Ур-ниепрямой, отрезка на осях координат.

Пусть прямая пересекает Ох и Оусоотв-но в точках А и В. Применяем ф-луур-ния прямой по двум точкам. Координаты А(а;0) и В(0;в):

Получаем ур-ние - ур-ниепрямой на отрезках координат.

Угол между прямыми на плоскости.

Рассмотрим 2 прямые , и

О.Углом между прямыми и наз-тсяменьший из смежных углов, образованных этими пересекающимися прямыми. Очевидно, что jÎ[0;p]. Не сложно заметить, что . Тогда , по -это , -это Þ . Если прямые параллельны, тогда Ðj=0, . След-но = - условие параллельности прямых. Если прямые ^, то , , след-но , т.е. - условие перпендикулярности прямых.

Пр. Найти угол между прямыми и

т.к. мы выбираем наим. из смежных углов, то и ф-ла примет вид

5))Расстояние от точки до прямой на плоскости и взаимное расположение прямых на плоскости.

1) Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Т. Расст. от данной точки до данной прямой , заданной ур-нием на плоскости задается ф-лой

Док-во:
пусть в прямоуг.системе координат Ур-ние прямой имеет вид:

Не сложно заметить,что расстояние от точки до этой прямой = 2 площади треугольника,разденить на его основание,а также площадь

А основание треугольника:=

 

Запишем Ур-ние прямой проходящей через 2 точки:

Приводим к линейному виду

х()+у()-х₁()+у₁()

т.к. по предположению а=m();b=m(x₁-x₂);с=m(у₁()-х₁())

d= (х()+у()-х₁()+у1())/

=/ (-а/m)*х-(b/m)*y-c/m / / корень из (-b/m)^2 +(a/m)^2

1/m выносим и сокращаем,получаем исходную формулу.

Пр. Найти расстояние от М(4,3) до прямой

 

2) Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Пусть прямые и заданы своими общими ур-ниями

Рассм. с-му, состоящих из этих ур-ний с неизвестными и .

1 случай: , ур-ние имеет бесконечное множ-во решений. (прямые совпадают) и

2 случай: , , т.е. - ур-ние решений не имеет, т.к. прямые параллельны.

3 случай: , ур-ние имеет единственное решение, т.е. прямые пересекаются в единственной точке.

Матрицы и действия над ними.

Таблица чисел вида , состоящая из nстрок и mстолбцов наз-тся матрицей размерности n´m.

Числа наз-ют её элементами, если m¹n, то матрицу наз-ют прямоугольной, если n=m, то квадратной. Если n=1, а m>1, то матрица примет вид и наз-тся матрицей-строкой. Если же n>1, а m=1, то матрица наз-тся матрицей-столбцом. Число строк в квадратной матрице наз-ют ее порядком. Две матрицы наз-ют равными если они имеют одинак. размерность и соответствующие элементы равны.

Сложение и вычитание матриц.

О.Суммой двух матриц А и Водинакового размера n´mназ-тся матрица С размерности n´m, элементы к-рой равны сумме соотв-щих элементов матриц А и В.

О. Матрица 0 размерности m´n, все элементы к-рой=0 наз-тся нулевой матрицей.

О.Разностью двух матриц А и В размерности m´nназ-тся матрица С размерности m´n такая, что А=В+С. Из определения следует, что элементы матрицы С равны разности соотв. элементов матриц А и В.

Св-ва сложения:

ü сложение матриц коммутативно, т.е. А+В=В+А

ü сложение матриц ассоциативно, т.е. (А+В)+С=А+(В+С)

ü А+0=0+А=А

Умножение матриц на число.

О. Произведение матрицы А на число aназ-тся матрицей aА, элементы к-рой равны произведению числа a на соотв. элемент матрицы А.

Умножение матриц.

О. Произведение матриц размерности m´n и матрицы В размерности наз-тся матрица С размерности , элементы к-рой вычисляются как сумма произведений соотв-щих элементов -строки матрицы А на -столбца матрицы В.

