Работа. Кинетическая и потенциальная энергия

 

10.1.Шарик массой 100 г, подвешенный на нити длиной 40 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Какова кинетическая энергия шарика, если во время его движения нить образует с вертикалью угол 60⁰?

 

10.2.Постоянная сила F=0,5 Н ускоряет тело массы m=10 кг в течение времени t=2 с. Определить кинетическую энергию тела, если начальная кинетическая энергия его была равна нулю. Построить зависимости кинетической энергии от времени и от пройденного пути.

 

10.3.Какую работу надо совершить, чтобы лежащий на земле однородный стержень длиной 2 м и массой 100 кг поставить вертикально?

 

10.4.Какую работу надо произвести, чтобы повернуть на другую грань сплошной железный куб, масса которого m=200 кг?

 

10.5.Сравнить работы, которые совершает человек, растягивая пружину динамометра от 0 до 10 Н, от 10 до 20 Н, от 20 до 30 Н.

 

10.6.Электропоезд в момент выключения тока имел скорость 20 м/с. Какой путь пройдет поезд без включения тормозов до полной остановки, если коэффициент сопротивления равен 0,005?

 

10.7.Мальчик тянет санки по горизонтальному пути, натягивая при этом привязанную к ним веревку под углом 37⁰ к горизонту с силой 20 Н. Какую работу он произведет, протащив санки на расстояние 600 м?

 

10.8.Какую работу необходимо затратить, чтобы вытащить пробку из горлышка бутылки? Длина пробки L, пробка находится на расстоянии l от края горлышка. Сила трения между пробкой и бутылкой F. Весом пробки пренебречь.

 

10.9.Тело свободно падет с некоторой высоты без начальной скорости. Как относятся работы, совершаемые силой тяжести за одинаковые последовательные промежутки времени?

 

10.10.Определить работу, которую надо совершить, чтобы поднять на высоту 5 м груз весом 2 Н, двигая его равномерно по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30⁰. Коэффициент трения 0,5.

 

10.11.Вагонетку массы 3 т поднимают по рельсам в гору, наклон которой к горизонту 30⁰. Какую работу совершила сила тяги на пути 50 м, если известно, что вагонетка двигалась с ускорением 0,2 м/с²? Коэффициент трения равен 0,1.

 

10.12.Тело поднимают на вершину горы один раз по пути АДС, а другой раз – по пути АВС (рис. 35). Доказать, что при медленном подъеме совершенная работа будет одной и той же, если коэффициент трения на обоих склонах одинаков.

 

 

С

 

 

В

 

Д

 

 

А

 

Рис. 35

 

10.13.Пуля массой 1,5 г, Летевшая горизонтально со скоростью 670 м/с, пробивает доску толщиной 3,5 см. Определить кинетическую энергию пули после пробивания доски, если сила сопротивления при движении ее в дереве равна 74 кН.

 

10.14.Тело массы m=4 кг двигалось по горизонтальной прямой со скоростью 2 м/с. После действия некоторой силы оно стало двигаться в противоположном направление с вдвое большей скоростью. Найти величину этой силы и совершенную ей работу, если время действия силы 2 с. Решить задачу при условии, что после действия силы тело стало двигаться под углом 90⁰ к начальной траектории с той же по величине скоростью 2 м/с.

 

10.15.Найти приращение энергии Е, если: а) Е₁=2 Дж, Е₂=5 Дж; б) Е₁=10 Дж,Е₂=8 Дж.

 

10.16.Первоначально покоившаяся частица, находясь под действием силы: (Н), переместилась из точки (2, 4, 6) (м) в точку (3, 6, 9) (м). Найти кинетическую энергию Т частицы в конечной точке.

 

10.17.Находясь под действием постоянной силы с компонентами (3, 10, 8) (Н), частица переместилась из точки 1 с координатами (1, 2, 3) (М) в точку с координатами
(3, 2, 1) (м). Какая при этом совершается работа и как изменилась кинетическая энергия частицы?

 

10.18.Каким способом можно закинуть льдинку дальше: а) бросив в воздух под углом 45⁰ к горизонту или б) пустив ее скользить по льду с такой же скоростью? Коэффициент трения 0,02.

