Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-12-22 | 505 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Длина дуги lАВ (рис.1.13) равна lАВ = r Δ j, где Δ j измеряется в радианах. Разделив левую и правую части равенства на Δ t, получим
,
откуда v = rw. (1.21) В векторном виде связь линейной и угловой скорости запишется в виде:
Продифференцировав по времени левую и правую части уравнения (1.21), получим
В правой части мы имеем тангенциальное ускорение, а в левой произведение радиуса-вектора на угловое ускорение:
или в векторном виде:
. (1.22)
Вывод выражения для нормального (центростремительного) ускорения аn.
Пусть в момент времени t 1 точка находится в А (рис.1.15), ее скорость , в момент времени t 2 точка находится в В, скорость , так как она движется равномерно
= = v.
модуль перемещения материальной точки равен хорде АВ.
Рис. 1.15
Для определения изменения скорости параллельно перенесем вектор в точку А. Тогда . Треугольники v1 A v2 и AOB подобны, так как они равнобедренные и углы при вершинах равны, как углы между взаимно перпендикулярными сторонами ( и ). Следовательно,
D s / r = Dv/v.
Разделим на D t левую и правую части равенства и перейдем к пределу при D t ® 0:
.
Предел в левой части равенства определяет скорость, а правой – ускорение:
,
отсюда
an = v2/ r. (1.23)
При D t ® 0 Dj ® 0, следовательно, вектор перпендикулярен и направлен к центру окружности.
Примеры решения задач
Рассмотрим в качестве примера задачу о движении тела, брошенного со скоростью v0 под углом a к горизонту. Такое движение называется баллистическим движением.
Даны начальная скорость и угол a, ускорение тела постоянно и равно ускорению свободного падения . Определим: 1) уравнение движения; 2) траекторию движения; 3) время полета t п; 4) дальность полета l; 5) максимальную высоту подъема h max; 6) an и a t в начальной точке траектории и в наивысшей точке подъема; 7) радиусы кривизны траектории в этих точках.
|
1) Движение происходит в плоскости хОу (рис.1.16). В начальный момент времени, t = 0, тело находилось в начале координат, т.е. в точке О.
Рис. 1.16
Движение происходит с постоянным ускорением свободного падения.
Тогда уравнение движения имеет вид:
.
В проекциях на оси Ох и Оу имеем:
х = v0 x t = v0 t cos a; (1.24)
y = v0 y t – gt 2/2 = v0t sin a – gt 2/2. (1.25)
Согласно закону независимости движений это движение можно представить как сумму двух движений: равномерного движения вдоль оси О х и равноускоренного вдоль оси О у.
Скорость вдоль оси Ох остается постоянной и равной проекции начальной скорости
v x = v0 x = const. (1.26)
Движение по оси О у равноускоренное с постоянным ускорением ау = - g и начальной скоростью v0у = v0 sin a. Изменение проекции скорости происходит по закону:
v y = v0 y – gt, (1.27)
2) Найти траекторию движения – это значит найти аналитическое уравнение кривой, по которой движется тело в пространстве, т.е. у (х).
Из (1.19) t = x /v0 cos a, подставим в (1.25):
y = x tg a – . (1.28)
Уравнение (1.23) – уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, центр параболы смещен относительно начала координат (рис.1.16).
3) Воспользуемся формулой (1.25) для определения времени полета тела. (рассмотрение движения вдоль оси О х не позволит определить время полета, так как вдоль этой оси тело могло бы равномерно двигаться сколь угодно долго.) Приравняв у = 0 (координата тела по О у в начале и конце полета), получим:
t (v0 sin a – gt /2) = 0,
t 1 = 0, t 2 = (2v0/ g) sin a. (1.29)
Искомое время полета t п = (2v0/ g) sin a.
4) Так как вдоль оси О х движение равномерное и известно время движения (1.29), то
x max = l = v0 x t п = (v0 cos a · 2v0 sin a)/ g = . (1.30)
5) Максимальную высоту подъема тела можно определить из формулы (1.28), подставив в нее время подъема t под, которое можно определить по формуле (1.27), из условия, что vy в наивысшей точке подъема равно 0:
0 = v0 y – gt под,
t под = (v0/ g) sin a.
Таким образом,
y max = h max = v0 yt под – = ,
|
h max = . (1.31)
Максимальную высоту подъема в этом случае можно также найти из следующих соображений. Парабола – симметричная кривая. Зная дальность полета, можно определить х -координату наивысшей точки подъема:
х = l /2 = sin a cos a.
Тогда, подставив х в уравнение траектории, получим
h max = ,
h max =
6) Чтобы найти нормальную и тангенциальную компоненты ускорения, воспользуемся тем, что тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории движения, а нормальное – по нормали к ней. Полное же ускорение, с которым движется тело во всех точках, одинаково и равняется ускорению свободного падения . Раскладываем на две составляющие в точках O и А (рис.1.17).
Рис.1.17
В точке O
a 0t = g sin a, a 0 n = g cos a.
В точке А
a t А = 0, anА = g.
Нормальное ускорение определяется по формуле
а n = v2/R,
где R – радиус кривизны траектории в данной точке, т.е. радиус окружности, часть дуги которой совпадает с траекторией в данной точке. Отсюда R = v2/ a n.
В точке O
v = v0, a n = g cosa,
тогда R 0 =
В точке А v y = 0, скорость имеет только x -компоненту:
vA = v0 x = v0cos a,
а нормальное ускорение в точке А (a n = g). Отсюда
RA = .
Задачи для самостоятельного решения
1. Мяч бросили вертикально вверх со скоростью v0 = 5 м/с с высоты
h = 1,5 м. Определите: 1) время полета мяча до его падения на землю t пол; 2) максимальную высоту подъема h max; 3) конечную скорость vк.Большинство задач на криволинейное движение является частным случаем этой общей задачи.
2. Определите полное ускорение автомобиля в конце поворота радиусом 10 м на угол 90°. Скорость в начале поворота v1 = 72 км/ч, в конце v2 = 36 км/ч. Считать касательное ускорение постоянным.
3. Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом 60° к горизонту. Определите, на какой высоте касательное (тангенциальное) ускорение тела станет равным его центростремительному (нормальному) ускорению?
4. Вычислите угловую и линейную скорости орбитального движения спутника Земли, если период его обращения 121,16 мин, а высота полета 1700 км.
5. На наклонную плоскость с углом у основания 30° с высоты 1 м падает мяч. Длина наклонной плоскости 10 м. Сколько раз мяч ударится о наклонную плоскость, прежде чем соскочит с нее? Удар считать упругим.
6. Под углом 60° к горизонту бросают камень со скоростью 19,6 м/с. Определите центростремительное и касательное ускорения через 0,65 с после начала движения.
|
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!