Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-12-22 | 263 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
При решении многих практических задач приходится иметь дело с событиями, вероятность которых весьма мала, г. е. близка к нулю. Можно ли считать, что маловероятное событие А в единичном испытании не произойдет? Такого заключения сделать нельзя, так как не исключено, хотя и мало вероятно, что событие А наступит.
Казалось бы, появление или непоявление маловероятного события в единичном испытании предсказать невозможно Однако длительный опыт показывает, что маловероятное событие в единичном испытании в подавляющем большинстве случаев не наступает На основании этого (|>акта принимают следующий «принцип практической невозможности маловероятных событий»: если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит.
Естественно возникает вопрос: насколько малой должна быть вероятность события, чтобы можно было считать невозможным его появление в, одном испытании? На этот вопрос нельзя ответить однозначно. Для задач, различных по существу, ответы будут разными. Например, если вероятность того, что парашют при прыжке не раскроется, р.шиа 0,01, то было бы недопустимым применять такие парашюты. Если же вероятность того, что поезд дальнего следования прибудет с опозданием, равна 0,01, то можно
практически быть уверенным, что поезд прибучет вовремя.
Достаточно малую вероятность, при которой (в данной определенной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровней значимости. На практике обычно принимают уровни значимости, заключенные между 0,01 ii 0,05. Уровень значимости, равный 0,01, называют однопроцентным; уровень значимости, равный 0,02, называют двухпроцентным и г. д.
|
Подчеркнем, что рассмотренный здесь принцип позволяет делать предсказания не только о событиях, имеющих малую вероятность, но и о событиях, вероятность которых близка к единице. Действительно, если событие А имеет вероятность близкую к нулю, то вероятность противоположного события /4 близка к единице. С другой стороны, непоявление события А означает наступление противоположного события.1. Таким образом, нз принципа невозможности маловероятных событии вытекает следующее важное для приложении следствие: если случайное событие имеет вероятность очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит. Разумеется, н здесь ответ на вопрос о том, какую вероятность считать близкой к единице, зависит от существа задачи.
Б-9 Теоремы умножения вероятностей.
ошибка-пересечение (2.9)
Вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого (правило умножения вероятностей).
Правило умножения вероятностей может быть обобщено на случай произвольного числа событий
(2.10)
т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.
Событие A называется независимым от события B, если его вероятность не зависит от того, произошло событие B или нет, т.е. P(B / A)=P(B).
Для независимых событий правило произведения вероятностей принимает вид:
.(2.11)
Несколько событий A1, A2, …, An называются независимыми, если любое из них не зависит от любой комбинации (произведения) любого числа других. Для независимых событий правило умножения принимает вид:
(2.12)
или
(2.13)
т.е. вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Заметим, что если имеется несколько событий A1, A2, …, An, то их попарная независимость (т.е. независимость любых двух событий Ai и Aj, i≠j) еще не означает их независимости в совокупности.
|
Б-11 Следствия из формулы Бернулли.
1. Вероятность того, что событие А наступит менее k раз
(4.2)
2. Вероятность того, что событие наступит более k раз
(4.3)
3. Вероятность того, что в n опытах схемы Бернулли, событие А появится от k1 до k2 раз
. (4.4)
4. Вероятность того, что в n опытах событие А появится хотя бы один раз, определяется формулой
(4.5)
Число к0, которому соответствует максимальная биномиальная вероятность , называется наивероятнейшим числом появления события А. При заданных n и p это число определяется неравенствами: .
Б-12 Формула Пуассона
При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:
– среднее число появлений события в n испытаниях.
Эта формула дает удовлетворительное приближение для и . При больших рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа). Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).
Б-13
Теорема Муавра — Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Если при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события Е равна р (0<р<1) и m — число испытаний, в которых Е фактически наступает, то вероятность неравенства близка (при больших n) к значению интеграла Лапласа.
Рассмотрим задачу: монету подбрасывают 200 раз. Необходимо вычислить вероятность появления герба в 90 испытаниях. Применим формулу Бернулли:
Видим, что вычислить по данной формуле требуемую вероятность довольно сложно из-за громоздких вычислений. Рассмотрим методы вычислений, дающие возможность с довольно высокой точностью найти вероятность в подобных случаях. Первый из них описан в теореме Муавра- Лапласа. Эта теорема дает приближенную формулу для вычисления вероятности появления события А в схеме повторных испытаний, когда нужно вычислить появление события А ровно т раз из п испытаний.
|
Теорема Муавра- Лапласа: Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаниях равна р и отлична от 0 и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Рп(т)того, что в п испытаниях событие А наступит т раз, приближенно равна значению функции
где
Б-14 Интегральная теорема Муавра- Лапласа: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Рп(т1, т2) того, что событие А появится в п испытаниях от т1 до т2 раз. Приближенно равна определенному интегралу
где
Данный интеграл называется функцией Лапласа и обозначается Ф(х).
Б-15 Следствия из интегральной теоремы Муавра—Лапласа (с выводом). Примеры.
Пусть выполнили условие применимости интегральной теоремы М.Лапласа, тогда: 1)Вероятность того, что число m наступлений события А в n испытаниях отличается от величины np не более, чем на эпсило (E) (по абсолютной величине) вычисл. по след. формуле:
2)Вер-ть того что частость (доля) m/n наступлений событий А в n испытаниях отличается от вер-ти р не более чем на D (по абсолютной величине) вычисл. По след. формуле
Б-16 Производящая функция последовательности f 0, f 1..., fn... функция
(в предположении, что этот степенной ряд сходится хотя бы для одного значения t ≠ 0). П. ф. называют также генератрисой. Последовательность f 0, f 1..., fn... может быть как числовая, так и функциональная; в последнем случае П. ф. зависит не только от t, но и от аргументов функций fn. Например, если fn = aqn где а и q — постоянные, то П. ф.
если fn — Фибоначчи числа; f 0 = 0, f 1 = 1, f n+2= f n+1+ f n, то П. ф.
если f n = Т n(х) — Чебышева многочлены: T 0(х)= 1, T n (х)= cos (n arc cos x), то П. ф.
и т.д. Знание П. ф. последовательности часто облегчает изучение свойств последней. П. ф. применяются в теории вероятностей, в теории функций и в алгебре (в теории инвариантов). Впервые метод П. ф. был применен П. Лапласом для решения некоторых проблем теории вероятностей.
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!