Алгоритм перевода чисел из системы с основанием Р в десятичную

Пример 3

418₁₀ = 4 ∙ 10² + 1 ∙10¹ + 8 ∙ 10⁰

 

Наибольшее распространение в информатике и ВТ получили:

двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

Алфавиты:

 

	0, 1, 2, 9	DEС
	0, 1	BIN
	0, 1, 2, …, 7	OCT
	0, 1, 2, …, 9, А, B, C, D, E, F	HEX

 

Заметим, что 8 = 2³, 16 = 2⁴.

Чем больше основание системы, тем меньше цифр необходимо для отображения числа.

 

Пример 4

41₁₀ = 101001₂ = 51₈ = 29₁₆

 

Алгоритм перевода чисел из системы с основанием Р в десятичную

1. Пронумеровать разряды справа налево, начиная с нулевого.

2. Вычислить сумму произведений цифр в соответствующих разрядах на основание системы в степени, равной номеру разряда.

 

100112

 

10011₂ = 19₁₀ 1·2⁴ + 0·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 19

 

Алгоритм перевода чисел из 10-тичной в систему счисления с обоснованием Р

1. Число делится на Р. Остаток запоминается.

2. Частное вновь делится на Р. Остаток запоминается.

3. Процедура повторяется до тех пор, пока частное не станет меньше Р или равным нулю.

4. Остатки выписываются справа налево в порядке их получения.

 

Пример 5

а) 46₁₀ → в двоичную

		: 2
	-46		: 2
Младший разряд		-22		: 2
			-10		: 2
				-4		: 2
					-2	1< P
							Старший разряд

 

46₁₀ = 101110₂

Проверка: 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 46

б) 60₁₀ → в шестнадцатеричную

	А   B   C   D   E   F

		: 16
	-352		: 16
Младший разряд		-16	1< P
				Старший разряд

364₁₀ = 16С₁₆

Проверка: 1·16² + 6·16¹ + 12·16⁰ = 256 + 96 + 12

Алгоритм перевода чисел из двоичной системы счисления в систему с основанием, 2ⁿ

1. Объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, сколько степень двойки в основании системы (справа налево группировка).

2. Переводим группы цифр в цифры нужного алфавита.

 

Пример 6

1100100₂ → ОСТ и НЕХ

001 100 100 в основании системы 2³ (если надо добавим нули)

1 4 4 144₈

0110 0100 в основании системы 2⁴ (если надо добавим нули)

6 4 64₁₆

 

Арифметические действия в позиционных системах счисления, в ыполняются аналогично вычислениям в десятичной системе счисления

 

Пример 7

21₁₀ + 81₁₀ = 102₁₀

 

+

 

Для других систем счисления необходимо составить таблицы простейших действий.

Для двоичной системы:

 

сложение	умножение
+	+	+	+		×	×	×	×
				переполнение разрядной сетки и перенос единицы в старший разряд

 

Пример 8

Умножить 11₁₀ × 3₁₀ = 33₁₀ перейдя к двоичному виду

 

×
+

 

Проверка: 100001₂ = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 0·2³ + 0·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 33₁₀

 

 

Пример 9

Сложение 59₁₀ + 44₁₀ = 103₁₀ перейдя к шестнадцатеричному виду

 

		В
×		С

 

Проверка: 67₁₆ = 6·16¹ + 7·16⁰ = 103₁₀

 

Умножить 59₁₀ + 44₁₀ = 2596₁₀ перейдя к шестнадцатеричному виду

 

			В
×			С
		С
+
	А

 

Проверка: А24₁₆ = 10·16² + 2·16¹ + 4·16⁰ = 2596₁₀

 

Дополнительный код.

Дополнительный код положительного числа совпадает с его прямым (обычным) кодом, при этом код нужно слева дополнить таким количеством нулей, чтобы не происходило переполнения разрядной сетки при вычислениях.

Замечание:

1. целесообразно выбирать разрядную сетку кратную байту, т.е 8-ми разрядам.

2. при сложении нескольких чисел результат не должен вызывать переполнение разрядной сетки.

 

Пример 10

305₁₀ + 200₁₀ = 505 > 256 = 2⁸, т.е. 1 байта будет мало, надо 2 байта

305 + 200 = 505 = 111111001₂ = 0000 0001 1111 1001 → 2 байта

63₁₀ + 36₁₀ = 99 < 2⁸ → 1 байт

63 + 36 = 99 = 1100011₂ = 0110 0011 → 1 байт

 

Дополнительный код целого отрицательного числа

1. записать прямой код модуля числа (в нужном количестве разрядов)

2. инвертировать его (заменить 0 на 1 и 1 на 0).

3. прибавить к инверсному коду 1.

 

Пример 10

Представить в дополнительном коде -8₁₀. |-8| = 8 = 1000₂ = 0000 1000

 

									Модуль числа – 8 в двоичной форме
									Инверсия модуля отрицательного числа
+
									единица в старшем разряде признак отрицательного числа

Сложение основного и дополнительного кодов дают нуль, т.е. дополнительный код дополняет до нуля.

