Использование понятия полезности при определении размеров риска.

На принятие решения оказывают большое влияние субъективные качества лица, принимающего решение (ЛПР), такие как:

• финансовое состояние ЛПР;

• отношение ЛПР к риску вообще;

• настроение или состояние здоровья ЛПР;

• множество других, даже непосредственно не относящихся к бизнесу

причин.

 

Теория полезности позволяет ЛПР влиять на денежный результат исходов согласно своим оценкам их полезности. Каждый может приспосабливать процесс принятия решения к своим запросам.

Пример 4. Для примера рассмотрим два варианта инвестиций 1000 руб.

 

По первому варианту без риска можно получить 10% прибыли на вложенный капитал, по второму варианту можно, либо потерять весь капитал с вероятностью 0.6, либо его удвоить с вероятностью 0.4.

В первом случае гарантированный выигрыш составит 100 руб., во втором случае средний выигрыш равен 0×0.6+1000×0.4=400 руб.

Относительно получаемого среднего выигрыша вторая альтернатива явно предпочтительна, и если игрок безразличен к риску, он ее и выберет. Если он к риску не безразличен, а подавляющее число людей именно таковыми и являются, то выбор будет зависеть главным образом от финансового состояния игрока. Игроки, имеющие скромный денежный доход, предпочтут не рисковать, и выберут гарантированный доход в 100 руб. Для игрока, обладающего достаточно крупным капиталом, проигрыш

1000 руб. невелик, и он предпочтет рискнуть. Рисковать будут также игроки, патологически склонные к финансовым авантюрам.

Таким образом, каждый игрок по-разному оценивает полезность того или иного исхода. Американскими учеными Дж. Нейманом и О.

Моргенштерном была предложена методика численного определения функции полезности, и было показано, что игрок при принятии решения (выбор альтернативы) будет стремиться к максимизации ожидаемой полезности, которая вычисляется как математическое ожидание полезностей всех исходов, составляющих данную альтернативу.

Процедура построения индивидуальной функции полезности U(x)

 

состоит из двух этапов.

 

Этап 1. Присваиваются произвольные значения полезностей выигрышам для худшего (хmin) и лучшего (xmax) исходов (например, U(xmin)=0 и U(xmax)=100). Тогда полезности промежуточных выигрышей будут находиться в интервале от 0 до 100.

Этап 2. Игроку предлагается на выбор: получить некоторую гарантированную сумму v, находящуюся между хmin и xmax, либо принять участие в игре, в которой с вероятностью р выигрывается сумма xmax и с вероятностью (1 – р) сумма хmin. При этом вероятность р меняется до тех пор, пока игрок станет безразличным в отношении к выбору между получением гарантированной суммы v и игрой. Пусть указанное значение вероятности равно р0. Тогда

U(v)= р0U(xmax)+ (1 – р0)U(xmin).

 

Таким образом, строится функция полезности для любого v.

 

В общем случае график функции полезности может быть трех типов

 

(рис. 1).

 

U U U

 

а б в

 

Рис. 1. Типы функций полезности Неймана – Моргенштерна для игрока, не склонного к риску (а), безразличного к риску (б), склонного к риску (в).

В рассмотренном выше примере xmin= –1000, а xmax =1000. Пусть U(xmin)=0 и U(xmax)=100. Необходимо оценить полезность гарантированного выигрыша v=100. Если игрок (средне обеспеченный) согласен принять участие в игре (выиграть 1000 с вероятностью р или проиграть 1000 с вероятностью (1 – р)) вместо гарантированного выигрыша в 100 руб. при условии, что р не менее 0.8, значит р0=0.8 и U(100)=0.8×100+0.2×0 =80.

Ожидаемая полезность первой альтернативы будет равна 80, а ожидаемая полезность второй альтернативы 0.6×0+0.4×100=40, то есть для данного игрока предпочтительнее первая (безрисковая) альтернатива. В данном случае это решение прямо противоположно выбору, сделанному на основе критерия ожидаемого дохода, из-за учета риска, связанного с возможным исходом инвестиций по второму варианту.

Тема 3. Дерево решений.

 

Выше мы рассматривали задачи, имеющие одно множество альтернативных решений и одно множество состояний среды. Многие задачи, однако, являются многоэтапными, когда одна совокупность стратегий игрока и состояний среды порождает другое состояние подобного типа, т.е. появляется целая цепочка решений, вытекающих одно из другого.

Дерево решений – это графическое изображение последовательности решений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и выигрышей для любых комбинаций альтернатив и состояний среды.

3.1. Некоторые задачи принятия решений и примеры использования деревьев решений.

Пример 5. Руководство некоторой компании решает, создавать ли для выпуска новой продукции крупное производство, малое предприятие или продать патент другой фирме. Размер выигрыша, который компания может получить, зависит от благоприятного или неблагоприятного состояния

рынка (табл. 11).

 

Таблица 11

 

Номер стратегии	Действия компании	Выигрыш, при состоянии рынка
благоприятном	неблагоприятном
	крупное производство	200 000	– 180 000
	малое предприятие	100 000	– 20 000
	продать патент	10 000	10 000

 

 

На основе данной таблицы строим дерево решений (рис 2.).

 

Крупное производство 1

благоприятное 200 000

состояние рынка

 

неблагоприятное

–180 000

 

алое предприятие     неблагоприятное

благоприятное

3

 

М

 

 

100 000

 

 

 

 

Продать патент

 

 

Рис. 2. Дерево решений примера 5.