 

10.19.Санки движутся по горизонтальному льду со скоростью 6 м/с, выезжают на асфальт. Длина полозьев санок 2 м, коэффициент трения об асфальт k=1. Какой путь пройдут санки до полной остановки?

 

10.20.Поезд массой m=50 т шел равномерно по горизонтальному пути. От поезда оторвался задний вагон массой m₁=20 т. Проехав после этого 200 м, машинист прекратил доступ пара в машину. На каком расстоянии друг от друга остановятся отделившийся вагон и остальной состав поезда? Предположить, что машина все время работала одинаково (сила тяги оставалась постоянной) и что сопротивление движению поезда и вагона пропорционально движущейся массе.

 

10.21.Какую работу надо совершить, чтобы из колодца глубиной 10 м поднять вверх ведро с водой массой 8 кг на тросе, каждый метр которого имеет массу 400 г?

 

10.22.К концу сжатия пружины детского пистолета на 3 см приложенная к ней сила была равна 20 Н. Найти потенциальную энергию сжатой пружины.

10.23.Пружина детского пистолета имеет в недеформированном состоянии длину 15 см. Сила, необходимая для сжатия пружины на 1 см, равна 2 Н. Какова будет максимальная высота подъема шарика массой 1 г, если им зарядить пистолет, сжав пружину до 5 см? Пистолет расположен вертикально. Сопротивление воздуха не учитывать.

 

10.24.Потенциальная энергия частицы в некотором силовом поле определяется выражением: . Найти работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе из точки с координатами (1, 1, 1) в точку с координатами (2, 2, 2).

 

10.25.Потенциальная энергия частицы определяется выражением: , где a > 0. Частица начинает двигаться из точки с координатами (3, 3, 3). Найти ее кинетическую энергию Т в момент, когда частица находится в точке с координатами (1, 1, 1).

 

10.26.Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид: U=a/r² –b/r, где a и b – положительные постоянные, r- расстояние от центра поля. Найти: а) значение r, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение; б) максимальное значение силы притяжения; изобразить примерные графики зависимостей U(r) и F_r (r) – проекции силы на радиус-вектор.

 

 

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

 

11.1.Построить графики зависимости от времени кинетической, потенциальной и полной энергии камня массой 1 кг, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью 9,8 м/с.

11.2.Небольшое тело начинает скользить без трения с вершины сферы радиуса R вниз (рис.36). На какой высоте h над центром сферы тело отделится от поверхности сферы и полетит свободно?

д hh

 

 

Рис. 36

11.3.По желобу, имеющему форму, показанную на рис.37, с высоты H начинает скользить без трения небольшое тело. Определить: а) при каком минимальном значении высоты H тело опишет полную петлю, не отделяясь от желоба;,) чему равна при таком значении H сила давления тела на желоб в точке А, в точке В?

 

 

А

H

 

В

 

 

Рис. 37

11.4.Какой кинетической энергией обладало тело массой 2 кг, если оно поднялось по наклонной плоскости с углом наклона 30^о на высоту 1 м? Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью 0,1.

 

11.5.Молоток массой 0,8 кг в момент удара о шляпку гвоздя имеет скорость 1,5 м/с и забивает его в бревно на глубину 5 мм. Какой массы груз необходимо положить на шляпку гвоздя, чтобы он вошел в бревно на такую же глубину?

 

11.6.Шарик для игры в настольный теннис радиусом 15 мм и массой 5 г погружен в воду на глубину 30 см. Когда шарик отпустили, он выпрыгнул из воды на высоту 10 см. Какое количество теплоты выделилось вследствие трения шарика о воду?

 

11.7.Небольшая шайба А соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высотой H, имеющей горизонтальный трамплин (рис.38). При какой высоте h трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние S? Чему оно равно?

А

 

H

h

S

 

Рис. 38

11.8.Пуля массой m ударяется под углом о баллистический маятник массой М и застревает в нем. Какая доля кинетической энергии пули перейдет в теплоту?

