Понятие моделирования. Математическое моделирование.

 

Процесс решения задач на ПК можно разбить на следующие этапы:

 

1. Постановка задачи

2. Разработка математической модели задачи

3. Выбор численного метода решения задачи

4. Разработка алгоритма решения задачи

5. Разработка программы

6. Отладка программы

7. Проведение расчётов и анализ полученных результатов.

 

Одной из основных областей применения ЭВМ были и остаются научно-технические и экономические задачи. Решение такой задачи начинается с её математической формулировки, должны быть описаны известные и неизвестные соотношения между ними, а также должна быть чётко сформулирована цель, какие величины или функциональные зависимости ищутся, такое описание называется математической моделью задачи или математической моделью исследуемого процесса или объекта.

Прежде всего, должны быть выявлены величины, существенным образом характеризующие данный процесс или объект с позиции рассматриваемой задачи. Нужно определить, какие из них нам известны или могут быть определены экспериментально, а какие мы должны вычислить.

Необходимо также выяснить какие из этих величин находятся между собой в функциональной зависимости, а какие нет. Функциональные зависимости могут быть известны нам с самого начала, например, соотношения, вытекающие из законов физики, или они могут подлежать определению. Информация о том, какие величины независимые друг от друга также могут быть очень ценны.

Далее между известными и неизвестными функциями, их производными и интегралами также существуют определённые соотношения (их необходимо выявить). Всё это вместе с чётким описанием цели и расчётов и составляет математическую модель. Но практически никогда нельзя утверждать, что модель содержит все факторы, влияющие на рассматриваемый объект или процесс.

Искусство математического моделирования состоит в умелом отборе тех факторов, без учёта которых результат вычислений не может быть верным, и отбрасывания тех, влияние которых на результат не существенен.

 

 

27.Метод деления отрезка пополам для решения уравнения вида f(x)=0

Допустим, что мы нашли отрезок , в котором расположено искомое значение корня , т.е. .

Пусть для определенности , (рис. 1.1). В качестве начального приближения корня принимается середина этого отрезка, т.е. . Далее исследуем значение функции на концах отрезков и . Тот из них, на концах которого принимает значения разных знаков, содержит искомый корень. Поэтому его принимаем в качестве нового отрезка. Вторую половину отрезка отбрасываем. В качестве первой итерации корня принимаем середину нового отрезка и т. д.

Рис. 1.1 Метод деления отрезка пополам.

Таким образом, после каждой итерации отрезок, на котором расположен корень,уменьшается вдвое, т.е. после итераций он сокращается в раз. Если длина полученного отрезка становится меньше допустимой погрешности, т.е. , счет прекращается. Значение корня принимается равным .

 

Алгоритм метода деления отрезка пополам.

 

Если f(a)f(х)<0, то выбираем: иначе: Если (b-a)>ε, то: Если (b-a)<ε, то печатаем х. Конец.

Программа (исходные данные: f(x), a, b, ε):

DEF FNF(X) = f(x)

NPUT a, b, eps

2 x=(a+b)/2

IF FNF(a)*FNF(x)<0 THEN b=x ELSE a=x

IF (b-a)>ε THEN 2

PRINT x, FNF(x)

END.

 

 

28) Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений вида f(x) =0

Суть метода состоит в том, что на k-й итерации в точке (xk, F(xk)) строится касательная к кривой y=F(x) и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом необязательно задавать отрезок [a, b], содержащий корень уравнения, а достаточно найти лишь некоторое начальное приближение корня x=x0. Если задан интервал изоляции корня[a,b], то за начальное приближение x0 принимается тот конец отрезка, на котором

F(x0)·F²(x0)> 0.

Уравнение касательной, проведенной к кривой y=F(x) в точке M0 с координатами x0 и F(x0), имеет вид:

y - F(x0) = F¢(x0)·(x-x0)

За следующее приближение корня x1 примем абсциссу точки пересечения касательной с ocью оx:x1 =x0 - F(x0) / F’(x0).

При этом необходимо, чтобы F’(x0) не равнялся нулю:

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения, как точки пересечения с осью абсцисс касательных, проведенных в точках M1, M2 ит.д. Формула для n+1-го приближения имеет вид:

xn+1 = xn - F(xn)/F’(xn).

Для завершения итерационного процесса можно использовать условия или .

Объем вычислений в методе Ньютона больше, чем в других методах,поскольку приходится находить значение не только функции F(x), но и ее производной. Однако скорость сходимости здесь значительно выше.

29) Метод простой итерации для решения уравнений вида f(x) =0

Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение необходимо привести к виду .

В качестве можно принять функцию , где М‑ неизвестная постоянная величина, которая определяется из условия сходимости метода простой итерации . При этом для определения M условие сходимости записывается в следующем виде:

или .

Если известно начальное приближение корня , подставляя это значение в правую часть уравнения , получаем новое приближение .

Далее подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение , получаем последовательность значений:

, ,..., , k = 1,2,...,n.

Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т.е. .