–20 000

 

 

10 000

Обозначения: – решение принимает игрок, – решение «принимает»

 

случай, – ожидаемая денежная оценка (ОДО) исхода.

 

Процедура принятия решения заключается в вычислении для каждой вершины дерева (при движении справа налево) ожидаемых денежных оценок, отбрасывании неперспективных ветвей и выборе ветвей, которым соответствует максимальное значение ОДО.

Определим ожидаемую денежную оценку (ОДО) каждой вершины нашего дерева. Так как нам ничего не известно о вероятности благоприятного или неблагоприятного состояния рынка, то, согласно принципу неопределенности Лапласа, примем вероятность этих исходов равной 0.5, тогда

• для вершины 1 ОДО1=0.5×200000+0.5× (–180 000)=10000;

• для вершины 2 ОДО2=0.5×100000+0.5× (–20 000)=40000.

Таким образом, в вершине 3 целесообразно выбрать стратегию строить малое предприятие, ОДО этого (наилучшего) решения равна

40000.

 

Усложним пример 5.

Пусть перед принятием решения о строительстве руководство компании может обратиться к специализированной фирме, которая проведет исследование состояния рынка и уточнит вероятности исходов (за 10000 руб.). Возможности фирмы в части достоверности ее прогнозов

представлены в табл. 12.

 

Таблица 12

 

Прогноз фирмы	фактически
благоприятный	неблагоприятный
благоприятный	0.78	0.22
неблагоприятный	0.27	0.73

 

 

Например, когда фирма выдает прогноз, что рынок будет благоприятный, то этот прогноз оправдывается с вероятностью 0.78.

Предположим, что фирма выдала следующий прогноз:

• рынок будет благоприятный с вероятностью 0.45;

• рынок будет неблагоприятный с вероятностью 0.55.

На основании дополнительных сведений строим новое дерево решений

 

(рис 3.).

 

Крупное производство	1 благоприятное	200 000
	состояние рынка

 

3 Малое предприятие 2

(0,5)

неблагоприятное

(0,5) –180 000

 

благоприятное

 

Не проводить обследование

40000 (0,5) 100 000

40000 неблагоприятное –20 000 (0,5)

Продать патент 10 000

 

 

 

 

Крупное производство 4

 

 

благоприятное 200 000

116400 состояние рынка

(0,78)

неблагоприятное

(0,22) –180 000

 

Прогноз Малое предприятие благоприятное

благоприятный

 

73600

5 (0,78) 100 000

(0,45) 116400 неблагоприятное –20 000 (0,22)

Продать патент

Проводить 10 000

обследование 10

– 10000

 

– 77400 состояние рынк   (0,27) неблагоприятное (0,73)

Крупное производство благоприятное 200 000

а

 

 

 

Прогноз Малое предприятие благоприятное

–180 000

неблагоприятный 9

(0,55)

8 (0,27) 100 000

12400 неблагоприятное –20 000 (0,73)

Продать патент

 

10 000

 

Рис. 3. Дерево решений при дополнительном обследовании рынка

 

(в скобках показаны вероятности исходов)

 

Определим теперь ожидаемую денежную оценку (ОДО) каждой вершины нового дерева. Как и прежде

• для вершины 1 ОДО1=0.5×200000+0.5× (–180 000)=10000;

• для вершины 2 ОДО2=0.5×100000+0.5× (–20 000)=40000;

• для вершины 4 ОДО4=0.78×200000+0.22× (–180 000)=116400;

• для вершины 5 ОДО5=0.78×100000+0.22× (–20 000)=73600;

• для вершины 7 ОДО7=0.27×200000+0.73× (–180 000)= – 77400;

• для вершины 8 ОДО8=0.27×100000+0.73× (–20 000)=12400.

Значит, для вершины 3 выбираем ОДО3=40000,

 

для вершины 6 выбираем ОДО6=116400,

 

для вершины 9 выбираем ОДО9=12400,

 

тогда ОДО10=0.45×116400+0.55×12400=59200,

 

и ОДО11=59200 – 10000=49200.

 

Анализируя дерево решений, можно сделать следующие выводы:

• целесообразно проводить дополнительное обследование состояния рынка, ОДО этого решения равна 49200 (с учетом стоимости затрат на обследование), тогда как без обследования только 40000;

• если прогнозируется благоприятная ситуация на рынке, то необходимо строить большое предприятие (ОДО=116400), если прогноз

 

неблагоприятный – малое предприятие (ОДО=12400).

 

В условиях данного примера рассчитаем ожидаемую ценность достоверной информации (см. 2.4). При отсутствии точной информации ОДО=40000. Если точная информация о состоянии рынка будет благоприятной, то необходимо строить большое предприятие (ОДО=200000), если неблагоприятной, то целесообразно продать патент (ОДО=10000). Предполагая, до обращения к экспертам, что вероятности благоприятной и неблагоприятной ситуаций равны 0.5, вычисляем ОДО точной информации

ОДОт.и = 0.5×200000+0.5×10 000)=105000.

 

Тогда ожидаемая ценность достоверной информации равна

105000 – 40000=65000.

 

Это значение показывает, какую максимальную цену может заплатить компания за точную информацию об истинном состоянии рынка.