Пр.

О.Квадратная матрица порядка nназ-тсяединичной. Обозначается это матрица с единицами на главной диагонали.

Св-ва умножения:

ü умножение не коммутативно, т.е. А*В¹В*А

ü умножение матриц ассоциативно, т.е. (А*В)*С=А*(В*С), если такие произведения существуют.

ü если А матрицы размерности m´n, В размерности , то

 

Транспонирование матрицы.

О. Если в матрице А размерности n´m все стороки заменить соотв-щими столбцами, то получим матрицу размерности m´n, к-руюназ-ют транспонированной матрицей А.

Св-ва транспонирования:

Y

Y

Y

Элементарные преобразования строк матрицы:

* умножение строк матрицы на ненулевое действительное число;

* прибавление к одной строке матрицы другой, умноженной на нек-рое число.

Лемма: с помощью элементарных преобразований можно поменять местами две любые строки матрицы.

Ступенчатая матрица -матрица, обладающая след.св-вами:

1. если iтая строка нулевая то также нулевая.

2. если первые ненулевые элементы той строки и находятся соотв-но в столбцах с номерами k и p. Тогда k<p

Теорема. Любую матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк матрицы.

О. Ранг матрицы - число ненулевых строк в ступенчатом виде этой матрицы.

Пр.

- ранг 3

 

Определители, их свойства.

О. Определителем 2-го порядка наз-тся число, вычисляемое по ф-ле

Определителем 3-го порядка соответствующих матрицы А называется число вычисляемое по формуле, которую удобно связывать со следующим правилом:

 

Т. Определитель 3-го порядка равен произведению элементов какой-либо строки(столбца) на соотв-щее алгебраическое дополнение.

Определителем -го порядка, соотв-щим квадратной матрице -го порядка, наз-тся число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки(столбца) на их алгебраическое дополнение.

О. Минором наз-ют определитель, полученный из данного путем вычеркивания той строки и –того столбца. Алгебраическимдаполнением наз-ют число равное

Св-ва определителя:

f Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали

f Опред. матрицы с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю

f При транспонировании матрицы, определитель не меняется.

f Если матрица А получается из матрицы В умножением каждого элемента нек-рой строки(столбца) на число , то определитель равен

f Если матрица В получается из матрицы А перестановкой строк(столбцов), то определитель меняет знак.

f Определитель матрицы с пропорциональными строками(столбцами) равен 0.

f Определитель матрицы не меняется если к одной из строк прибавить другую, умноженную на нек-рое действительное число.

f Определитель произведения равен произведению определителей.

, где А и В- квадратные матрицы одног7о порядка.

 

Обратная матрица.

Квадратная матрица А порядка наз-тся обратимой, если сущ-ет такая матрица В, что . В этом случае В-обратная для матрицы А и обозначают А^-1.

Т. Справедливы след.утверждения:

² если матрица обратима, то сущ-ет только одна ей обратная матрица.

² определитель обратимой матрицы отличен от 0.

² если А и В- обратимые матрицы порядка , то АВ- также обратима. Причем обратная для произведения равна В^-1А^-1. (АВ)^-1= В^-1А^-1

Док-во:

1)пусть В и С матрицы обратные матрице А тогда АВ=ВА=Е и АС=СА=Е,тогда В=В*Е=АС*В=ЕС=С,противоречиепоказывающее,что обратная матрица только одна.

2)т.к.А*А^-1=Е,то /А*А^-1/=/Е/=1, А^-1 не=0;

3) (АВ)^-1= В^-1А^-1докажем,что В^-1А^-1 обратная для (АВ),

(АВ)* В^-1А^-1=А*Е*А^-1=Е

(АВ)^-1= В^-1А^-1=Е

 

Т. Квадратная матрица А обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от 0. Если отличен от 0, то А^-1=

Пр. , ; ; ;

 

Понятие непрерывности ф-и.

