Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Коши.

Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции f(x) и g(x)непрерывны на отрезке [a, b];дифференцируемы в интервале (a, b);

"x О (a, b) g'(x) ≠ 0.

Тогда существует точка c О (a, b) так-g(a) = f’(c)/g’(c)
Доказательство:

Пусть - гладкие на .

на

Тогда : , где .

F – гладкая на отрезке . По теореме Ролля : .

по условию, а так как иначе по теореме Ролля , что противоречит условию.

24. Правило Лопиталяпредлагает эффективный способ раскрытия неопределенностей и .
Теорема. Предел отношения двух дифференцируемых бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (если он существует, конечен или бесконечен):

.

Пример1. .

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .

25. Возрастание и убывание функций одной переменной.
Определение. Функция f(x) называется возрастающей на интервале (a,b), если для любых точек x1,x2 из этого интервала при выполнении условия x1<x2 выполняется неравенство f(x1)<f(x2) (большему значению аргумента соответствует большее значение функции).
Возрастающие на интервале (a,b) и убывающие на интервале (a,b) функции называются монотонными на интервале (a,b).
Знание производной дифференцируемой функции позволяет находить интервалы ее монотонности.
Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой на интервале (a,b) функции f(x) положительна на интервале (a,b), то функция f(x) монотонно возрастает на этом интервале.
Доказательство. Зафиксируем любые точки x1,x2 на интервале (a,b) такие, что x1<x2.
Тогда по следствию из теоремы Лагранжаf(x2)-f(ε)(x1)=f(x2-x1), где x1< ε<x2. По условию на всем интервале (a,b) f(x)>0, то естьf(ε)>0, следовательно,f(x2)-f(x1)>0. Таким образом, f(x) действительно возрастает на (a,b), что и требовалось доказать.
Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой на интервале (a,b) функции f(x) отрицательна на интервале (a,b), то функция f(x) монотонно убывает на этом интервале.

Геометрический смысл этих теорем состоит в том, что на интервалах убывания функции касательные к графику функции образуют с осью Ox тупые углы, а на интервалах возрастания – острые.

Максимум и минимум функции

Пусть функция z=f(x;y) определена в некоторой области D иM0(x0;y0)ÎD
Опр.1 Точка M0(x0;y0) называется точкой максимумафункции z=f(x;y), если существует такая δ-окрестностьэтой точки, что для каждой точки M¹M0из этойокрестности выполняется неравенство: f(x;y) <f(x0;y0)
Опр.2 Точка M0(x0;y0) называется точкой минимумафункции z=f(x;y), если существует такая δ-окрестностьэтой точки, что для каждой точки M¹M0из этойокрестности выполняется неравенство: f(x;y) >f(x0;y0)
Значение функции z=f(x;y) в точке максимума(минимума) называется максимумом (минимумом)функции. Максимум и минимум функции называют ееэкстремумами.
Замечание1: В силу определения, точка экстремумалежит внутри области определения функции.Максимум и минимум имеют локальный (местный)характер: значение функции в точкеM0(x0;y0)сравнивается с ее значениями в точках, достаточноблизких к (x0;y0)
В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

27. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
Если производная f ' (x) функции f (x) дифференцируема в точке (x0), то её производная называется второй производной функции f (x) в точке (x0), и обозначается f '' (x0).
Функция f (x) называется выпуклой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x0, f (x0)), x0 (a, b).
Функция f (x) называется вогнутой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x0, f (x0)), x0 (a, b).
Достаточное условие вогнутости (выпуклости)функции.Пусть функция f (x) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале (a, b), тогда:если f '' (x) > 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является вогнутой на интервале (a, b);
если f '' (x) < 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является выпуклой на интервале (a, b).
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' (x0), то f '' (x0) = 0.
Рассмотрим график функции y = x3

Эта функция является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. В самом деле, y'' = 6x, но 6x> 0 при x > 0 и 6x < 0 при x < 0, следовательно, y'' > 0 при x > 0 и y'' < 0 при x < 0, откуда следует, что функция y = x3является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. Тогда x = 0 является точкой перегиба функции y = x3.

28. Асимптоты графика функций

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно .