Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-12-13 | 2129 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Систему из линейных уравнений с неизвестными
можно представить в матричном виде
и тогда всю систему линейных уравнений можно записать так:
,
где имеет смысл таблицы коэффициентов системы линейных уравнений.
Если и матрица невырожденная, то решение этого уравнения состоит в нахождении обратной матрицы , поскольку умножив обе части уравнения на эту матрицу слева
— превращается в (единичную матрицу). И это даёт возможность получить столбец корней уравнений
.
Все правила, по которым проводятся операции над матрицами, выводятся из операций над системами уравнений.
Квадратная матрица и смежные определения
Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.
Для квадратных матриц существует единичная матрица (аналог единицы для операции умножения чисел) такая, что умножение любой матрицы на неё не влияет на результат, а именно
У единичной матрицы единицы стоят только по главной диагонали, остальные элементы равны нулю
Для некоторых квадратных матриц можно найти так называемую обратную матрицу. Обратная матрица такова, что если матрицу умножить на обратную ей матрицу, то получится единичная матрица:
Обратная матрица существует не всегда. Матрицы, для которых обратная матрица существует, называются невырожденными (или регулярными), а для которых нет — вырожденными (или сингулярными). Матрица невырождена, если все ее строки (столбцы) линейно независимы как векторы. Максимальное число линейно независимых строк (столбцов) называется рангом матрицы. Определителем (детерминантом) матрицы называется значение нормированной кососимметрической (антисимметрической) полилинейной формы валентности на столбцах матрицы. Квадратная матрица над числовым полем вырождена тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.
|
Элементарные преобразования матриц
Основная статья: Элементарные преобразования матрицы
Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:
Элементарные преобразование столбцов матрицы определяются аналогично. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.
Матрица линейного оператора
Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.
Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.
Выберем базис . Пусть — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:
,
где — координаты вектора в выбранном базисе.
Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.
Пусть — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим
.
Вектора также разложим в выбранном базисе, получим
,
где — -я координата -го вектора из .
Подставим разложение в предыдущую формулу, получим
.
Выражение , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица при умножении на столбец даёт в результате координаты вектора , возникшего от действия оператора на вектор , что и требовалось получить.
Комментарий: Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов . Иными словами, порядок базисных элементов предполагается жёстко упорядоченным.
|
Матрицы в теории групп
Матрицы играют важную роль в теории групп. Они используются при построении общих линейных групп, специальных линейных групп, диагональных групп, треугольных групп, унитреугольных групп.
Конечную группу (в частности, симметрическую) можно (изоморфно) промоделировать матрицами перестановок (содержащими только "0" и "1"),
например, для : , , , , , .
Поле комплексных чисел может быть (изоморфно) промоделировано над полем вещественных чисел:
для матричные аналоги , , где ;
соответствует ;
соответствует ;
соответствует ;
;
при соответствует при ;
соответствует .
В частности, для ,
соответствует ,
где .
Замечание. Модель имеет автоморфизм , т.е.
Тело кватернионов может быть (изоморфно) промоделировано над полем вещественных чисел:
для матричный аналог , где .
Для того, чтобы кватерниону соответствовала матрица ,
где , , , ,
можно ввести базисные элементы
, , , .
Параметры должны удовлетворять условиям: и .
Существует 8 решений (8 представлений).
См. также
Примечания
|
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!