассматриваемого участка балки;

l – длина рассматриваемого участка балки;

q – величина распределенной нагрузки на рассматриваемом участке.

Знак «±» в формуле ставится в соответствии с правилом знаков поперечных сил, рассмотренным выше (рисунок 1).

 

 

 

С. Задача 2

 

Построить эпюры внутренних усилий для составной рамы.

Разделяем составную раму на две части: вспомогательную и основную (статически определимую и геометрически неизменяемую).

Расчет начинаем со вспомогательной рамы.

 

 

Составная рама

 

 

Вспомогательная часть рамы

 

1) Определяем реакции в опорах:

 

 

Проверка:

 

 

2) Строим эпюру изгибающих моментов М:

 

 

3) Строим эпюру поперечных сил Q:

 

 

 

Эпюры внутренних усилий для вспомогательной рамы

 

 

4) Строим эпюру продольных сил N:

Рассматриваем узел G:

 

 

 

Вырезание узла дляпостроение эпюры продольных сил

 

Рассматриваем основную часть. Число степеней свободы для основной рамы должно равняться 0 (статически определимая и геометрически неизменяемая):

 

 

 

Переносим реакции в шарнире Ш₁ со вспомогательной части на основную, меняя направление.

 

 

Основная часть составной рамы

 

1.1) Определяем реакции в опорах:

 

Проверка:

 

 

1.2) Определяем реакции в опорах:

 

 

Проверка:

 

 

 

2) Строим эпюру изгибающих моментов М:

 

 

Определим значение изгибающего момента в шарнире Ш₂:

 

 

Т.к., значение изгибающего момента в шарнире должно равняться нулю.

3) Строим эпюру поперечных сил Q:

 

 

 

Эпюры внутренних усилий для основной части составной рамы

 

4) Строим эпюру продольных сил N:

Рассматриваем узел K:

 

 

Поскольку на балке BK в точке Ш₁ находится сила, действующая вдоль балки (т.е. продольная), то в этом месте должен быть скачок на ее величину на эпюре продольных сил (N). Методом вырезания узла K определено значение продольной силы на балке BK возле узла K. Поскольку усилие RШ₁ направлено к узлу, то скачок в точке Ш₁ будет в «−».

Рассматриваем узел N (на балке правее узла N не возникает продольной силы, т.к. на ней нет внешних нагрузок, действующих вдоль балки):

 

 

Вырезание узлов дляпостроение эпюры продольных сил

 

 

С. Задача 2

 

Построить эпюры внутренних усилий для балки.

 

Консольная балка

 

1) Определяем реакции в опорах:

 

 

2) Строим эпюру изгибающих моментов М:

 

 

3) Строим эпюру поперечных сил Q:

 

 

С. Задача 3

 

Построить эпюры внутренних усилий для однопролетной ломаной балки.

 

Ломаный стержень

 

1) Определяем реакции в опорах:

 

 

Проверка:

 

2) Строим эпюру изгибающих моментов М:

 

 

3) Строим эпюру поперечных сил Q:

 

 

4) Строим эпюру продольных сил N:

 

 

 

С. Задача 4

 

Построить эпюры внутренних усилий для консольной ломаной балки.

 

Ломаная балка

 

 

1) Определяем реакции в опорах:

 

 

2) Строим эпюру изгибающих моментов М:

 

 

3) Строим эпюру поперечных сил Q:

 

 

4) Строим эпюру продольных сил N:

 

Расчет многопролетных балок

 

Расчет статически определимой многопролетной балки при расчете сооружений необходимо начинать с анализа взаимодействия отдельных ее элементов и построения «поэтажной схемы» многопролетной балки.

 

 

Поэтажные схемы для многопролетных балок

 

Проверку на геометрическую неизменяемость и статическую определимость для многопролетной балки выполняют по основной формуле кинематического анализа.

При построении поэтажной схемы в многопролетной балке выделяют основные и вспомогательные балки.

Виды основных балок:

 

Виды основных балок

 

Вспомогательную балку можно удалить из многопролетной балки без нарушения неизменяемости оставшейся части, поэтому вспомогательную балку можно рассчитать независимо от оставшейся части, причем ее опорные реакции будут служить внешними силами для оставшейся. Вспомогательные балки опираются на основные и поэтому при построении поэтажной схемы их располагают над основными, т.е. все вышерасположенные балки являются вспомогательными по отношению к нижерасположенным. Соответственно, расчет многопролетной балки начинают с самой верхней вспомогательной балки, представляя ее как статически определимую и геометрически неизменяемую систему.

 

С. Задача 1

 

Построить эпюры внутренних усилий для многопролетной балки.

Строим поэтажную схему для многопролетной балки.

 

Подробнее: С. Задача 1

С. Задача 2

 

Построить эпюры внутренних усилий для многопролетной балки.

Строим поэтажную схему для многопролетной балки.

 

Подробнее: С. Задача 2

С. Задача. Метод матриц

 

Построить эпюры внутренних усилий и линии влияния для указанного сечения методом матриц.

 

С. Задача 1

 

Построить эпюры внутренних усилий для многопролетной балки.

Строим поэтажную схему для многопролетной балки.

 

 

Многопролетная балка

 

 

Рассчитываем балку Ш₂С:

 

 

Балка Ш₂С

 

Определяем реакции в опорах:

 

Проверка:

 

 

Построение эпюр выполняется как для простой однопролетной балки.

Рассчитываем балку Ш₁Ш₂:

 

 

Балка Ш₁Ш₂

 

 

Определяем реакции в опорах:

 

 

Проверка:

 

 

Рассчитываем балку АШ₁:

 

 

Балка АШ₁

 

Определяем реакции в опорах:

 

 

 

С. Задача 2

 

Построить эпюры внутренних усилий для многопролетной балки.

Строим поэтажную схему для многопролетной балки.

 

 

Многопролетная балка

 

Рассчитываем балку АШ₁:

 

 

Балка АШ₁

 

Определяем реакции в опорах:

 

 

 

Проверка:

 

 

Рассчитываем балку Ш₂D:

 

 

Балка Ш₂D

 

 

Определяем реакции в опорах:

 

 

Проверка:

 

 

 

Рассчитываем балку BC:

 

 

Балка BC

 

Определяем реакции в опорах:

 

 

Проверка: