Числовые характеристики системы двумерных непрерывных случайных величин.

Интервальные оценки.

 

(503) Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений s = 40 м проведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели с надежностью a = 0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений x_в = 2000 м. Предполагается, что результаты измерений распределены по нормальному закону.

 

(504) Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы из выборки оказалась равной 1000 часов. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности а горения лампы из всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы s = 40 ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена по нормальному закону.

 

Точечные оценки.

 

(454) Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки:

 

xi
ni

 

(458) В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8, 9, 11, 12. Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений, б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

 

(461) Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

 

xi
ni

 

(467)Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

 

xi
ni

 

Полигон и гистограмма.

 

(444) Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:

xi
ni

 

(447) Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:

 

Номер интервала i	Частичный интервал xi - xi+1	Сумма частот вариант интервала ni
	2-7
	7-12
	12-17
	17-22
	22-27

 

Числовые характеристики системы двумерных непрерывных случайных величин.

 

(431) Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

f( x,y) = 36 xy e ^{-3(x^2 +y ^2)} x>0, y>0

0, x<0, y<0

Найти математическое ожидание и дисперсии составляющих.

 

(432) Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

f( x,y ) = 2 cos x cos y в квадрате 0<x<p/2, 0 <y<p/2

0 вне квадрата

Найти математическое ожидание и дисперсии составляющих.

 

(433) Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

f( x,y ) = (1/2) sin (x +y) в квадрате 0<x<p/4, 0 <y<p/4

0 вне квадрата

Найти математическое ожидание и дисперсии составляющих.

 

Отыскание плотностей и условных законов распределения составляющих двумерной непрерывной случайной величины.

(424) Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

F (x,y)= Ce^{-xx-2xy-4y y}

Найти: а) постоянный множитель С, б) плотность распределения составляющих, в) условные плотности распределения составляющих.

Закон распределения двумерной непрерывной случайной величины. Плотность и функция распределения.

(411) Найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми x=1, x=2, y=3, y=5, если известна функция распределения:

F( x,y) = 1 - 2^-x - 2^-y + 2^-x-y x≥0, y≥0

0, x<0, y<0

 

(413) Задана функция распределения двумерной случайной величины:

F( x,y) = 1 - 2^-x - 2^-y + 2^-x-y x≥0, y≥0

0, x<0, y<0

Найти плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y).

 

Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

 

(283) Случайная величина X задана плотностью распределения f( x ) = cos x в интервале 0<x<p/2, вне этого интервала f( x ) = 0. Найти математическое ожидание функции Y=X².

 

(287) Случайная величина X задана плотностью распределения f( x ) = (-3/4) x² +6x - (45/4) в интервале 3<x<5, вне этого интервала f( x ) = 0. Найти математическое ожидание, моду и медиану X.

 

(293) Случайная величина X задана плотностью распределения f( x ) = 1/(π(9 - x²)^1/2 в интервале -3<x<3, вне этого интервала f( x ) = 0. Найти дисперсию X.

 

(297) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения:

F( x,y) = 0, x≤-2,

x/4 +1/2, -2<x≤2,

1, x>2.

 

Функция распределения и плотность распределения непрерывных случайных величин.

(263) Дана функция распределения непрерывной случайной величины X:

F( x ) = 0, x≤ 0,

sin 2x, 0 <x≤ π/4,

1, x> π/4

Найти плотность распределения f( x ).

 

(268) Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

f( x ) = 0, x≤ 0,

sin x, 0 <x≤ π/2,

0, x> π/2

Найти функцию распределения F( x ).

 

(269) Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

f( x ) = 0, x≤ 1,

x – 1/2, 1 <x≤ 2,

0, x> 2

Найти функцию распределения F( x ).

 

Равномерное распределение.

(308) Цена деления шкалы амперметра - 0.1А. Показания амперметра округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0.02А.

 

(310) Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

 

(316) Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

Эксперимент Бернулли.

(111) Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? Ничьи во внимание не прнимаются.

Формула Байеса.

 

(101) В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% - с заболеванием L, 20% - с заболеванием M. Вероятность полного излечения заболевания К равна 0,7, заболевания L – 0,8, заболевания M – 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K.

 

(102) Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому – 0,55, ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом – 0,9, вторым - 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверял второй товаровед.

 

Полная вероятность.

(91) В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95, для полуавтомата – 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

(93) В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе №1, 20 деталей – на заводе №2, 18 деталей – на заводе №3. Вероятность того, что деталь изготовлена на заводе №1, отличного качества, равна 0,9, для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3 – 0,6 и 0,9 соответственно. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

 

Интервальные оценки.

 

(503) Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений s = 40 м проведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели с надежностью a = 0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений x_в = 2000 м. Предполагается, что результаты измерений распределены по нормальному закону.

 

(504) Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы из выборки оказалась равной 1000 часов. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности а горения лампы из всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы s = 40 ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена по нормальному закону.

 

Точечные оценки.

 

(454) Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки:

 

xi
ni

 

(458) В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8, 9, 11, 12. Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений, б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

 

(461) Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

 

xi
ni

 

(467)Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

 

xi
ni

 

Полигон и гистограмма.

 

(444) Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:

xi
ni

 

(447) Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:

 

Номер интервала i	Частичный интервал xi - xi+1	Сумма частот вариант интервала ni
	2-7
	7-12
	12-17
	17-22
	22-27

 

Числовые характеристики системы двумерных непрерывных случайных величин.

 

(431) Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

f( x,y) = 36 xy e ^{-3(x^2 +y ^2)} x>0, y>0

0, x<0, y<0

Найти математическое ожидание и дисперсии составляющих.

 

(432) Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

f( x,y ) = 2 cos x cos y в квадрате 0<x<p/2, 0 <y<p/2

0 вне квадрата

Найти математическое ожидание и дисперсии составляющих.

 

(433) Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

f( x,y ) = (1/2) sin (x +y) в квадрате 0<x<p/4, 0 <y<p/4

0 вне квадрата

Найти математическое ожидание и дисперсии составляющих.