 

+										- 8
1

 

Пример 11

25₁₀ – 5₁₀ = 25₁₀ + (-5)₁₀ = 20₁₀

 

Пример 12

Провести следующие вычисления в двоичной форме: 25₁₀ – 35₁₀ = - 10₁₀

 

25₁₀ = 0001 1001₂ 35₁₀ = 0010 0011₂

|-35₁₀| = 0010 0011₂ модуль числа - 35₁₀

= 1101 1100₂ инверсия модуля числа - 35₁₀

1101 1101₂ дополнительный код числа - 35₁₀

 

+										дополнительный код числа - 3510
										старший разряд 1
										инверсия результата
+										+ 1
										результат вычитания

 

Проверка: 0000 1010₂ = 0·2⁷ + 0·2⁶ + 0·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 10₁₀

 

Пример 13

Провести следующие вычисления в шестнадцатеричной форме: 44₁₀ – 59₁₀ = - 15₁₀

 

44₁₀ = 2С₁₆

|-59₁₀| = 3В₁₆ модуль числа - 35₁₀

= С4₁₆ инверсия модуля числа - 59₁₀

С5₁₆ дополнительный код числа - 59₁₀

		С
+	С			дополнительный код числа - 3510
	F			старший разряд 1
		Е		инверсия результата
+				+ 1
		F		результат вычитания

 

Проверка: 0F₁₆ = 0·16¹ + 15·16⁰ = 15₁₀

 

Пример 14

Перевести число 10,1₁₀ в двоичный вид

1. целая часть числа 10₁₀ = 1010₂

2. дробная часть числа 0,1

 

N п/п					запоминаем
	0,1	×		0,2
	0,2	×		0,41
	0,4	×		0,8
	0,8	×		1,6
	0,6	×		1,2
	0,2	×		0,4
	0,4	×		0,8
	0,8	×		1,6
	0,6	×		1,2
	0,2	×		0,4

 

Проверка: 10,0001100110₂ = 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ + 0·2^-1 + 0·2^-2 + 0·2^-3 + 1·2^-4 + 1·2^-5 +

0·2^-6 + 0·2^-7 + 1·2^-8 + 1·2^-9 + 0·2^-10 = 10,099609…

Видно, что результат и исходное число в дробной части отличаются.

Вычислим погрешность для дробной части нашего случая с числом двоичных разрядов после запятой 10

N_{исходное} – N_{получившееся} = абсолютная погрешность

относительная погрешность в процентах.

В нашем случае для : 0,391%.

Расчеты целесообразно вести до разумных пределов по погрешности или до ограничения разрядной сеткой.

 

Пример 15

Переведем число 973,232₁₀ в шестнадцатеричный код

 

N п/п					запоминаем
	0,232	×		3,712
	0,712	×		11,392	В
	0,392	×		6,272
	0,272	×		4,352

 

973,232₁₀ = 3CD,3B64₁₆

Ограничим число разрядов после запятой. Перевести число 3CD,3B₁₆ в десятичный код:

3CD,3B₁₆ = 3·16² + 12·16¹ + 13·16⁰ + 3·16^-1 + 11·16^-2 = 973,23047₁₀

Погрешность 0,202 %

 

Сложение дробной части вещественного числа в любой системе исчисления осуществляется традиционным образом, т.е. как и децимальной. При этом перенос в целую часть числа особенностей не имеет.

 

Пример 16

Сложить числа 0,5₁₀ + 0,625₁₀ = 1,125₁₀ в двоичной форме

0,5₁₀ = 0,1₂ 0,625₁₀ = 0,101₂

 

	0,
+	0,
	1,

 

0,1₂ + 0,101₂ = 1,001₂

Проверка: 1,001₂ = 1·2⁰ + 0·2^-1 + 0·2^-2 + 1·2^-3 = 1,125₁₀

 

Пример 17

а) Закодируйте выражение 25+10·(9-7)/4 = 30 в кодах ASCII-шестнадцатеричный

0032 0035 002В 0031 0030 00B7 0028 0039 002D 0037 0029 002F 0034 003D 0033 0030

б) Закодируйте выражение ″Двоичное кодирование″ в кодах ASCII-десятичный

2033 196 226 238 232 247 237 238 229 32 234 238 228 232 240 238 226 224 237 232 229 2033

в) найти опечатку в коде слова «Organization»

171 79 114 103 97 110 105 122 97 116 105 109 110 187

 

Пример 3

418₁₀ = 4 ∙ 10² + 1 ∙10¹ + 8 ∙ 10⁰

 

Наибольшее распространение в информатике и ВТ получили:

двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

Алфавиты:

 

	0, 1, 2, 9	DEС
	0, 1	BIN
	0, 1, 2, …, 7	OCT
	0, 1, 2, …, 9, А, B, C, D, E, F	HEX

 

Заметим, что 8 = 2³, 16 = 2⁴.

Чем больше основание системы, тем меньше цифр необходимо для отображения числа.

 

Пример 4

41₁₀ = 101001₂ = 51₈ = 29₁₆

 

Алгоритм перевода чисел из системы с основанием Р в десятичную

1. Пронумеровать разряды справа налево, начиная с нулевого.

2. Вычислить сумму произведений цифр в соответствующих разрядах на основание системы в степени, равной номеру разряда.

 

100112

 

10011₂ = 19₁₀ 1·2⁴ + 0·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 19