Логические задачи. Логические парадоксы.

 

Задача 1.

3 друга нашли священный сосуд. 1-й предположил, сто этот сосуд греческий 4 века; 2-й – финикийский сосуд 3 века; 3-й, что это не греческий сосуд 5 века. Что это за сосуд, если каждый из них был прав наполовину?

 

Решение:

Вводим высказывания

G: «Сосуд греческий»

F: «Сосуд финикийский»

Ḡ: «Сосуд не греческий»

A: «Сосуд 4 века»

B: «Сосуд 3 века»

C: «Сосуд 5 века»

По условию, каждый сказал правду лишь наполовину:

GvA = и (т.к. одно точно истина)

G ^ A = л (т.к. одно точно ложь)

G v A = и = F v B = Ḡ v C,

G ^ A = л = F ^ B = Ḡ ^ C.

 

Такие системы можно решать методом перебора (всё перебрали => увидели ответ)

1) Если предположить, что сосуд греческий, то G = и, то F = л, и тогда из системы…

и vA = и = лvB = л vC,

л ^ A = л = л ^ B = л ^ C,

… найдем значения A, B, C.

 

Из и ^ A = л найдем: A = л.

Из и = л vB найдем: B = и.

Из и = л vC найдем: C = и.

Такого не может быть.

 

2) Пусть теперь F=и, G = л, тогда

л vA = и = иvB = и vC,

л ^ A = л = и ^ B = и ^ C.

 

Отсюда из лvA = и =>A = и,

Из л = и ^ B найдем: B=л,

Из л = и ^ C найдем: C=л.

Ответ: т.к. F=и, A=и, то сосуд финикийский 4 века.

 

Логические парадоксы.

 

Парадокс – досл. «рядом с верой».

 

Парадокс «Протагор и Эватл»

Эватл обучался праву у Протагора. По заключенному между ними договору, он должен был заплатить Протагору за обучение лишь в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. И наоборот, если он проиграет этот процесс, то не должен будет платить ничего. Закончив обучение, Эватл не стал участвовать в судебных процессах. Устав ждать, Протагор подал в суд на своего ученика. Свое требование он обосновал так:

- Каким бы не было решение суда, Эватл должен будет заплатить мне. Он либо выиграет этот свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу нашего договора. Если проиграет, то заплатит согласно решению суда.

На что Эватл ответил:

- Действительно, я либо выиграю этот процесс, либо проиграю его. Если выиграю, суд освободит меня от обязанности платить. Если же решение суда будет не в мою пользу, то значит я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу нашего договора.

 

ОСНОВА ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

 

Понятие множества. Примеры. Равные множества. Основные числовые множества. Конечные и бесконечные множества.

 

Множество – это простейшее мат понятие, кот нельзя дать формального определения, подобно понятию точки, не сводится к другим понятиям математики и не определяется.

 

Понятие мн-ва может быть пояснено при помощи примеров: можно говорить о мн-ве всех учеников одной школы, о мн-ве всех людей на Земле, о мн-ве всех картофелин на картофельном поле, мн-ве целых чисел.

 

Предметы (объекты любой природы), составляющие некоторое мн-во, наз его элементами.

Объект х яв-ся элементом мн-ва А, записывают так: х∈А (читается: х принадлежит А). Если объект х не яв-ся элементом А, то это записывают так: х∉ А (читается: x не принадлежит А).

Например: если А есть мн-во всех четных натуральных чисел, то 2 ∈А, 1024 ∈А, 7 ∉А, ¾ ∉ А.

 

Мн-во, не имеющее ни одного элемента, называется пустым множеством. Пустое множество обозначается так: Ø.

Мн-во считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому мн-вуили нет.

Равные множества

Равными множествами называются мн-ва, состоящие из одних и тех же элементов.

Например: если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В. Можно утверждать, что 2 мн-ва равны, если каждое из них явл. подмножеством другого. А=В ⇔ (знак равносильно, тогда и только тогда) (А ⊂ В и В⊂ А).

Множества не равны, если хотя бы в одном мн-ве существует хотя бы 1 элемент, не принадлежащий другому мн-ву.

Например: мн-во всех девушек нашей группы и всех студентов нашей группы.

Основные числовые множества

Если элементами мн-ваявл. числа, то их называют числовыми множествами.

Примеры: мн-во всех целых чисел, мн-во всех рациональных чисел, мн-во всех действительных чисел. Каждое непустое мн-во А имеет два подмн-ва: пустое мн-во и само мн-во А.