Расчет момента инерции тел правильной формы

 

 

14.1.Найти момент инерции математическго маятника относительно точки подвеса.

 

14.2.Найти момент инерции тонкого однородного стержня массы М и длины L относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей: 1.через один из его концов; 2.через середину стержня; 3. Через точку А, лежащую на продолжении стержня на расстоянии L от одного из его концов.

 

14.3.Найти момент инерции тонкого обода радиуса 0,2 м и массы 3 кг относительно оси, перпендикулярной плоскости обода и проходящей: 1.через центр тяжести обода; 2.через конец диаметра.

 

14.4.Определить момент инерции диска массы m, радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через край диска.

 

14.5.Определить момент инерции сплошного шара радиуса R и массы m относительно оси, проходящей: 1.через центр тяжести; 2.по касательной к шару.

 

14.6.Определить момент инерции полого шара массы m относительно оси, проходящей через центр тяжести. Внешний радиус шара R, внутренний – r.

 

14.7.Определить момент инерции тонкого кольца радиуса R и массы m относительно оси, проходящей через центр тяжести и лежащей в плоскости обода.

 

14.8.Определить момент инерции шайбы, радиусы которой r и R, относительно оси, перпендикулярной плоскости шайбы и проходящей через ее центр масс.

 

14.9.Определить момент инерции сплошного цилиндра радиуса R, массы m относительно оси цилиндра.

 

14.10.Определить момент инерции полого цилиндра массы m, внутренний радиус которого r, внешний R.

 

14.11.Определить момент инерции фигур, изготовленных из тонких стержней массы m, длины L относительно осей, перпендикулярных плоскости рисунка и проходящих через указанные точки (рис. 51).

 

 

 

а) б) в)

 

Рис. 51

 

14.12.Определить момент инерции тонкой прямоугольной пластинки (масса m, стороны и ) относительно оси, проходящей через центр тяжести параллельно одной из сторон.

 

14.13. Определить момент инерции тонкой прямоугольной пластинки (масса m, стороны и b) относительно оси, проходящей через центр тяжести перпендикулярно плоскости пластинки.

 

14.14.В тонком диске массой m и радиусом R вырезают n круглых отверстий радиуса r на равных расстояниях a от центра диска. Определить момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр масс.

 

14.15.Цилиндр массы 3 кг, диаметр которого 12 см, лежит на горизонтальной плоскости. Определить момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей по линии контакта его боковой поверхности с плоскостью.

 

14.16.Кинолента наматывается на бобину со скоростью V. Момент инерции бобины без ленты I_о, радиус r_о. Определить зависимость момента инерции катушки с лентой от времени. Ширина ленты , плотность , толщина b.

 

14.17.Две частицы с одинаковой массой m соединены жестким однородным стержнем длины L и массы m₁. Найти момент инерции этой системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1.центр масс системы; 2.одну из частиц.

 

14.18.Поверхностная плотность тонкого диска радиуса R изменяется по закону . Найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости.

 

14.19.Прямой круглый однородный конус имеет массы m и радиус основания R. Найти момент инерции конуса относительно его оси.

 

14.20.Найти момент инерции однородного куба относительно оси, проходящей через центры противолежащий граней. Масса куба m, длина ребра L.

 

14.21.Вычислить момент инерции однородного круглого прямого цилиндра относительно оси, перпендикулярной к оси симметрии цилиндра и проходящей через его центр. Масса цилиндра m, радиус R, высота h. Рассмотреть предельные случаи: R << h, h << R.

 

14.22.Найти момент инерции однородной пирамиды, основанием которой является квадрат со стороной , относительно оси, проходящей через вершину и центр основания. Масса пирамиды равна m.

 

15.ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ

НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

 

15.1. Найти ускорение грузов и натяжение нитей на машине, изображенной на рис. 52, учитывая момент инерции I блока, при условии, что нить не скользит по блоку. Определить натяжение подвеса А.

 

 

А

 

I, r

 

m₂

m₁

 

 

Рис. 52

 

15.2. На однородный сплошной цилиндр массы М и радиуса R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массы m (рис. 54). В момент времени t=0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти:1. Зависимость угловой скорости от времени; 2. Направление векторов и ; 3. Ускорение груза; 4. Силу натяжения нити; 5. Для системы блок-груз зависимость от времени момента импульса относительно оси блока и кинетической энергии; 6. Углы поворота блока в зависимости от времени.

