Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-12-21 | 238 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Классический метод поиска безусловного экстремума функции является методом решения ЗНЛП простейшего класса – ЗНЛП без ограничений:
В основе метода лежат сформулированные выше теоремы о необходимых и достаточных условиях существования безусловного экстремума. Метод применим только для "достаточно гладких" (дважды непрерывно дифференцируемых функций). Метод состоит в выполнении следующих шагов.
Шаг 1. Решить уравнение (или систему уравнений ) и найти множество ее решений – стационарных точек (подозрительных на экстремум).
Шаг 2. Установить, пользуясь теоремой об условиях определенности матрицы (критерием Сильвестра), тип определенности матрицы Гессе в каждой стационарной точке функции , и на основе этого сделать вывод о существовании и типе экстремума.
Замечание 2.2. Решение системы уравнений на первом шаге представляет собой отдельную, во многих случаях достаточно сложную задачу. Производные целевой функции нередко оказываются нелинейными функциями, а решение системы нелинейных уравнений аналитическими методами возможно не всегда. Поэтому иногда для выявления стационарных точек на первом шаге приходится применять так называемые численные методы (см., например, метод Ньютона-Рафсона, описанный ниже).
Замечание 2.3. Если при реализации классического метода матрица Гессе в стационарной точке не является ни положительно, ни отрицательно определенной, то тогда необходимо более детальное исследование поведения функции в этой точке (например, разложение по формуле Тейлора и анализ этого разложения).
Пример 2.2. Прибыль P некоторой фирмы определяется как
,
где расходы на производство; и расходы на рекламу по радио и телевидению соответственно. Требуется в условиях отсутствия ограничений на производственные и рекламные затраты определить максимально возможную прибыль, а также значения аргументов обеспечивающие этот максимум.
|
Решение. Необходимо решить ЗНЛП без ограничений:
.
Целевая функция является дифференцируемой, поэтому в данном случае применим классический метод решения. Реализуя этот метод, имеем:
шаг 1. Из условия получаем систему линейных уравнений
По теореме Крамера система имеет единственное решение – единственную стационарную точку . Только в этой точке может быть экстремум.
шаг 2. Для определения типа экстремума вычисляем матрицу Гессе и устанавливаем ее определенность в стационарной точке. Имеем
.
Таким образом, матрица Гессе функции в стационарной точке есть
Установим тип определенности . Для главных ее миноров имеем
; ; .
По теореме об условиях определенности матрицы (критерию Сильвестра) найденная матрица Гессе является отрицательно определенной. Следовательно, стационарная точка есть точка максимума. Искомые значения обеспечивающие максимум прибыли, равны . Максимальная прибыль при этом оказывается равной
.
Задачи
Классическим методом исследовать на экстремум следующие функции и найти (если они есть) все их экстремальные точки:
49. . 50. .
51. . 52. .
53. . 54. .
55. , .
56. . 57. .
58. .
59. .
60. Прибыль P фирмы определяется функцией
где и значения факторов производства. Определить максимальную прибыль, а также значения факторов производства, обеспечивающие этот максимум.
61. Прибыль P некоторой фирмы определяется функцией
где и значения факторов производства. Определить максимальную прибыль, а также значения факторов производства, обеспечивающие этот максимум.
61. Издержки приходящиеся на единицу выпускаемой продукции, выражается функцией:
где – количество (объем выпуска) этой продукции. При каком объеме выпуска суммарные издержки будут минимальными?
|
62. Определите оптимальный для потребителя объем блага если известно, что функция полезности индивида от обладания этим благом имеет вид:
1) 2) 3)
63. Краткосрочные общие затраты (издержки) ТС конкурентной фирмы описываются формулой При каком уровне рыночной цены эти издержки будут минимальными?
64. Автомобиль расходует
бензина на 100 км пути, где – скорость автомобиля (км/час); заданные коэффициенты, зависящие от его ходовых свойств. Определить крейсерские[2] скорости автомобилей приведенных в таблице марок.
