Прямолинейное равномерное движение

Задача

По прямолинейно дороге в одном направлении движутся велосипедист со скоростью 36 км/ч и мотоциклист со скоростью 72 км/ч. В момент начала наблюдения расстояние между ними было 250 м. Через сколько времени мотоциклист догонит велосипедиста?

I способ решения задачи (аналитический)

Дано: V1=36 км/ч V2=72 км/ч Х=250 м t=?

Перед тем, как начинать решать задачу, необходимо перевести числовые данные в систему СИ: = 10 (м/с)

= 20 (м/с)

Запишем алгоритм (метод) решения задачи:

1) совместим начало системы отсчета с мотоциклистом в начальный момент времени

2) на оси ох изобразим векторы скорости мотоциклиста и велосипедиста;

3) запишем уравнение движения (зависимость координаты тела от времени) велосипедиста и мотоциклиста:

или в проекциях на ось ох:

х₁ = 250 + 10t, т.к. х₀₁ = 250 м

х₂ = 20t, т.к. х₀₂ = 0

4) место встречи означает, что:

х₁ = х₂, т.е.

250 + 10t = 20t

t=25 с

II способ решения задачи (графический)

Запишем уравнение движения велосипедиста и мотоциклиста:

Х₁=250 + 10t

Х₂ = 20t

Построим графики этих зависимостей в одних и тех же координатах. Точка пересечения графиков и означает место их встречи. Из чертежа видно, что t=25 с.

 

2.1. Точка движется по прямой. При этом за любой интервал времени длительностью 1 с она проходит путь длиной 1 м. Можно ли утверждать, что точка движется равномерно?

 

2.2. Движение велосипедиста описывается уравнением х=150 -10t. Опишите характер его движения, найдите начальную координату, модуль и направление вектора скорости. В какой момент времени велосипедист проедет мимо школы, координата которой х=100 м? Нарисуйте график движения.

 

2.3. Точка движется с постоянной скоростью под углом к оси ох (рис.1). В начальный момент времени t=0 точка имела координаты (x₀, y₀). Написать уравнение движения точки и уравнение траектории.

y

y₀

 

0

x₀ x

 

Рис. 1

 

2.4. По оси ох движутся две точки: первая - по закону х₁= 10 + 2t, а вторая - по закону х₂= 4 + 5t. В какой момент времени они встретятся?

 

2.5. Поезд, вышедший в 12 ч дня из пункта А, движется со скоростью 60 км/ч. Поезд, вышедший в 2 ч дня из пункта В, движется со скоростью 40 км/ч навстречу первому поезду. Определить место встречи, если расстояние АВ равно 420 км.

 

2.6. По прямому шоссе в одном направлении движутся два мотоциклиста. Скорость первого мотоциклиста 10 м/с. Второй догоняет его со скоростью 20 м/с. Расстояние между мотоциклистами в начальный момент времени равно 200 м. Написать уравнение движений мотоциклистов в системе отсчета, связанной с землей, приняв за начало координат место нахождения второго мотоциклиста в начальный момент времени и выбрав за положительное направление оси ох направление движения мотоциклистов. Построить на одном чертеже графики движения обоих мотоциклистов время и место встречи мотоциклистов.

 

2.7. Автобус и мотоциклист движутся навстречу друг другу со скоростями, соответственно равными 10 и 20 м/с. Расстояние между ними в момент начала наблюдения равно 600 м. Считая, что ось ох направлена в сторону движения автобуса и при t=0 положение автобуса совпадает с началом отсчета написать для автобуса и мотоциклиста уравнение х=х(t). Найти:

а) время и место встречи автобуса и мотоциклиста;

б) расстояние между ними через 10 с;

в) положение мотоциклиста в тот момент времени, когда автобус проходит точку

с координатой 250 м;

г) в какие моменты времени расстояние между автобусом и мотоциклистом было

300 м.

 

2.8. Движение материальной точки задано уравнениями х= 2+t и у= 1 + 2t. Написать уравнение траектории и построить ее график на плоскости хОу.

 

2.9. Найти время и место встречи тел, графики движения которых приведены на рис.2.

x, м

 

10

120⁰

60⁰

0 t, с

 

-20

 

Рис.2

 

2.10. Радиус-вектор частиц задан уравнением:

 

 

Определить модуль и направление скорости, перемещение и его модуль за 10с, путь

за 10 с, построить траекторию частицы на плоскости хоу.