 

 

 

М

 

 

m

 

Рис. 54

 

15.3.Через блок радиуса 10 см, масса которого m=100 г, перекинута тонкая гибкая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены два груза массами m₁=200 г и m₂=300 г (рис. 55). Определить: 1. Ускорения грузов; 2. Угловое ускорение; 3. Силы натяжения нитей.

 

 

m₂

 

m₁

 

Рис. 55

 

15.4. Однородный цилиндр массы М и радиуса R вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр масс, под действием грузов весом Р каждый. Найти силу натяжения нити на участках и (рис. 56).

 

 

Р

 

 

Р

 

Рис. 56

 

15.5. На ступенчатый блок намотаны в противоположных направлениях две нити (рис 57). На конец одной нити действуют постоянной силой F, а к концу другой нити прикреплен груз массы m. Известны радиусы R₁ и R₂ блока и его момент инерции I относительно оси вращения. Найти угловое ускорение блока.

 

 

 

Рис. 57

15.6. На горизонтальном столе лежат два тела, которые могут скользить по столу без трения. Тела связаны невесомой нерастяжимой нитью (рис. 58). Такая же нить, переброшенная через блок, связывает тело 2 с грузом массы m=0,5 кг. Блок представляет собой однородный сплошной цилиндр. Масса тел и блока одинакова и равна М=1 кг. Считая, что блок вращается без трения, а нить не проскальзывает по блоку, найти ускорение тел, натяжение F₁₂ нити, связывающей оба тела, натяжение нити F₂ на участке от тела 2 до блока, натяжение нити F_m на участке от блока до груза m.

1 2

М F₁ М F₂ М

 

 

F_m

m

 

 

Рис. 58

15.7. Однородный сплошной цилиндр массы m=1 кг висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях (рис. 59). Цилиндр опускается без толчка. А). За сколько времени t цилиндр опустится на расстояние h=50 см? б) Какое натяжение F испытывает при этом каждая из нитей?

 

 

Рис. 59

 

15.8. Система, состоящая из цилиндрического катка радиуса R и гири, связанных нитью, перекинутой через блок (рис. 60) под действием силы тяжести приходит в движение из состояния покоя. Определить ускорение a центра масс катка и силу натяжения нити. Какую скорость приобретет гиря, если она опускается с высоты h? Масса цилиндра М, масса гири m, массой блока пренебречь. Каток катится без скольжения.

 

М

 

 

m

 

Рис. 60

 

15.9. Из колодца с помощью ворота поднималось ведро с водой массы m. В момент, когда ведро находилось на высоте h от поверхности воды, рукоятка освободилась, и ведро стало двигаться вниз. Определить линейную скорость рукоятки в момент удара ведро о поверхность воды в колодце, если радиус рукоятки R, радиус вала ворота r, его масса m₁. Трением и весом торса пренебречь.

 

15.10. К концу тонкой нерастяжимой нити, намотанной на цилиндрический сплошной блок массой m₁=200 г, прикреплено тело массой m₂=500 г, которое находится на наклонной плоскости с углом наклона 45⁰ (рис. 61). Нить, удерживающая тело, параллельна наклонной плоскости. Какой путь пройдет тело по наклонной плоскости за t=1 с, если коэффициент трения скольжения по наклонной плоскости равен k=0,1?

 

m₁

m₂

 

 

Рис. 61

 

15.11. По наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом, скатывается без скольжения сплошной однородный диск. Найти линейное ускорение центра диска.

 

15.12. Какой путь пройдет катящийся без скольжения диск, поднимаясь вверх по наклонной плоскости с углом наклона 30⁰,если ему сообщена начальная скорость 7 м/с, параллельная наклонной плоскости.

 

15.13. Найти ускорение центра однородного шара, скатывающегося по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом. Чему равна сила трения шара о плоскость?

 

15.14. Шар скатывается по наклонной плоскости с углом наклона 30⁰. Какую скорость будет иметь центр шара относительно наклонной плоскости через 1,5 с, если его начальная скорость была равна нулю?

 

15.15. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30⁰, скатывается без скольжения сплошной цилиндр, масса которого равна 300 г. Найти величину силы трения цилиндра о плоскость.

 

15.16. С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться сплошной цилиндр и шар одинаковых радиусов. 1)Какое тело будет иметь скорость на данном уровне? 2)Во сколько раз? 3)Во сколько раз скорость одного будет больше скорости другого в данный момент времени?