Интерполирование функций. Конечные разности. Разделённые разности. — КиберПедия 

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...

Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...

Интерполирование функций. Конечные разности. Разделённые разности.

2017-12-21 356
Интерполирование функций. Конечные разности. Разделённые разности. 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

Пусть ф-ция y=f(x) задана табл. Значений для конечного множества Х

x X0 X1 xn
f(x) f(x0) f(x1) f(xn)

Такая таблица м.б. построена в рез-те наблюдений некоторого процесса, если же необходимо найти значение ф-ии f(x) для некоторого промежуточного значения аргумента, то строит ф-ию φ(х), достачно простую для вычислений, кот. в заданных точках х0, х1.. хn принимают значение f(x0)… f(xn), а в остальых точках некотрого отрезка [a,b] функция φ(х) с той или иной степенью точности только приближает f(x). Отрезок [a,b] принадлежит области определения f(x). И в дальней шем при решении задач вместо f(x) будет использоваться φ(х).

Задача построения такой функции φ(х) наз. задачей интерполирования, а функция φ(х) наз интерполяционной. Чаще всего в качестве интерпол-ной функции берут алг-ий многочлен n-ой степени. К интерполированию прибегают и тогда, когда фун-ция f(x) задана аналитическим выражением с помощью которой можно вычислить ф-цию f(x) в любой точке отрезка из области определения f(x). Но вычисление f(x) м.б. соприжено с большим объёмом вычислительных работ. Если же нужно вычислить ф-цию f(x) для большого кол-ва значений аргументов, то тоже прибегают к интерполированию, т.е. вычисляют f(x) в нескольких точках: f(xi), i= . Далее по этим значниям строят φ(х), а остальные значения функции f(x) уже находятся в с помощью φ(х), кот проста для вычислений. В дальнейшем в качестве такой функции φ(х) мы будем брать алг-ий. многочлен n-ой степени. В этом случае интерполирование будет наз-ся алгебраическим: , причем f(xi)=Pn(Xi), i= . А в остальных точках отрезка [a,b] . В дальнейшем обозначаем через Rn(x) разницу f(x) – Pn(x), где Rn(x) – ошибка от замены функции многочленом . Или же наз остаточным членом интерполирования, (погрешность метода).

Двух различных интерполяционных многочленов степени n для ф-ции f(x) сущ-ть не может, т.е для f(x) сущ-ет единственный интерполяционный многочлен n-ой степени.

Конечные разности. Разделённые разности.

Пусть , i=0,1,2…. Тогда разности наз. конечными разностями 1-го порядка. , ,

Конечные разности 2-го порядка получ. по форм-ам: Аналогично получаются конечные разности (n+1)порядка. Для нахождения конечных разностей удобно пользоваться таб:

 

X Y △Y
X1   X2   X3   X4 … Y1   Y2   Y3   Y4 …   △Y1   △Y2   △Y3      

Св-ва конечных разностей:

1. Конечные разности суммы (разности) ф-ции равны сумме (разности) конечных разностей этих ф-ций.

2. при умнож. Ф-ции на пост. Множитель конечные разности тоже умнож-ся на этот множитель.

3. кон. Разн. N-го порядка от многочленов n-ой степени постоянны, а конечные разности N+1-го порядка =0.

Разделённые разности 1-го пор. Опред-ся ф-ами:

Тогда разделённые разности второго порядка запишутся: ,

Раздел. Разн. 3-го порядка будут: Т.о. опираясь на разделённые разности (n+1) пор., мы получим разд. Разности n-го пор.

Рассм. Случай равноотстоящих узлов: , h-шаг. Тогда ; ;

; ; т.о.

Мы установили связь м/д конечными и разделёнными разностями.



Поделиться с друзьями:

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...

Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...

Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.012 с.