Ф. , определенная на наз-тся непрерывной в точке если

Т. Ф. непрерывна в точке только тогда, когда

Док-во:

Предел при (х-х0) стремящемся к 0(f(x)-f(x0))=0;предел при х стремящемся к х0f(x)=f(x0)

Т. Если ф. и непрерывны в точке , то непрерывна в этой точке их сумма, разность, произведение, а также частное при усл.

Док-во:
Док-во непосредственно следует из определения непрерывности и свойств

О. Ф. наз-тся непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

1-ая теорема Бальцама - Коши: Пусть ф. непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значение разных знаков, тогда сущ-ет точка такая, что

Т. Пусть ф. непрерывна на отрезке причем . Пусть –число, заключенное между А и В, тогда сущ-ет точка такая, что

1-ая теорема Вейерштрасса: Если ф. определена и непрерывна на , то она ограничена на этом отрезке.

2-ая теорема Вейерштрасса: Если непрерывна на , то она достигает на этом отрезке своего наиб.инаим. значения.

Системы линейных уравнений.

Совокупность ур-ний вида

(1) - с-ма –линейных ур-ний с –неизвестным

Числа наз-тся коэффициентами с-мы. Числа - свободными коэффициентами.

Решением с-мы (1) наз-тся совокупность чисел при подстановке к-рых в с-му (1) вместо получаем верные числовые рав-ва.

Решить с-му, значит найти все ее решения, либо доказать, что их нет.С-маназ-тся совместной, если она имеет хотя бы одно решение, несовместной- если решений нет. Матрица составлена из коэф-тов

наз-тся матрицей с-мы (1).

Если к данной матрице добавить столбец свободных коэф-тов, такую матрицу наз-ют расширенной матрицей с-мы

 

Критерий совместимости с-мы.

Т. Кронекера-Копелли: Для того, чтобы с-ма линейных ур-нийбыла совместно необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом матрицы с-мы.

Пр.

Метод Гаусса: применяется для произвольной с-мы линейных ур-ний.

О. С-му будем наз-тьступенчатой, если матрица имеет ступенчатый вид. При решении с-м линейныхур-ний нам понадобится след алгоритм:

1. Запишем расшир. матрицу и приведем ее к ступенчатому виду.

2. если ранги не равны, то с-манесовместна

3. если ранги равны и равны числу , то с-масовместна и остается записать ее решение

4. используя ступенчатый вид расширенной матрицы запишем соотв. ступенчатую с-му.

5. если = , т.е. ранг совпадает с числом неизвестных, то с-ма имеет единственное решение.

Двигаясь снизу вверх выражаем каждую из неизвестных.

6. если < , то в с-ме ур-ний и неизвестных. Неизвестные, к-рые первыми встречаются в ступенчатой с-ме ( -неизвестных) назовем главными неизвестными, а остальные –свободными неизвестными. Снизу вверх выражаем каждую из главных неизвестных свободные неизвестные могут принимать любые значения, в этом случае с-ма имеет бесконечно много решений.

Правила Крамера:

С-ма линейных ур-нийназ-тся крамеровской, если число ур-ний совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы с-мы отличен от 0.

Т. Крамеровская с-ма имеет единственное решение, к-рое находится по ф-лам

, где D-определитель матрицы с-мы, а - определитель, полученный из D подстановкой вместо того столбца столбец свободных коэф-тов.

Док-во:
т.к матрица системы А не вырождена,то для нее существует обратная матрица А^-1,вычисляемая по формуле:

А^-1=

Запишем систему в виде матричного Ур-ния АХ=С,

А^-1АХ= А^-1С

ЕХ= А^-1С;Х= А^-1С

Предположим,что решение не единственное,тогда

АХ1=С и АХ2=С;АХ1=АХ2;Х1=Х2-данное протеворечиепоказывает,что решение единственное..найдемрешение Ур-ния Х= А^-1С

Пр. ; ; ; ;