Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-12-21 | 316 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Переместительный (коммутативный) закон пересечения и объединения множеств.
Из определений пересечения и объединения множеств вытекает:
Определение. Для любых множеств А и В справедливо равенство: А Ç B = B Ç A и A È B = B È A.
2. Сочетательный (ассоциативный) закон пересечения и объединения множеств.
Определение. Для любых множеств А, В и С выполняются равенства:
(А Ç B) Ç С = A Ç (ВÇ С), (A È B) È С = A È (B È С).
Свойство ассоциативности для пересечения и объединения множеств не столь очевидно, как свойство коммутативности, и поэтому нуждается в доказательстве. Но прежде всего можно эти свойства проиллюстрировать при помощи кругов Эйлера. Рассмотрим, например, ассоциативное свойство пересечения множеств. Изобразим множества А, В и С в виде трех попарно пересекающихся кругов. (См. рис.3)
Рис. 3
3. Закон пересечения множеств: (А Ç B) Ç С = A Ç (ВÇ С)
В выражении (А Ç B) Ç С скобки определяют следующий порядок действий: сначала выполняется пересечение множеств А и В – оно показано на рисунке вертикальной штриховкой, а затем находят пересечение полученного множества и множества С. Если выделить множество С горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, будет изображать множество (А Ç B) Ç С.
Представим теперь наглядно множество A Ç (ВÇ С). (См. рис.4) В соответствии с указанным порядком действий сначала надо найти пересечение множеств В и С – на рисунке оно показано вертикальной штриховкой, а затем выполнить пересечение множества А с полученным множеством. Если отметить множество А горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет изображать множество A Ç (ВÇ С). Видим, что области, представляющие на рисунке множества (А Ç B) Ç С и A Ç (В Ç С), одинаковы, что и подтверждает справедливость свойства ассоциативности для пересечения множеств. Рис. 4.
|
Аналогично можно проиллюстрировать свойство ассоциативности и для объединения множеств.
Замечание. Важность ассоциативного свойства пересечения и объединения множеств состоит в следующем:
1) можно находить пересечение и объединение трех множеств, зная, как это делается для двух;
2) на основании этого свойства в выражениях (А Ç B) Ç С, A Ç (ВÇ С),(A È B) È С, A È (B È С) можно опускать скобки и писать А Ç B Ç С или A È B È С, что облегчает запись.
Рассмотрим строгое доказательство свойства ассоциативности одной из операций над множествами, например объединения, т.е. докажем, что для любых множеств А, В и С справедливо равенство (A È B) È С = A È (B È С).
Доказательство. Чтобы доказать равенство двух множеств, надо убедится в том, что каждый элемент множества (A È B) È С содержится в множестве A È (B È С), и наоборот.
1. Пусть х – любой элемент множества (A È B) È С. Тогда, по определению объединения, х Î A È B или хÎС.
Если х Î A È B, то, по определению объединения, х Î А или х Î В. В том случае, когда х ÎА, то, также по определению объединения, х Î A È (B È С).
Если х Î В, то имеем, что х Î B È С, а значит, х Î A È (B È С). Случай, когда х Î А и х Î В, сводится к рассмотренным. Таким образом, из того, что х Î A È B, следует, что х Î A È (B È С).
Если х Î С, то, по определению объединения, х Î В È С, и следовательно, х Î A È (B È С).
Случай, когда х Î A È B и х Î С, сводится к рассмотренным выше.
Итак, мы показали, что каждый элемент множества (A È B) È С содержится и в множестве A È (B È С), т.е. (A È B) È С Ì A È (B È С).
2. Пусть у - любой элемент множества A È (B È С). Тогда, по определению объединения, уÎА или уÎ B È С.
|
Если у Î А, то, по определению объединения, у ÎA È (B È С).
Если у Î B È С, то у Î B или уÎ С. В том случае, когда у Î B, то уÎ AÈB и, значит, уÎ (A È B) È С. Когда же у Î С, то у Î (A È B) È С. Случай, когда у Î В и у Î С, сводится к уже рассмотренным.
Итак, мы показали, что каждый элемент множества A È (B È С) содержится и в множестве (A È B) È С, т.е. A È (B È С) Ì (A È B) È С.
Согласно определению равных множеств заключаем, что (A È B) È С = A È (B È С), что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается и ассоциативное свойство пересечения множеств.
Замечание. Взаимосвязь пересечения и объединения множеств отражается в распределительных, или дистрибутивных, свойствах этих операций. Таких свойств два:
1. Пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А È B) Ç С = (А Ç С) È (ВÇ С).
2. Объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А Ç B) È С = (А È С) Ç (В È С).
Замечание. Если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение.
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!