Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-12-20 | 399 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля определителя, который можно построить из элементов данной матрицы.
Обозначение ранга матрицы А:
rang(A) = r (где r – число).
Можно дать другое определение ранга, сформулированное с помощью понятия минора. Для этого введем понятие минора матрицы.
Если в матрице Аmxn выбрать произвольно s строк и s столбцов
(0 £ s £ min (m,n)), то определитель матрицы, полученный на пересечении выбранных строк и столбцов, называется минором порядка s данной матрицы. Тогда ранг матрицы определяют как наибольший из порядков её миноров (r), отличных от нуля, а любой минор порядка r, отличный от нуля, называется базисным минором.
Приведем простые примеры вычисления ранга матрицы:
1)rang , 2) rang 3) rang .
Свойства ранга матрицы
1. Для матрицы Аmxn ранг матрицы может меняться в пределах:
0 £ rang £ min (m,n).
2. rang = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю.
3. Для квадратной матрицы Аn ранг равен n (rang(A) = n) тогда и только тогда, когда матрица Аn – невырожденная.
4. Ранг матрицы не меняется при транспонировании матрицы.
5. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях матрицы.
Элементарными преобразованиями матрицы являются:
1. Перестановка местами любых двух строк (столбцов) матрицы.
2. Умножение каждого из элементов какой-либо строки (столбца) на число, отличное от нуля.
3. Прибавление к каждому элементу какой-либо строки (столбца), соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.
Вычисление ранга матрицы
Перечислим основные способы вычисления ранга матрицы:
1. Простой перебор определителей.
2. Метод окаймляющих миноров.
|
3. Метод элементарных преобразований – приведение с помощью элементарных преобразований матрицы А к трапециевидной матрице А¢ того же ранга.
Простой перебор определителей
Рассмотрим использование данного способа на конкретном примере.
Пример 2. Вычислить ранг матрицы .
Решение.
Вычислим все определители третьего порядка, которые могут быть построены из элементов данной матрицы.
, , , .
Все определители 3-го порядка оказались равны нулю (подматрицы третьего порядка вырождены). Перейдем к вычислению определителей второго порядка.
.
Так как определитель (подматрица второго порядка не вырождена), то ранг матрицы по определению равен двум:
.
Ответ: r = 2.
Метод окаймляющих миноров
Пусть в матрице найден минор к-го порядка М, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (к+1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен к. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (к+1)-го порядка, и вся процедура повторяется.
Пример 3. Найти ранг матрицы .
Решение.
Фиксируем минор 2-го порядка, отличный от нуля:
.
Минор 3-го порядка, окаймляющий минор М2, также отличен от нуля:
.
Однако, оба минора 4-го порядка, окаймляющие М3, равны нулю:
М4 = , М4 = .
Поэтому ранг матрицы равен трем (r = 3).
Ответ: r = 3
Метод элементарных преобразований
Метод элементарных преобразованийоснован на том факте, что элементарные преобразования не меняют её ранга. Используя эти преобразования, любую матрицу можно привести к трапециевидному виду, или к такому виду, когда все её элементы, кроме главных диагональных элементов , равны нулю.
Удобно, когда главные диагональные элементы трапециевидной матрицы равны единице, т.е. трапециевидная матрица имеет вид:
.
Тогда ранг матрицы равен числу главных диагональных элементов (в данном случае – единиц), отличных от нуля.
Пример 4. Найти ранг матрицы .
Решение.
Приведем исходную матрицу к трапециевидной форме.
|
® ® ® ® .
Число единиц, стоящих на главной диагонали полученной трапециевидной матрицы равно двум, следовательно, ранг этой матрицы равен двум, таков же и ранг исходной матрицы, т.е. r = 2.
Ответ: r = 2.
Литература по теме:
а) основная
1. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономического бакалавриата: учебник и практикум. М.: Юрайт, 2014. – 909 с. (ЭБС ЮРАЙТ. – https://www.biblio-online.ru/viewer/EDF405ED-E895-42DE-9744-ED48C83187DC#/).
б) дополнительная
2. Красс М.С. Математика в экономике. Базовый курс. М.: Юрайт, 2015. – 471 с. (ЭБС ЮРАЙТ. – https://www.biblio-online.ru/viewer/8BD2AC05-D7E3-4B22-844C-3DC3D6F52A1B#/).
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!