Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-12-13 | 212 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
. (1.15)
Ортонормированность базиса и его образа
Если функции ортонормированны
, (1.16)
то их фурье-образы также ортонормированны
. (1.17)
В (1.14) полагаем и .
Интегральная теорема – прямое и обратное преобразования восстанавливают непрерывную функцию
,
. (1.20)
Доказательство: Из (1.2) и (1.1) с заменой порядка интегрирований
,
где использовано
.
Следовательно, для непрерывной функции
, . (1.20а)
Теорема о парах функций и
Если
,
то
. (1.21)
Доказательство: Из (1.1) с заменой аргумента
.
Использовано сравнение с (1.2) после замены: , .
Преобразование Фурье
, (1.1)
. (1.2)
Свертка функций
. (1.22)
При переходе от предыдущей формулы к последующей использованы замены аргументов под интегралом:
, , .
Возможны другие замены аргумента под интегралом.
Физический смысл свертки для линейного и стационарного преобразователя сигналов
Ошибка! Раздел не указан.
f 1(t') – входящий сигнал (например, ЭДС) в момент t',
f 2(t) – выходящий сигнал (например, ток) в момент t.
Выполняются:
1) принцип суперпозиции – входящие сигналы для разных моментов времени преобразуются независимо, не влияя друг на друга, поэтому преобразование линейное;
2) принцип причинности – если входящий сигнал включается в момент t', то выходящий сигнал отсутствует при t < t';
3) принцип однородности – реакция преобразователя в момент t на сигнал, поступивший в момент t', не изменяется при сдвиге начала отсчета времени, поэтому реакция зависит от (t – t'). Однородность по времени выполняется для стационарного преобразователя.
Принципам удовлетворяет свертка
|
,
где
– функция Грина – реакция преобразователяна импульсный входящий сигнал;
– функция включения;
– аппаратная функция.
Выходящий сигнал линейного стационарного преобразователя является сверткой входящего сигнала и функции Гринапреобразователя.
Теорема о свертке – фурье-образ свертки функций равен произведению их фурье-образов
. (1.24)
Доказательство:
.
Под интегралом сделана замена , и учтено
.
Выполняется
. (1.25)
Доказательство:
.
Под интегралом сделана замена .
Теорема о произведении – фурье-образ произведения функций равен свертке их фурье-образов
,
. (1.26)
Для доказательства (1.26) выполняем фурье-преобразование (1.25)
и используем интегральную теорему (1.20)
.
Дифференцирование
. (1.35)
Доказательство:
Используем
, (1.2)
получаем
.
Сравнение результата с (1.2) дает (1.35).
Умножение функции на
,
. (1.37)
Доказательство:
Используем
, (1.1)
получаем
.
Сравнение результата с (1.1) дает (1.37).
Преобразование периодических функций
Фурье-спектр функции с периодом L получается путем разложения изучаемой функции по базису гармонических функций с периодами , где Спектр периодической функции дискретный.
Базисы периодических функций
При используем
,
где учтено
,
Получаем базисы
, , ;
: , , ;
: , , ;
Вещественные периодические базисы
, ;
, ,
Ортонормированность базисов
, :
.
, :
, (1.43)
, .
, ,
. (1.45)
, ,
. (1.46)
Преобразование Фурье комплексной функции с периодом L
Используем ортонормированный базис
.
Разложение по базису является рядом Фурье
. (1.48)
Ищем коэффициенты , выполняя
.
Учитывая (1.43)
и переобозначая , получаем
. (1.49)
Дискретный спектр
. (1.47)
Подстановка (1.47)
. (1.2)
дает (1.48)
.
Дифференцирование
|
Выполняем и получаем, что, если
,
то
. (1.50)
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!