11.9.Два шара подвешены на тонких параллельных нитях, касаясь друг друга. Меньший шар отводится на 90⁰ от первоначального положения и отпускается. После удара шары поднимаются на одинаковую высоту. Определить массу меньшего шара, если масса большего 0,6 кг, а удар абсолютно упругий.

 

11.10.Веревка длины 20 м переброшена через блок. В начальный момент времени веревка висит симметрично относительно вертикальной прямой, проходящей через ось блока, и покоится, а затем, в результате незначительного толчка, начинает двигаться по блоку. Будет ли движение веревки равноускоренным? Какова будет скорость веревки, когда она сойдет с блока? Массой и размером блока пренебречь.

 

11.11.Камень брошен вверх под углом 60⁰ к горизонту. Кинетическая энергия камня в начальный момент 20 Дж. Определить кинетическую и потенциальную энергии камня в наивысшей точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

 

11.12.Гиря, положенная на верхний конец пружины, сжимает ее на 2 мм. На сколько сожмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высоты 5 см?

 

МОМЕНТ СИЛЫ

 

12.1.На тонкий прямоугольный брусок АВСД массы 10 кг действует вертикально направленная сила F, равная 20 Н (рис. 41). Определить векторы моментов силы F и силы тяжести относительно точек А и С. АВ=20 см, ВС=30 см.

 

у

 

 

 

 

В С

 

А Д

х

 

Рис. 41

 

12.2.Брусок А и сила F находятся в одной плоскости. Определить момент силы F относительно точки А (рис. 42). Чему равен момент силы F относительно осей x, y, z?

 

у

 

 

30⁰

А х

 

Рис. 42

 

12.3.На плоский диск радиуса 50 см, лежащий на горизонтальной поверхности, действуют две силы F₁=400 Н и F₂=300 Н, направленные по касательной к диску в горизонтальной плоскости (рис. 43). Определить результирующую силу, действующую на диск, и результирующий момент сил относительно центра диска.

 

Z

 

 

 

Рис. 43

 

12.4.Как изменится ответ в задаче № 11.3, если F₁=F₂? Найти величину перемещения диска за 10 с, если его масса 100 кг, а сила трения равна нулю.

 

12.5.Радиус блока 10 см, масса груза m= 5 кг, трением в оси блока пренебречь (рис. 44). Груз спускается с ускорением 2 м/с². Найти: 1. Момент силы тяжести относительно оси блока. 2. Момент силы, вращающий блок, относительно оси блока.

 

 

Z

 

 

Рис. 44

 

12.6.Снаряд массы m начинает движение со скоростью v₀, направленной под углом к горизонту. Найти зависимость момента силы тяжести снаряда относительно точки выстрела от времени. Определить эту величину для моментов нахождения снаряда в высшей и наиболее удаленной точке траектории, если v_о=40 м/с, =30⁰.

 

12.7.Через блок радиуса R переброшен канат, на который действуют две силы F₂ > F₁, расположенные в плоскости, перпендикулярной оси блока (рис. 45). Определить вращающий момент и направление вращения блока.

 

 

 

 

Рис. 45

 

12.8.Небольшое тело массы m находится посередине наклонной плоскости АВ ( = 30⁰, АВ=L). Найти моменты сил, действующих на тело, относительно точки А, прямой АВ, оси Z (рис 46).

 

 

В

 

Z

А

 

Рис. 46

 

12.9.К точкам 1 и 2 некоторого тела приложены две силы (пара сил). Найти результирующий момент относительно точек 1, 2, а также относительно произвольной точки 3 (рис. 47).

 

1

d

 

2

3

 

Рис. 47

 

12.10.Чему равен момент силы тяжести, действующей на космическую станцию “Мир”, относительно центра Земли. Какой вывод можно сделать из полученного результата?

 

12.11.Сила с компонентами (3, 4, 5) (Н) приложена к точке с координатами (4, 2, 3,) (м). Найти: а) момент силы относительно начала координат; б) модуль вектора ; в) момент силы N_z относительно оси z.