Марка автомобиля | Значения ходовых коэффициентов | |||
a | b | c | k | |
ГАЗ 31010 | 0,142 | 0,0052 | ||
BMW | 0,112 | 0,0042 | ||
Volvo | 0,121 | 0,0047 |
65. Две деревни А и В расположены на берегу реки на расстоянии кмдруг от друга, третья деревня С находится на той же стороне реки и удалена от деревень А, В на расстояния соответственно и км. Русло реки в окрестностях деревень прямолинейно. В каком месте следует построить пристань, чтобы сумма расстояний от пристани до деревень была бы наименьшей?
66. В городе должен быть построен депозитарий крови. Потребителями крови являются три госпиталя, расположенные в точках с координатами, указанными в таблице:
Госпитали | Расстояние от базовой точки (км) | |
На восток | На север | |
Госпиталь №1 | ||
Госпиталь №2 | ||
Госпиталь №3 |
Частота обращений за кровью для всех госпиталей одинакова. Определить точку расположения депозитария из критерия минимизации суммарной длины пути по доставке крови в госпитали города.
67. Добываемая в карьере руда автотранспортом поставляется на металлургический комбинат. В 30 км от карьера проходит железная дорога, ведущая (по прямой) на металлургический комбинат. Стоимость перевозки 1 т. руды на 1 км для автотранспорта руб., для железнодорожного транспорта 2 руб. В каком месте на железной дороге следует построить станцию для перегрузки руды и отправки далее на комбинат по железной дороге? Расстояние от ближайшей к карьеру точки железной дороги до комбината равно 300 км.
68. Берега некоторого морского пролива описывается параболой и прямой Определить координаты точек на берегах, для которых мост, связывающий эти точки, будет иметь наименьшую длину. Какова будет длина такого моста?
69. Автомобильная горная дорога между пунктами А и В описывает траекторию а другая дорога между пунктами С и D проходит по прямой Требуется построить связывающий указанные дороги путепровод, по возможности наиболее короткий. Таким образом, задача состоит в определении точек на дорогах, для которых отрезок, связывающий эти две точки, имеет наименьшую длину.
|
70. Морская береговая линия описывается кривой а судоходный канал проходит по прямой Определить кратчайшее расстояние между морем и каналом, а также координаты точки на морском берегу и на канале, определяющие это кратчайшее расстояние.
71. Расходы топлива теплоходом пропорциональны кубу его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/ч расходы на топливо составляют 30 руб. в час, остальные же расходы (не зависящие от скорости) составляют 480 руб. в час. При какой скорости парохода общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей? Какова будет при этом общая сумма расходов в час?
72. Функция выручки фирмы квадратично зависит от объема продукции
Функция издержек имеет кубическую зависимость от
Определить максимальную прибыль фирмы, а также объем выпуска продукции, обеспечивающий эту прибыль.
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ-РАВЕНСТВАХ
В данном разделе рассматривается оптимизационная ЗНЛП вида
(3.1)
; , (3.2)
которая в более компактной векторной форме записи имеет вид
(3.3)
Здесь: – целевая функция; – ее векторный аргумент (вектор неизвестных); – вектор-функция ограничений; – заданный вектор правой части ограничений.
Метод множителей Лагранжа
3.1.1. Назначение и обоснование метода
Метод множителей Лагранжа предназначен для решения ЗНЛП типа (3.1)-(3.2), которая в развернутой форме записи имеет вид
(3.4)
(3.5)
Для безусловного экстремума, когда ограничений нет, и экстремум ищется на всем пространстве, необходимым условием существования экстремума является условие . В случае одного условия область ограничений состоит из поверхности ; градиент целевой функции в точке экстремума должен быть ортогонален к этой поверхности. В противном случае в касательной плоскости существует направление, вдоль которого производная от функции отлична от нуля (тогда и производная вдоль кривой на поверхности, касающейся этого направления, отлична от нуля). Поэтому, вследствие ортогональности градиента в точке экстремума к поверхности , при некотором должно выполняться
|
,
иначе говоря, при некотором
.
В случае нескольких ограничений в виде системы уравнений, когда допустимое множество представляет собой поверхность
,
градиент должен лежать в нормальной плоскости к поверхности, то есть в плоскости, «натянутой» на векторы
.
Следовательно, при некоторых Имеем,
,
то есть
,
что является необходимым условием существования экстремума.
Это условие и ложится в основу метода множителей Лагранжа.
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!