 

2.11. Скорость частицы задана уравнением:

 

Определить модуль скорости, перемещение и его модуль за 5 с, путь за 5 с.

 

2.12. Два автопоезда движутся навстречу друг другу по прямому шоссе со скоростями

72 км/ч и 54 км/ч. В некоторый момент времени они оказываются на расстоянии 40 и 30 км соответственно от середины узкого участка шоссе, на котором возможно только одностороннее движение. Длина этого участка 1,5 км. Помешают ли автопоезда друг другу при проезде этого участка?

 

2.13. Радиолокатор ГАИ засек координаты машины х₁=60 м и у₁=100м. Через 2 с координаты машины изменились х₂=100 м у₂=80 м. Превысил ли водитель автомашины допустимую скорость 60 км/ч?

 

2.14. Автомобиль двигался из А в В со скоростью 40 км/ч., а из В в А со скоростью 120 км/ч. Какова средняя скорость рейса?

 

2.15. Автомобиль проехал половину пути со скоростью 60 км/ч, оставшуюся часть пути он половину времени двигался со скоростью 15 км/, а последний участок - со скоростью 45 км/. Найти среднюю скорость автомобиля на всем пути.

 

2.16. Какую экспозицию нужно делать при фотографировании автомобиля, движущегося со скоростью 36 км/, чтобы его изображение на негативе не размылось, если для этого смещение изображения должно быть не более 0,1 мм? Длина автомобиля 3 м, а его изображение на негативе получается равным 1,5 см.

 

2.17. На листе бумаги начерчен прямой угол. Линейка, оставаясь все время перпендикулярной к биссектрисе этого угла, движется со скоростью 10 м/с. С какой скоростью движутся по сторонам угла их пересечения с линейкой?

 

2.18. По параллельным железнодорожным путям в одном направлении следует товарный поезд длиной 420 м со скоростью 10 м/с и электропоезд длиной 120 м со скоростью 30 м/с. В течение какого времени электропоезд обгонит товарный поезд? Решить задачу в системе отсчета, связанной с Землей.

 

2.19. По шоссе со скоростью 16 м/с движется автобус. Человек находится на расстоянии 60 м от шоссе и 400 м от автобуса. В каком направлении должен бежать человек, чтобы выйти к какой-либо точке шоссе одновременно с автобусом или раньше его? Человек может бежать со скоростью 4 м/с. При какой наименьшей скорости человек может встретить автобус? В каком направлении должен при этом бежать человек?

 

2.20. Человек, идущий с постоянной по величине и направлению скоростью V, проходит под фонарем, висящим на высоте H. Найти скорость перемещения края тени от головы человека, если его высоты h.

 

2.21. Из Ростова в Азов с интервалом 10 мин вышли два электропоезда со скоростями 30 км/ч. С какой скоростью двигался поезд, идущий в Ростов, если он повстречал эти электропоезда через 4 мин один после другого?

 

 

НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Задача

Автомобиль поехал первую половину пути со скоростью 10 м/с, а вторую половину пути со скоростью 15 м/с. Найти среднюю скорость на всем пути. Показать, что средняя скорость меньше среднего арифметического значения скоростей V₁ и V₂.

По определению средней скорости:

Рассмотрим рис.

S/2 S/2

=10 м/с =15 м/с

На первой половине пути движение равномерное, поэтому:

S/2= V₁t₁, t₁=

На второй половине пути движение также равномерное и поэтому:

S/2=V₂t₂, t₂=

Можем теперь записать:

Докажем, что средняя арифметическая скорость больше средней скорости. Для этого рассмотрим знак их разности; если разность больше нуля, то это утверждение верно.

, т. к.

и

Средняя скорость меньше средней арифметической, т.к. большая часть времени автомобиль ехал с меньшей скоростью.

 

 

3.1. По графику зависимости координаты тела от времени (рис.3) построить графики зависимостей ускорения, скорости и пути, пройденного телом, от времени. Начальная скорость равна нулю.

 

Рис. 3

 

3.2. Дан график зависимости скорости тела от времени (рис. 4). Построить графики зависимости пути и координаты от времени. Определить среднюю скорость за первые 2 и 5 с. Начальная координата равна нулю.