 

12.12.Сила, приложенная к частице, имеет вид (Н). Чему равен момент этой силы относительно оси z, если точка приложения силы имеет координаты (4,2,6,8, 0).

 

12.13.К точке, радиус-вектор которой относительно начала координат 0 равен приложена сила . Найти момент силы и плечо силы относительно
точки 0.

 

12.14.Математический маятник массы m, длины L колеблется в вертикальной плоскости. Максимальное отклонение от положения равновесия равно L_о. Как изменяется момент силы тяжести маятника относительно точки подвеса в процессе движения? Нарисовать график зависимости момента силы тяжести маятника относительно точки подвеса от величины угла .

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА

 

13.1.Определить относительно наблюдателя в точке 0 вектор момента импульса ракеты массы m, взлетающей вертикально со скоростью v_о (рис. 48).

 

 

А

 

Z

0

 

 

Рис. 48

 

13.2.Определить относительно точки выстрела момент импульса снаряда массы m в верхней точке траектории. Начальная скорость снаряда v_о направлена под углом к горизонту.

 

13.3.Материальная точка массы m вращается в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью по окружности радиуса r. Определить изменение модулей импульса и момента импульса точки относительно центра окружности за время, равное 0,25 периода вращения и 0,5 периода вращения..

 

13.4.Самолет летит на высоте Н параллельно поверхности Земли, его импульс равен р. Как при таком движении изменяется момент импульса самолета относительно наблюдателя, находящегося на поверхности Земли?

 

13.5.Математический маятник массы m, длина подвеса которого L, отвели на 90⁰ относительно положения равновесия и отпустили, Найти зависимость момента импульса маятника относительно оси Z, проходящей через точку подвеса от угла . Нарисовать график этой зависимости.

 

13.6.Тело массы m, радиус-вектор которого , движется со скоростью . Найти момент импульса тела относительно начала координат, относительно осей х, у, z.

 

13.7.Тело массы 1кг, брошенное из точки с координатами (0, 2, 0) с начальной скоростью (0,0,10) возвращается в исходную точку. Найти: а) момент импульса тела как функцию времени относительно начала координат; б) изменение момента импульса за время полета относительно начала координат.

 

13.8.Небольшое тело массы m начинает скользить без трения с вершины наклонной плоскости (рис. 49). Найти относительно точки 0 выражения для: 1.Момента импульса тела в зависимости от времени. 2. Момента результирующей силы, действующей на тело.

 

 

 

Н Z

 

 

0

 

Рис. 49

 

13.9.Материальная точка массы m брошена под углом к горизонту с начальной скоростью .Найти относительно начала координат зависимость от времени: 1.Момента импульса частицы.2. Момента силы, действующей на частицу.

 

13.10.Две частицы движутся равномерно в противоположных направлениях вдоль параллельных траекторий, расстояние между которыми равно L (рис. 50). Найти: 1.Суммарный импульс частиц. 2.Значение суммарных моментов импульса частиц относительно точек 0₁ и 0₂. Рассмотреть два случая: импульсы частиц различны по модулю и импульсы частиц одинаковы.

 

Z

 

О₁ b₁ b₂ О₂

L

 

Рис. 50

 

13.11.Тело массы 100 г брошено с некоторой высоты в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Найти приращение моментов импульса тела относительно точки бросания за 5 с.

 

13.12.Момент импульса частицы относительно некоторой точки А зависит от времени по закону . Найти относительно точки А момент силы, действующий на частицу. Чему равен момент силы М, когда угол между и равен 60⁰?

 

13.13.Частица массы m движется по окружности радиуса R так, что величина нормального ускорения зависит от времени по закону a_n= t⁴. Определить: 1.Момент импульса частицы и момент силы, действующей на нее, относительно точки О.2.Момент импульса и силы относительно осей x,y,z.3.Представить графики зависимостей моментов импульса и силы от времени.

 

13.14 Частица, положение которой относительно начала отсчета декартовой системы координат (точка 0) дается радиус-вектором (-2, 1, -5) (м), имеет импульс (1, 2, 3) (кгм/с). Определить: а) момент импульса частицы относительно точки 0; б) моменты импульса относительно осей x, y и z.