 

V(м/с)

 

3

 

 

0 2 4 6 t, c

 

 

-3

 

Рис. 4

 

3.3. Уравнения движения по шоссе велосипедиста, пешехода и бензовоза имеют вид: х₁= -0,4t²; х₂= 400 - 0,6t и х₃= -300. Найти для каждого из тел: координату в момент начала наблюдения, проекции на ось х начальной скорости и ускорения, а также направление и вид движения.

 

3.4. Человек, стоящий на краю высохшего колодца, бросает вертикально вверх камень, сообщая ему скорость 10 м/с. Через какой промежуток времени камень упадет на дно колодца? Глубина колодца 15 м. Найти путь за 3 с. Определить скорость в 3-ю секунду. Построить графики зависимости y(t), S(t), V(t), a(t).

 

3.5. Камень бросают с башни, сообщая ему начальную скорость, направленную вниз. 1) Какой она должна быть, чтобы камень за время 2 с опустился на 30 м? 2) Какой должна быть эта скорость, чтобы камень за 2 с опустился на 10 м?

 

3.6. Свободно падающее тело за последнюю секунду падения прошло 1/3 своего пути. Найти время падения и высоту, с которой упало тело.

 

3.7. Свободно падающее тело прошло последние 30 м за время 0,5 с. Найти высоту падения.

 

3.8. Частица движется вдоль оси х так, что зависимость ее координаты от времени дается графиком, изображенным на рис. 5. Определить характер движения частицы и привести график зависимости пройденного ею пути от времени. Где оказывается частица в момент времени t₅?

 

Рис.5

 

3.9. Начальная скорость частицы , конечная - . Найти: а) приращение скорости , б) модуль приращения скорости , в) приращение модуля скорости .

 

3.10. Радиус-вектор частицы определяется выражением: . Вычислить: а) путь, пройденный частицей за первые 10 с движения, б) модуль перемещения за то же время.

 

3.11.Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону: .

Найти: а) скорость и ускорение частицы, б) модуль скорости в момент времени t=1с.

 

3.12.Частица движется со скоростью . Найти: а) перемещение частицы за первые 2 с ее движения; б) модуль скорости в момент времени t=2 с.

 

3.13.Частица движется со скоростью . Найти:

а) модуль скорости частицы в момент времени t=1 с;

б) ускорение частицы и его модуль;

в) путь, пройденный частицей с момента t₁=2 с до момента t₂=3 с.

3.14.Радиус-вектор частицы меняется со временем по закону , где -постоянный вектора, - положительная постоянная. Найти:

а) скорость частицы и ее ускорение в зависимости от времени;

б) промежуток времени, по истечение которого частица вернется в исходную точку, а также путь, который она пройдет за это время.

 

3.15.Радиус-вектор точки А относительно начала координат меняется со временем по закону где и - постоянные. Найти:

а) уравнение траектории точки у =у(x); изобразить ее график;

б) зависимость от времени скорости точки, ускорения и модулей этих величин;

в) зависимость от времени угла между векторами ускорения и скорости.

 

3.16.Точка движется в плоскости ху по закону , где и - положительные постоянные. Найти:

а) уравнение траектории точки у(x); изобразить ее график;

б) скорость и ускорение точки в зависимости от времени;

в) момент времени t₀, когда угол между скоростью и ускорением равен

 

3.17.Компоненты скорости частицы изменяются со временем по законам , где и -константы. Найти модули скорости и ускорения, а также угол между векторами скорости и ускорения.

 

3.18.Зависимость координат движения частицы от времени имеет вид .

а) определить радиус-вектор частицы , скорость , ускорение , а также их модули.

б) вычислить скалярное произведение векторов и .

в) вычислить скалярное произведение векторов .

г) найти уравнение траектории, изобразить ее график и указать направление движения частицы по траектории.

 

3.19.Точка движется в плоскости ху по закону , где А и -положительные постоянные. Найти: а) путь, пройденный точкой за время ; б) угол между скоростью и ускорением точки.

 

3.20.По графику зависимости ускорения от времени (рис.6) построить графики зависимости , считая, что .

 

а(м/с²)

 

 

0 1 2 3 4 t (c)

 

-1

 

Рис. 6

 

3.21.Лодку с крутого берега тянут за веревку, выбирая ее с постоянной по модулю скоростью V. Найдите зависимость модуля скорости лодки от угла между веревкой и горизонтальным направлением.